因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题

因式分解-----十字相乘法
1．认识二次三项式
多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次
三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．
2．十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2
，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2
(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，
那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注
意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(8652
2-+=-+x x y xy x
3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
【典型热点考题】
例1 把下列各式分解因式：
（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．
解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；
（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．
例2 把下列各式分解因式：
（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．
点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．
解：（1）=--3522x x （2）=-+3832
x x ．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式：
（1）91024+-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．
点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2
x 的二次三项式；
（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；
（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．
解：（1）
（2）
（3）
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止． 十字相乘法专项练习题
(1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
(3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2；
(5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6；
(7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6；
(9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3；
(11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15；
(13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35；
(15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9；
(17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20；
因式分解之分组分解法
1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-
3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律
1.合理分组（2+2型）；
2.组内分解（提公因式、平方差公式）
3.组间再分解（整体提因式）
4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就 选用“三一分组”的方法进行分组分解。

因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五．练习巩固
1．用分组分解法分解因式ab －c ＋b －ac
2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是（ ）
3．填空：
（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( )
（2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( )
（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( )
4．把下列各式分解因式
（4）9m 2－6m ＋2n －n 2
（5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn )2().()
2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)
2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+b a ab a 3217)2(2--+1243)3(22--+a x ax。