如何利用“数形结合”高效解题
高中数学解题方法谈 解读高考中的数形结合思想
解读高考中的数学思想——数形结合篇数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．一、用数形结合思想解决集合问题处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解． 例1 设22{()|(1)1}{()|0}A x y x y B x y x y m =+-==++，，，≥，则使A B ⊆成立的实数m 的取值范围是_____．解析：由于集合A ，B 都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A 是圆22(1)1x y +-=上的点的集合，集合B 是不等式0x y m ++≥表示的平面区域内的点的集合，要使A B ⊆，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线0x y m ++=应与圆相切或相离且在圆的下方，即0m >．1=，解得1m =，故m的取值范围是1m ． 评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．二、用数形结合思想解决方程问题在研究某些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决． 例2 已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）．（A ）a b αβ<<< （B ）a b αβ<<<（C ）a b αβ<<< （D ）a b αβ<<<解析：若令()()()g x x a x b =--，显然函数()g x 的两个零点是a 、b ，函数()f x 的两个零点是αβ，，而函数()f x 的图象是由函数()g x 的图象沿y 轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知a b αβ<<<，故应选（B ）．例3 若方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为_____． 解析：将方程化为24x x m -=，构造函数2()4()f x x x g x m =-=，，则方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，亦即两个函数()f x 与()g x 的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当-4＜m ＜0时方程有4个根．三、用数形结合思想解决函数问题我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．例4 （2006年辽宁高考题）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是（ ）．（A ）[11]-， （B）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）12⎡-⎢⎣⎦， （D）12⎡--⎢⎣⎦， 解析：cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ⎧=+--=⎨<⎩≥，，，即等价于min {sin cos }x x ，，因此在同一坐标系下分别画出函数sin cos y x y x ==，的图象，在两个图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数()f x 的图象，从而容易得到()f x 的值域是12⎡-⎢⎣⎦，，故答案为（C ）． 四、数形结合思想解决数列问题由于数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成n 的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．例5 设{}()n a n *∈N 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项的和，且56678S S S S S <=>，，则下列结论错误的是（ ）． （A ）0d < （B ）70a =（C ）95S S > （D ）6S 和7S 均为n S 的最大值解析：可以把等差数列的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭看成是关于n的二次函数，结合图形可知，答案为（C ）．例6 已知在等差数列{}n a 中，312a =，前n 项和为n S ，且121300S S ><，．则当n S 取到最值时，n 等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）13解析：由于121300S S ><，，所以130a <，而3120a =>，所以数列的公差d ＜0，即数列是递减数列．则2(0)n S an bn a b a =+∈<R ，，，如图3，可以把n S看成关于n 的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又121300S S ><，，所以若设抛物线和x 正半轴的交点为(0)M m ，，则12＜m ＜13，于是抛物线的对称轴为(66.5)2m x =∈，，因此当n =6时n S 取到最大值，选（A ）． 编者注：数列的有关问题用函数的观点来解决是一种较好的方法，但要注意，他们并非真正意义上的一次、二次函数！五、用数形结合思想解决不等式问题例7 如图4，请你观察图形以及图形中线段的位置关系及其数量关系，说明如何通过该图形来说明不等式2a b +成立．你还能构造另外的图形来说明这个不等式成立吗？解析：在圆O 中，AB 是一条直径，M 是圆上任意一点，过M 点作MC ⊥AB 交AB 于C ，令CA =a ，CB =b ，则容易得到2a b MC MO +==，由于在Rt △MCO 中，MO 是斜边，MC是直角边，所以有2a b +>C 点与O点重合时，有2a b +=2a b +．