图形与证明 ~~期中复习

F
E
D C
B
A
B
A
C
D
E
O
图形与证明（二）复习课~~有关计算
班级_________ 姓名__________
学习目标：
1.理解特殊三角形的概念，以及它们之间的关系；特殊四边形的概念，以及它们之间的关系；
2.探索并证明特殊三角形、四边形的性质、判定定理，并能解决有关的运用；
3.学会分析与综合的思考方法，能有条理的思考与表达自己的想法；
4.感受公理化思想，转化思想。

学习重点：
能运用特殊图形多边形的性质与判定的解决问题，并能进行有关计算。

学习难点：
合理的运用多边形的性质，解决多边形的计算。

【课前练习】：
1.以等腰三角形、菱形为例整理它们的判定、性质，画出知识结构图。

等腰三角形：
判定：（几何语言） 性质：（组成元素）_______________________
______________________________ ____________________ ______________________________ _____________________ （图形整体）______________________ _____________________ ______________________________ ______________________________ 菱形：
由菱形面积的推导可以看出多边形的问题通常的思想方法：____________________________.
【小试牛刀】：
1.等腰三角形的一个角为︒30，则顶角的度数是____________．
2.在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，且AE ＝2，DE ＝1，则□ABCD 的周长等于 ．
3.如图，在△ABC 中，∠C=900，点D 在BC 上，DE 垂直平分AB ，且DE=DC ，则∠B =______.
4.如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120º，则AB 的长为_____________。

5.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，则图中面积相等的三角形有______。

变式：若5,3==BC AD ，则BOC ABO S S ∆∆:=____________。

6.等腰三角形的腰长是6cm ，底边长是8cm ，那么以各边中点为顶点的三角形的周长是____cm.
【典型例题】：
例1.（1）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10cm ，CD=6cm ，E 为AD 上一点，且BE=BC ，CE=CD ，则DE =__________cm.
（2）如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=6cm ，BC=10cm.则EC 的长为_____.
（3）如图：菱形ABCD 中，对角线AC=16cm ，BD=12cm ，则A B C D S 菱形=__________，若BE ⊥CD 于点E ，则BE 的长为________。

变式：若E 为AC 中点，P 是AC 上的一个动点，AB=10cm ，
︒=∠120D 。

则PB+PE 的最小距离是______________。

E D
C
B
A
A
E
D
C
B
A
B
C
D
E
例2.如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ，∠A=∠D ，AF=DC 。

（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）若∠ABC=900，AB=4，BC=3，当AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形。

例3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

（1）求证：四边形EFGH 是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH 的面积。

【随堂练习】：
1.菱形ABCD 中，若对角线长AC ＝8cm ，BD=6cm ，则边长AB ＝__________cm 。

2.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90º，AB ＝7cm ，BC ＝3cm ，AD ＝4cm ，则CD ＝_________cm 。

3.如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC ，则下列正确的有（ ） （1）︒=∠5.22E (2)︒=∠5.112AFC (3) ︒=∠135ACE （4）CE AC = （5）2:1:=CE AD A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 的中点且DE ∥AB,则∠BCD 的度数是____________
【课后练习】：
1.将矩形ABCD 沿某直线折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE .（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）若将“矩形ABCD ”换成“梯形ABCD ”上述结论是否仍然成立？若成立，请你归纳一下你的发现与思考。

（3）若 4 , 8 ,AB AD ==求BF 、EF 的长。

2.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 为菱形，且A （0,3）,B （-4,0）. （1）求经过点C 的反比例函数解析式；
（2）设P 是（1）中所求函数图象上的一点，以P 、O 、A 为顶点的三角形的面积与△COD 的面积相等，求点P 的坐标。

O
H
G
F
E
D
C
B
A
( D
')
( C ')
E
A B
C
D
F
图形与证明（二）复习课~~有关证明
班级_________ 姓名__________
学习目标：
1.理解特殊图形的判定，能有条理的进行证明；
2.感受公理化思想，转化思想。

学习重点：
能运用特殊图形多边形的判定的解决问题，并能进行有关证明。

学习难点：
合理的运用多边形的判定
【课前练习】：
1.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有____________________。

2.用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 ______________________。

3.顺次连接等腰梯形的各边中点所成的四边形是______________；顺次连接对角线_______________的四边形各边中点所得的四边形是菱形。

4.如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB DC =，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是_______________(填上一个答案)。

5.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B`处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB`与AD 的交点C`处.则BC ∶AB 的值为______________.
6.如图，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接P A 、PB 、PC 、PD ，得到△P AB 、△PBC 、△PCD 、
△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：①S 1+S 2=S 3+S 4 ②S 2+S 4=S 1+S 3 ③若S 3=2S 1，则S 4=2S 2 ④若S 1=S 2，则P 点在矩形的对角线上。

其中正确的结论的序号是________________________.
7.已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，M ，N 分别是OA ，OC 的中点。

求证：BM=DN ，BM ∥DN.
8.你能有几种方法画出AOB ∠的平分线？简要说理。

【典型例题】：
1.如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ， 求证：点F 在∠DAE 的平分线上．
2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，F E 、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．
（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当DC AB =时，求证：□AEFD 是矩形．
A
D
C
F
E
B
N
M O F E
D
A
E
F
C
D
B
A
G
3.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BDC=900
，E 为BC 上一点，∠BDE=∠DBC ．
（1）求证：DE=EC ． （2）若AD=2
1
BC ,试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．
4.如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 边上任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F 。

（1）求证：AF –BF=EF ；
（2）将△ABF 绕点A 逆时针旋转，使得AB 与AD 重合，记此时点F 的对应点为点F’。

若正方形边长为3，求点F’与旋转前的图中点E 之间的距离。

【随堂练习】：
1.等腰三角形有两边长为2和5，则周长为_________，等腰三角形有一个角等于50°，则另两个角为__________。

2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 的坐标为_____________________。

3.在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是___________________________________________．（写出三种情况）
4.如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点. （1）求证：△MBA ≌△NDC ；
（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由.
【课后练习】:
1.已知□ABCD 中，AB=8，BC=10，∠B=45°,□ABCD 的面积为_________，□ABCD 的周长为50cm ，且AB ：BC = 3：2，则AB=______cm ，BC=______cm.
2.矩形的两条对角线的夹角为600，两条对角线的长度的和为8cm ，则这个矩形的一条较短边为________________cm ，面积为_________________。

3.菱形ABCD 的周长为20，相邻两内角之比为1:2，则对角线长分别为_____________。

4.等腰梯形的一个角为120°，两底分别为10和30，则它的腰长为____________。

5.若等腰梯形的周长为80cm, 高为12cm,中位线长与腰长相等, 则它的面积为_______cm 2。

6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 的中点，BC ＝2AD ，EA ＝ED ＝2，AC 与ED 相交于点F ．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）当AB 与AC 具有什么位置关系时，四边形AECD 是菱形？
请说明理由，并求出此时菱形AECD 的面积．
7.已知：如图，□ABCD 的四个内角平分线相交于点E 、F 、G 、H 。

求证：EG=FH
8.已知：在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 、F 分别是AB ，CD 的中点,且AC=BD ， 求证：OM = ON
A
C B
D
E F
A B M N
P
F
H
A
B
C
D
E
G
B
A
y
x
B
A
y
x
M
D
E
A
B
C
【典型练习1】：
1.顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形
2.如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，求证：ME=MD
3.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别 在OD 、OC 上，且DE=CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M. 求证：AM ⊥DF.
4.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60º，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上． (1)如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF ＝60º，求证：BE ＝DF ； (2)如图2，若∠EAF ＝60º，求证：△AEF 是等边三角形．
1.（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN ． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE=MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC ．
∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠MAB=∠MAE ． （下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n 边形ABCD ……X”，请你作出猜想： 当∠AMN=_______°时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
2.如图：直线6+-=x y 与坐标轴分别相交于点A 、B ，点P 是直线AB 上的一点，Q 是双曲线
()0≠=
k x
k
y 上的一点，若O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请在图中找出所有符合条件的点Q ，并求出点Q 的坐标和写出相应k 的值。

2
1
E
M
F
A
B C
D
【典型练习2】：
1.已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F. （1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE+PF 的值；
（2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求PE －PF 的值.
2.已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2。

(1）若CE=1，求BC 的长；(2）求证AM=DF+ME 。

【变式】：3.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中： （1）∠EAF 的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由．
4.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 是角平分线，点E 、F 分别在AC 、AD 上，且AE=AB ，EF ∥BC 。

求证：四边形CDEF 是菱形。

5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动． （1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点E 在线段BC 上，且BE ＝3cm ，若动点M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几秒
钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形？
D
C
B
A
E
F
N
M
D A。