由于问题的本质上是在Rt △AMB 中处理问题，所以可构造类似的图形如图5所示（注：CN a BN b ==，．）． 评述：几何图形的直观解释和证明，真正体现了代数和几何的有机统一，可谓“无字的证明”．六、用数形结合思想解决最值或范围问题例8 已知a 、b 、c 是某一直角三角形的三边的长，其中c 为斜边，若点（m ，n ）在直线ax +by +2c=0上，则22m n +的最小值等于_____．解析：令d ==d 表示点（m ，n ）与坐标原点之间的距离．由于点（m ，n ）在直线ax +by +2c =0上，所以d 的最小值就是坐标原点到直线ax +by +2c =022c c==，即22m n +的最小值等于4． 例9 在区间[01]，上给定曲线2y x =，试在此区间内确定点t的值，使图6中的阴影部分的面积1S 与2S 之和最小．解：1S 面积等于边长为t 与2t 的矩形的面积去掉曲线2y x =与x 轴、直线x t =围成的面积，即22312023tS t t x dx t S =-=⎰；的面积等于曲线2y x =与x 轴、1x t x ==，围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为2(1)t t -，，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰． 所以阴影部分面积S 为：321241(01)33S S S t t t =+=-+≤≤ 由21()42402S t t t t t ⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭，得 t =0，或12t =． 经验证知，当12t =时，S 最小．。
小学数学应用题教学中有效利用数形结合
小学数学应用题教学中有效利用数形结合数形结合思想是基本的数学思想方法之一。
所谓的数形结合思想，就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。
在小学数学应用题教学中渗透数形结合思想，加强数形结合教学，应用数形结合引导学生思考，运用数形结合训练学生解题，可以促进学生学习数学兴趣，提高学生数学思维能力和解题能力。
一、运用数形结合，帮助理解题意小学生由于生活经历少，常常不能借生活经验把实际问题转化为数学问题，从而来理解数学知识。
因此，教师在分析问题的过程中，要根据教学内容的实际情况，引导学生利用直尺、三角板和圆规等作图工具画出已学过的图形，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为生活中的数学问题，或者把生活中的数学问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化。
这样，有助于把握数学问题的本质。
例1：假如在一块草场上的中央有一个树桩，现要在这树桩上缚住一根绳，在绳上拴着一只羊，让羊可以吃到树桩周围12.56平方米的草场上的草。
求这根绳子应多少米（绳两端缚住羊和树桩的部分不计入）？根据题意，羊所吃到的草的范围可构成一个圆形平面，也就是羊吃草的范围是12.56平方米圆形草场上的草。
那么，可把树桩看作是圆心，绳子长度看作是半径，按照圆的面积公式求出绳子应多长。
这是道由数思形，算术问题几何化的例子。
例2、笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。
鸡和兔各有几只？在教学这条“鸡兔同笼”问题时，可让学生以小组为单位讨论，启发学生能不能利用画图的办法解决“鸡兔同笼”问题，并留出一定的时间，让学生想一想，说一说。
结果，学生发现可以用8个圆圈代表头，先给每个圆圈都配2条腿，这样用了16条腿。
然后把余下的10条腿2条2条地添上，从画图上可清楚得到5只兔、3只鸡。
最后，让学生说说画图与列表的方法有什么不同，学生说画图比较直观。
教学时可以引导学生联系实际，理解题意，运用数形结合把数量之间的内在联系直观化，使学生心中有“数”，脑中浮“形”，从而有效、快速地解决实际问题。
想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解
想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
一、什么是数形结合？1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。
例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。
如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。
概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化二、数形结合应用的三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。
有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。
2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。
3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。
具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。
三、如何运用数形结合思想解答数学题1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
四、应用方式和例题详解（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用解析：方法说明：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。
应用数形结合思想指导数学解题
应用数形结合思想指导数学解题数形结合思想是一种将数学与几何图形结合起来的思维方法，它可以帮助学生更直观地理解数学概念，更精确地解决数学问题。
在数学学习中，数形结合思想是一种非常有效的实践方式，能够帮助学生在解题过程中更好地应用数学知识，提高数学解题的成功率。
在实际操作中，数形结合思想可以运用到以下几个方面：第一，利用几何图形简化数学问题。
通过将抽象的数学问题转化为具体的图形问题，可以使问题更加直观、易于理解，从而更好地解决问题。
例如，对于一个三角形ABC，它的海伦公式（S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2）可能难以直接求解，但是如果我们将其与海伦公式所表示的三角形图形结合起来，就可以更加直观地理解三角形面积的计算方法，从而更好地应用这一公式进行计算。
第二，将数学知识与几何图形结合起来，寻找规律，理解数学概念。
通过将数学问题与几何图形结合起来，可以更加深入地理解相关的数学概念，从而更好地掌握数学知识。
例如，在学习平行四边形的性质时，我们可以通过绘制几何图形，研究其对角线的关系，从而理解平行四边形相邻两边的夹角相等等相关性质。
第三，利用图形进行证明。
通过绘制几何图形，可以更加直观、直观地理解数学定理、公式等，从而更好地进行证明。
例如，在证明勾股定理时，我们可以通过构造直角三角形的几何图形，从而更加清晰地展示出直角三角形三边之间的关系，从而针对性地证明勾股定理的正确性。
综上所述，数形结合思想在数学解题中具有重要作用。
我们应该充分发挥这种思维方式在数学问题中的作用，进一步提高数学学习的效率和效果。
同时，我们也要不断探索数形结合思想与其它学科的结合方式，拓展其应用领域。
如何运用数形结合思想巧解中学数学题
如何运用数形结合思想巧解中学数学题富源县第四中学黎华荣数形结合是数学解题中常用的一种思想方法，它是数学发展中的一条主线。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、具体化，能够把抽象数学问题转化为具体、直观的数学问题，从而把握数学问题的本质，很多问题便可迎刃而解。
本文结合中学生的认知发展的特点，探索出了几条加强数形结合思想应用的途径，即从数形结合思想的本质入手，抓住数与形两者之间的辨证关系，利用数形结合将“数”转化成“形”、将“形”转化为“数”及数形渗透这几方面，弥补中学生在数学解题中存在的不足和缺陷，进而培养中学生的数形结合思想，使学生能够真正掌握数形结合这种解题方法。
由于代数本身缺乏直观性，几何本身缺乏严密性，所以，只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。
正如法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镶，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。
因此，只有将二者有机地结合起来，加强数形结合思想方法的应用，才能充分发挥它们的功效。
另外，在教育教学期间，我结合现目前中学生数学解题能力的实际情况，收集了大量的资料，通过归纳整理，发现现代中学生在解决数学问题的程序中存在的若干问题，并将其改造性地应用于教学中，指导数学教学的工作。
基于以上几点，本文探索出了几点数形结合思想在中学数学解题中的应用的途径。
一、利用数形结合思想将“数”转化成“形”数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。
数学包含着许多的知识技巧，我们若能掌握这些技巧，在解数学问题时便会有事半功倍的效果。
当求解有关数式问题无从着手之际，应尝试图形直观性质的分析，或许能茅塞顿开，发现解题的捷径。
如在解数学题时，常常会遇到一些将数转化成形的问题，我们若能实现这一步转换，将会大大简化解题过程，从而使复杂的数学问题简单化、直观化、具体化。
灵活运用数形结合思想，提升解不等式题的效率
数形结合思想是解答高中数学问题常用的一种数学思想.在解答不等式问题时，灵活运用数形结合思想，根据不等式的几何意义画出几何图形，通过图形和数量关系之间的转化，可以使解题的过程变得更加简单，有利于提升解题的效率.一、求参数的取值范围在运用数形结合思想解答含参不等式问题时，可先根据不等式的结构特征，将参数与变量分离，使参数在不等式的一侧；再将不等式另一侧的式子构造成函数，判断出函数的单调性，画出函数的图象，或根据另一侧式子的几何意义画出几何图形，即可通过研究图形的变化趋势，确定不等式另一侧式子的最值，进而求得参数的取值范围.例1.已知集合A ={}|()x ,y m 2≤()x -22+y 2≤m 2,x ,y ∈R ，B ={}|()x ,y 2m ≤x +y ≤2m +1,x ,y ∈R ，若A ⋂B ≠∅，则实数m 的取值范围为_____.解：由A ⋂B ≠∅可知A ≠∅，故m 2≤m 2，可得m ≤0或m ≥12，①当m ≤0时，集合A 表示以()2,0为圆心、以||m 为半径的圆，集合B 表示两平行线y =2m 和y =2m +1之间的区域，而点()2,0到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m >-m ，点()2,0到直线到y =2m +1的距离d 2=||2-2m -12=-2m >-m ，可知集合A 与集合B 无交集，所以不等式无解.②当m ≥12时，集合A 表示以()2,0为圆心、和||m 为半径的圆环，如图1所示.图1则圆心A 到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m ≤m ，解得12≤m ≤2+2，故实数m 的取值范围为éëêùûú12,2+2.解答本题，需将集合A 中的元素看作以()2,0为圆心，||m 为半径的圆环上的点，集合B 中的元素看作两平行线y =2m 和y =2m +1之间的点，通过研究圆与直线之间的位置关系，建立满足题意的关系式，进而求得参数的取值范围.运用数形结合思想解答此类问题，要仔细挖掘代数式的几何意义，并画出相应的几何图形，借助几何图形来分析问题.例2.已知f ()x =x ||x ，若对任意x ∈éëêùûút -2,1t ，不等式f ()x +t ≥4f ()x 恒成立,则实数t 的取值范围为_____.解：由题意可知f ()x =x ||x =ìíîx 2,x ≥0,-x 2,x <0,由图2可知f ()x 在R 上单调递增.图2因为4f ()x =4x ||x =2x ||2x =f ()2x ，所以f ()x +t ≥4f ()x ⇔f ()x +t ≥f ()2x ，即x +t ≥2x ⇔t ≥x 在x ∈éëêùûút -2,1t 上恒成立.图3解题宝典39由图3可知,ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,①当t >0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≥0,t 2-2t -1≤0,解得1≤t ≤1+2，②当t <0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≤0,t 2-2t -1≥0,解得-1≤t ≤1-2，综上可知，实数t 的取值范围为[]-1,1-2⋃[]1,1+2.解答本题,需先根据函数f ()x =x ||x 的解析式画出图象,以根据其图象和单调性去掉f ()x +t ≥4f ()x 的符号“f ”，将不等式转化为常规不等式；然后借助数轴来讨论满足不等式的t 的取值范围.在解不等式时，要学会将问题转化为函数图象、数轴上的点的集合的问题，运用数形结合思想来解题，这样能有效地提升解题的效率.二、求不等式的解集含参不等式问题往往较为复杂，运用数形结合思想来辅助解题，能有效地提升解题的效率.在解题时，要先将不等式变形，构造出合适的函数模型.可构造一个函数模型，将不等式化为f ()x >0、f ()x <0的形式；也可以构造两个函数模型，将不等式化为f ()x >g ()x 、f ()x <g ()x 的形式.再画出函数的图象，研究函数图象与x 轴、图象之间的位置关系，找到使不等式成立的情形，从而建立新不等式.通过解新不等式，求得不等式的解集.例3.解关于x 的不等式：a 2-2x 2>x +a .解：设y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，则y 1=x +a 表示的是一条直线，y 2=a 2-2x 2表示的是半个椭圆，如图4所示.图4由a 2-2x 2=x +a ，可得x =0或x =-2a 3，移动直线，由图4可知，当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方，故不等式的解集为{}|x -2a3<x <0.先将不等式两侧的式子分别构造成函数y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，并画出两个函数的图象；然后移动直线的位置，即可发现要使不等式恒成立，需使直线始终在椭圆的下方；再求得两个函数的交点，就能发现当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方.运用数形结合思想解不等式，关键要根据题意找出临界的情形，并求出相应的值.例4.已知f ()x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，若f ()a =0()a >0，则不等式xf ()x <0的解集为_____.解：由题意可画出f ()x 的图象，如图5所示.图5由xf ()x <0，可知x 与f ()x 异号.由图5可知，当x ∈()-a ,0⋃()a ,+∞时，x 与f ()x 异号，故不等式的解集为{}|x -a <x <0或x >a .若采用常规方法解答本题，则需进行分类讨论，解题的过程较为复杂.我们运用数形结合思想，根据函数的解析式画出图象，讨论满足不等式的情形，即可确定x 的取值范围.运用数形结合思想解不等式，需通过研究图象，找出满足题意的一段曲线，并求出与之对应的x 的取值范围.运用数形结合思想，将不等式问题转化为几何图形问题或函数图象问题，即可通过研究图形或图象的位置关系，快速获解.这样不仅能使题目中的条件变得直观，还能使解题的思路更加明朗，有助于提升解题的效率.（作者单位：新疆巴楚县第一中学）解题宝典40。
数形结合解题方法和技巧
数形结合解题方法和技巧
本文介绍数形结合解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一方法，提高数学解题能力。
数形结合是一种常用的数学解题方法，它将数学问题与几何图形相结合，通过直观的几何图形来帮助解决复杂的数学问题。
下面，我们介绍一些数形结合解题的方法和技巧。
一、利用几何图形的性质
几何图形具有许多特定的性质，如线段长度、角度大小、平行关系等。
在解题时，我们可以利用这些性质来帮助我们理解问题，甚至可以通过这些性质来推导出未知数的值。
例如，在一道求解三角形题目中，我们可以利用三角形的边角关系，通过余弦定理或正弦定理来求解未知角度或边长。
二、利用几何图形的变换
几何图形可以通过平移、旋转、翻折等变换来改变形态，而这些变换并不改变图形的本质属性。
在解题时，我们可以利用这些变换来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解相似三角形题目中，我们可以
通过旋转或翻折等变换将原图形变换成易于求解的图形，然后再进行计算。
三、利用几何图形的切分
几何图形可以通过切分来将复杂的问题分解成简单的问题。
在解题时，我们可以利用这些切分来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解曲线图形题目中，我们可以通过切分将曲线分割成一些简单的线段或曲线，然后再分别进行计算，最后再将结果相加得到答案。
数形结合是一种非常有用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
巧用数形结合,助力问题解决
巧用数形结合，助力问题解决
数形结合是一种将数学问题和图形问题相结合的方法，通过将数学问题转化成图形问题，可以更好地理解和解决问题。
下面将通过几个例子来说明如何巧用数形结合来解决问题。
例1：矩形面积
问题：一个矩形的长度是5厘米，宽度是3厘米，求矩形的面积。
解法：我们可以将矩形的长度和宽度都用线段表示，在纸上画出一个5厘米长的线段
和一个3厘米长的线段，并将它们相连，就可以得到一个矩形。
然后使用尺子或直尺测量
该矩形的长度和宽度，即可得到面积为15平方厘米。
例2：圆的周长和面积
问题：一个半径为4厘米的圆，求圆的周长和面积。
解法：我们可以使用一个图钉和一根绳子来画圆。
首先将图钉固定在纸上，然后将绳
子绕在图钉上，再将绳子的另一端拉直，并用铅笔固定住。
然后用尺子或直尺测量绳子的
长度，这个长度就是圆的周长。
将测量的周长值记为L=8π厘米。
然后使用公式C=2πr，将半径的数值代入公式，即C=2π×4=8π厘米。
同样，我们可以使用尺子或直尺测量绳子的宽度，这个长度就是圆的直径，将直径的数值代入公式A=πr²，即A=π×2²=4π平方
厘米。
通过巧用数形结合的方法，我们可以更好地理解和解决问题。
无论是几何问题还是代
数问题，数形结合都能提供一种可视化的方法，将抽象的数学问题转化成具体的图形问题，使问题更加直观，更容易解决。
通过数形结合，我们还可以培养对图形的观察和分析能力，提升数学思维的综合性和创造性。
所以，巧用数形结合，可以助力问题的解决。
巧用数形结合,助力问题解决
巧用数形结合，助力问题解决数形结合，是指通过数学与几何的结合，将问题转化为图形形式来进行解决的方法。
巧用数形结合能够帮助我们更好地理解问题，并找到解决问题的有效路径。
下面将介绍一些常见的数形结合的应用。
一、几何平均数与代数平均数的关系几何平均数与代数平均数是两个重要的数学概念，在实际问题中经常会用到。
考虑如下问题：甲乙两人分别以每小时50公里的速度和每小时70公里的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行。
问他们相遇的位置距离出发地A多远？我们可以将问题转化为几何形式：假设他们相遇的位置距离出发地A为x公里，则相遇的时间为x/(50+70)小时。
甲乙两人移动的距离分别是50(x/(50+70))和70(x/(50+70))。
根据几何平均数与代数平均数的关系，可得到如下等式：√[50(x/(50+70)) * 70(x/(50+70))] = x通过求解该方程可以得到相遇的位置距离出发地A的距离。
二、利用相似三角形解决问题相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
相似三角形有几个重要的性质，如对应角相等，对应边成比例等。
利用相似三角形可以解决很多几何问题。
求解下列问题：甲乙两杆分别高5米和2米，两杆的投影重合在地面上，甲杆与地面的倾角为30°，乙杆与地面的倾角为60°。
求甲乙两杆的距离。
我们可以建立一个图形如下：甲乙两杆的顶点P和地面的交点为O，连接PO。
根据正弦定理可得到：sin30°/5 = sin60°/d通过求解上述等式可以得到甲乙两杆的距离。
三、面积与比例的关系面积与比例的关系在几何问题中经常被应用。
用面积比例来求解如下问题：一个正方形和一个矩形，它们的边长分别是a和b，以及一个等周长的长方形，其周长与正方形相等，求这三个图形的面积之和。
我们可以将问题转化为数学形式：正方形的面积是a²，矩形的面积是ab，等周长的长方形的周长是2(a+b)，设其长和宽分别是n和m，则可得到如下等式：n + m = 2(a+b)通过求解该方程组可以求得n和m的值，进而计算出三个图形的面积之和。
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析高三数学是学生学习的重要科目，数学知识体系繁杂，内容复杂。
数形结合是数学学习的重要方法，通过与形态的结合可以更直观地理解抽象的数学知识，提高数学学习的效果。
下面将从解题方法与技巧两个方面进行分析。
一、解题方法1. 分步解题在高三数学数形结合的解题中，解题是一个逐步递进的过程。
可以根据题目的要求，采用逐步分析的方法，一步一步地推导求解，避免盲目开展工作，减少出错的概率。
2. 培养几何直觉在数形结合的解题中，几何直觉是很重要的，尤其是对于几何题目。
能够通过观察几何图形的形状、大小、角度等特征，形成直觉上的认识，可以更快地找到题目中的关键点，从而更快地解决问题。
3. 结合实际问题数学问题往往是抽象的，但是结合实际问题进行解题可以更容易地理解和掌握数学知识。
在解题过程中，可以用实际的长度、面积、体积等量来代入题目进行计算，这样可以更好地理解题意。
4. 建立模型对于一些较为复杂的数形结合问题，可以通过建立模型的方式更好地解决问题。
通过数学模型的建立，可以将复杂的数学概念转化为简单的计算问题，从而更好地解决问题。
二、技巧分析1. 合理利用图形在数形结合的解题中，合理利用图形是很重要的技巧。
通过观察图形的特点，可以更好地理解题目的要求，从而快速解决问题。
2. 选择适当的方法在解题过程中，应该根据题目的条件和要求，选择适当的方法进行解题。
有时候可以通过相似三角形的性质进行解题，有时候可以通过勾股定理进行解题，根据题目的要求选择合适的方法进行解题可以更快地解决问题。
3. 注重数据的转化在数形结合的解题过程中，有时候需要将题目中的数据进行转化，这样可以更好地解决问题。
例如将题目中的长度单位进行统一，将角度换算为弧度等，通过数据的转化可以更方便地进行计算。
4. 注意特殊情况在解题过程中，应该注意特殊情况。
有时候题目中会存在一些特殊的条件或者特殊的图形，这些特殊情况可能会对题目的解答产生影响，因此需要特别注意。
浅谈初中数学解题技巧之数形结合
浅谈初中数学解题技巧之数形结合一、认识数形结合数形结合，顾名思义就是将数学问题中的数字和图形结合起来进行分析和解答。
在很多初中数学题中，都需要通过数形结合的方式来进行解题，比如几何题、函数图像题等。
通过观察图形、抽象数据和数学关系的联系，可以更清晰地理解问题并找到解决问题的方法。
二、数形结合的应用2. 函数图像题在解决函数图像题时，数形结合也是非常重要的。
通过观察函数的图像和计算函数的关系式，可以更好地理解函数的性质和图像的特点。
求解函数的解析式、函数的增减性、最值等问题，都需要通过观察图形和计算数据来进行解答。
在这种情况下，数学问题中的函数图像和关系式是相辅相成的，通过它们的结合可以更好地理解和解决问题。
1. 提高问题理解能力通过数形结合的方式，可以更清晰地理解问题并找到解决问题的方法。
通过观察图形和计算数据，可以更好地理解数学问题中的各种性质和关系，从而提高问题的理解能力。
3. 培养数学思维通过数形结合的方式，可以培养学生的数学思维。
在解题过程中，需要通过观察图形和计算数据来进行分析和思考，从而培养学生的思维能力。
四、数形结合的学习方法1. 多观察图形学生在解题时，需要多观察图形，理解图形的性质和特点，并通过图形去理解问题。
3. 多练习题目学生在学习数学时，需要多练习各种类型的数学题，尤其是需要数形结合的题目，从而熟练掌握数形结合的解题方法和技巧。
4. 多总结经验学生在学习数形结合的解题方法和技巧时，需要多总结经验，找到适合自己的解题方法和技巧，从而提高解题效率和质量。
五、结语数形结合是初中数学解题中常见且有效的方法，通过观察图形和计算数据的结合，可以更好地理解和解决数学问题。
学生在学习数学时，需要灵活运用数形结合的方式进行解题，从而提高解题的能力和水平。
希望通过本文的介绍和讨论，可以帮助学生更好地掌握数形结合的解题方法和技巧，提高数学学习的效果。
数形结合巧解题
数形结合巧解题高考中有很多题目都是以数形结合的形式出现，这类题目可以用抽象思维与具体操作结合在一起进行解答。
在解释数形结合题之前，首先要弄清楚题目具体是什么，即题意要求什么和所给的数据有何关系，弄清题意是解答数形结合题的必要环节。
数形结合的题目中包含了数学概念和图形元素，其中的数据可以通过几何图形来表示，而该几何图形又可以被转换成数学表达式，结合数据可以确定问题的形式，为此，找到题目中的数据及几何图形，分析并结合几何图形的特点及性质，计算出求解的数学表达式，便可以无视细节，直接解题求解。
对于数形结合的题目来说，要掌握几种常见的图形，如角、三角形、正方形、圆等。
针对它们的特点和性质，可以有针对性的运用，进行解答。
例如，总角度和一般是360°，正方形以及长方形的对角线是同样的长度，圆的弧线长度等于其直径乘以2π等，这些性质可以用来解决题目，帮助我们了解几何图形的规律。
除此之外，解决数形结合的题目，还需要运用具体的数学计算和解答方法，如利用比例法解决比例问题、利用概率解决统计问题、利用几何推理进行几何图形问题的解答等。
有了这些具体的技巧和方法，对于遇到的数形结合题目，就可以轻松有效地解决。
此外，解答数形结合题目时，还可以有一些技巧和方法，以提高解决效率。
例如，可以先从题目中抓住最易于理解和解答的部分，以减少弄清题意的时间；其次，可以在解题过程中尽量避免直接计算，而是寻求一些类比、联系，从而利用现有的知识和技巧来解决类似问题；最后，回顾解题过程中出现的数据尝试简化题目，以期获得更高效的解法。
数形结合巧解题是一种涉及几何、数学及解题技巧的综合性能力，要想更快地、更准确地解决题目，就必须做到熟练掌握几何图形的特点与性质，理解不同几何图形之间的联系，并运用相应的解题技巧和方法，把握几何图形与数学表达式的关系，从而更有效的完成解题任务。
有效运用“数形结合”提升解决问题能力
有效运用“数形结合”提升解决问题能力在小学数学教学中，有效运用数形结合的方法，有利于学生学会数学地思考问题;有利于提高分析问题和解决问题的能力。
然而在实际教学中，往往因缺少对数形结合思想方法的渗透和运用，导致学生数学思维的单一，解题能力低下，从而渐渐散失对数学的兴趣。
本文将以教材为依托，以实际课堂教学为参照，对“数形结合”在小学数学解决问题教学中的有效应用进行研究，主要包括三大领域：1.在数与量的认识和比较时有效应用数形结合，将抽象的数与直观的图形进行联系，让学生养成见数有图，见图思数的习惯。
2.在分析数量关系中有效应用数形结合，使图形操作与数学思考融为一体。
3.在建立数学模型时有效运用数形结合，让学生整体把握数学问题。
通过实例分析与研究论述，探索数形结合的应用范围及规律，凸显它的神奇魅力。
标签：数形结合解决问题有效应用小学生对数的理解往往需要借助形来加强直观，而对形的理解又往往需要借助于数来使其深刻。
在小学数学教学中，有效运用数形结合，不仅有利于使抽象枯燥的数量关系变得形象、具体，充满乐趣，更有利于学生利用已有的图形操作经验进行动态地思考，将观察、想象、推理、表达、思考有机融合，促使解决问题能力的发展。
在教学中怎样适时高效的应用数形结合呢？下面就自己的教学实践与思考谈几点粗浅的看法。
一、在数与量的认识和比较时有效应用数形结合数是数学的基础，数直线是小学数学教学中重要的工具，用好数直线，学生将有机会体验数学、经历数学。
带给学生解决问题的思路、方法和策略。
如让学生探讨：12875更接近哪个整万数？有的学生通过计算12875-10000=2875，20000-12875=7125，发现12875更接近10000。
如果用数线段直观表示，学生就能清楚的看出12875更接近10000。
数直线帮助学生直观地理解近似数。
在学习小数的性质之后，通常要学生判断0.6和0.60哪个小数更精确？大部分学生只是记住了小数位数越多，这个小数就越精确，究其原因，则知之甚少。
巧解数形结合提高解题能力-文档
巧解数形结合提高解题能力数形结合是数学教学中一种重要的思想方法，也是数学解题中最为常见的思想方法.数形结合，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何位置、图形关系结合起来，借助“以数助形”、“以形助数”的方式将某些抽象复杂的数学问题直观化，生动化，简单化，进而启发思维，优化解题方法.因此，在高中数学教学中，教师要注重数形结合解题思维能力的训练，使学生在学习过程中绕过障碍，做到胸中有图，见“数”思“形”，以促进学生对数学知识的理解，培养学生数学思维，提高学生数学解题能力.一、借“数”解“形”，优化解题方法借“数”解“形”，即通过所给的图形，分析图形中蕴含的数量关系，进而揭示出其本质关系.在某些有关几何图形性质的问题中，可将其转化为数量关系的问题，借助“以数助形”的方式，如向量法，坐标法、三角法、代数法、解析法、复数法等，可达到化难为易，优化解题方法的目的.下面通过向量法和坐标法对借“数”解“形”在解决数学问题中的一些妙用进行说明.1.借助向量法解决几何问题借助向量法解决几何问题，就是将几何问题转化为向量问题，几何图形中各线段的关系转化为向量的关系，根据向量的基本定理，运用向量的几何意义及向量数量积的概念，解决几何问题.在高中数学中，向量是数形结合的桥梁，是沟通数形内在联系的重要工具.借助向量法解决几何问题，过程简捷，思路清晰, 可以使图形间的关系代数化，促使学生找到解题途径.如用“向量法”推导两角差的余弦公式，二、以“形”助“数”，提高解题能力以“形”助“数”，是数形结合的一个分类，将数转化为形, 能使许多抽象的概念和关系直观化、形象化，可以使一些较复杂的问题简单化，许多数学问题，通过以“形”助“数”，不仅可以使学生发现问题的隐含条件，诱发解题线索，而且可以加深学生对问题的认识和理解，使学生在解题中更得心应手.1.运用数形结合解决集合问题当某些集合的解集以不等式形式出现，要求它们的交集或并集时，往往会运用数形结合的方法，将不等式的解集通过数轴表示出来，从而求出问题的答案.总之，在高中数学教学中，合理有效地运用“数形结合”这一思想方法，可使数与形的信息相互渗透，有利于发展学生思维, 培养学生创新意识，提高学生解题能力.。
高中数学教学中如何运用数形结合提高解题能力
高中数学教学中如何运用数形结合提高解题能力高中数学教学中，数形结合是一种常见的教学手段。
它能够帮助学生更加深入地理解抽象的数学概念，提高数学解题的能力。
数形结合不仅仅是一种教学方法，更是一种符合中国文化的学习方式。
在中国文化中，很多概念都是与物相结合，通过物来进行概念的理解，这也是数形结合的核心理念。
在数学教学中，数形结合通常通过具体的图形来阐释抽象的数学概念。
这种方法可以有效地帮助学生理解概念和策略，同时也能够提高学生解题的能力。
举个例子，当我们需要求解一个数学问题时，通过画出对应的图形，可以更加清晰地表达问题，理解问题，进而通过数学方法进行求解。
在数学教学中，将数学与几何、立体几何等相关的物理学概念相结合，可以提高学生的数学直觉和几何思维能力。
几何图形往往具有直观性，通过对图形的分析可以发现潜在的规律和性质。
比如，在解决三角形问题时，我们可以以一个角为顶点，并将其放置在平面直角坐标系中，这样一来我们就可以得到三角形的坐标表示形式，从而利用坐标几何知识来解决问题。
其次，在数学教学中，数形结合也常常用于解释和证明数学定理和公式。
举个例子，在证明三角形中位线定理时，我们可以通过画出对应的几何图形，将三角形划分为若干个小三角形，这样一来我们可以更加直观地理解并证明该定理。
最后，数形结合在数学教学中也被广泛应用于解决实际问题。
实际问题往往具有多样性和复杂性，通过对问题进行建模，可以使用数学知识进行求解。
数形结合可以帮助学生将抽象的数学知识转化为具体的实际问题，同时也可以帮助学生通过观察、思考和分析问题解决策略，提高解决实际问题的能力。
综上所述，数形结合是一种非常重要的数学教学手段。
在数学教学中，通过数形结合可以更好地理解数学概念、证明数学定理和解决实际问题，同时也可以提高学生的数学解题能力和几何思维能力。
这种方法符合中国文化中注重物相结合的特点，有助于学生更好地跟进数学学习的步伐。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。
今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。
例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。
解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。
我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。
解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。
根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。
通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。
例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。
解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。
解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。
然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。
三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。
运用数形结合思想提高学生解题能力
运用数形结合思想，提高学生解题能力数形结合的思想是重要的数学思想之一，我们在讲解可用图象解决或辅助解决的一些数学习题时，常要向学生介绍这种思想，并培养学生逐步建立这种思想，以期达到提高学生解决问题的能力的目的。
然而在讲授新的知识还没接触到习题时，能不能就向同学宣传这种思想并训练他们运用这种思想去研究新知识，而深化对概念的理解呢？我以为是可以的。
对“数形结合”中的“数”应有广义的理解，它可以就是一般意义上的数，如实数，也可以是表示数的式，如代数式或超越式，甚至它可以是变数即函数；“形”当然是各种形式的“数”的几何图形表示。
几何习题中的形无须寻找，它本身就是研究图形的，而代数课中的许多概念往往很抽象，如果能用几何图形把它们的含义表示出来，就把抽象的东西变成了形象的东西，这不仅使理解变得容易，还会使理解变得深刻。
函数有图象表示的方法，集合有文氏图表示，不等式的解集可在数轴上表示等等，这些范围内的问题往往使得我们很容易想到画图帮助解决，但仅这些还很不够，数形结合的用武之地还要大得多。
只要对教材熟练的掌握及准确深刻地理解，我们还能开拓新的领地。
如讲解函数定义这一非常重要概念时，多数同学对那么长的一句话所表述的内容感到既难记，更难理解。
最初我把长话短说，把定义分割成几个段落，分层次讲解，同学们感到稍微好理解一些，但远不是透彻理解。
后来我设计了这样一个题：下列四个图象中关于坐标轴对称的函数图象的个数是（）这个问题从初三考到高三，高三同学不一定做得对，初三学生可以答得很好。
初看题面往往被“关于坐标轴对称”这一要求所吸引，觉得（１）（２）（３）三个图满足要求，因而选择（Ｂ），而事实上正确答案应当是（Ｄ），仔细审题发现题目中前边说的是“图象”，后面说的是“函数图象”，题目要求找图象：①是函数的图象②图象关于坐标轴对称。
对定义中“对自变量Ｘ的每一个确定值，另一个变量Ｙ都有唯一确定的值与它对应，”这一严格的对应要求，无准确地理解、误选①②两图则不可避免。
高考数学 解题方法 数形结合 直观快捷 理
数形结合 直观快捷一、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用 构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围． 【例1】 若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】当x ＝0时，显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为 1k＝(x ＋4)|x |(x ≠－4)，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f (x )＝(x ＋4)|x |＝()()224040x x x x x x ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩的大致图象如图所示，由图，易得0<1k<4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞. 【类题通法】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．【对点训练】1．函数f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数是________． 【答案】2【解析】令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.2．(2017·成都一诊)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________．【答案】－7【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式． 【例2】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】设y ＝g (x )＝f xx(x ≠0)， 则g ′(x )＝xfx －f xx 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【类题通法】(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围．(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．【对点训练】1．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．【答案】[)2－1，＋∞【解析】集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞)．2．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12【解析】作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.三、数形结合思想在解析几何中的应用构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围.【例3】 (2017·成都二诊)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2A ．又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4A ．在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2⇒e ＝c a＝ 5.【类题通法】(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．【对点训练】1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.2．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．【答案】2 2【解析】由题意知圆的圆心C (1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S △PAC ＝12·|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.3．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ， 由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |， 当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.。