高三数学三垂线定理PPT优秀课件
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立体几何之三垂线定理 PPT
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(2)
• 如果平面α内得直线a垂直于斜线 OP得射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(3)
• 满足条件(2)得直线a必垂直于斜线 及射影所确定得平面
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(4)
• 运用三垂线定理及逆定理得规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
则AG BC，连结A'G则A'G BC
A'F FG 3 a A'G 6 a
4
4
即A'点到BC的距离是 6 a 4
AG 3 a， 2
A
E F D
B
C G
垂直于AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若AB 5cm，AC BD 8cm，
AB和平面的距离为7cm，求CD的长
A
B
C
A1 O α
B1 D
举一个例子
分析：①因为AB 平面，又因为AB AC,
A
B
AB BD，则应想AA1 BB1 7cm且AA1 所以A1B1 AB 5cm
得距离 • 求二面角得平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证：所截得的 ABC是锐角三角形
P C
A
B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证明：过P作PD AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 连结CD，由三垂线定理可知，CD AB， CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
三垂线定理及其典型例题ppt课件
思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换，命题是否成立？
三垂线定理的逆定理： 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言
2°定理的关键找“平面”这个参照学。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
三垂线定理ppt课件
精品课件
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
O α
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
精品课件
P
已 知 ： P O 、 P A 分 别 是 平 面 的 垂 线 、 斜 线 ， O A 是 P A 在 内 的 射 影 ， a ,且 a O A α O
三垂线定理
P O α
a
A
精品课件
2021/3/23
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
B
90°
C
精品课件
45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
O α
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
精品课件
P
已 知 ： P O 、 P A 分 别 是 平 面 的 垂 线 、 斜 线 ， O A 是 P A 在 内 的 射 影 ， a ,且 a O A α O
三垂线定理
P O α
a
A
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2021/3/23
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
B
90°
C
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45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线定理 (2) 课件 高中数学课件 高考数学
三垂线定理
一、三垂线定理 在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线 垂直。
此张幻灯片在“直线在平 面 内的运动情况”的图片里
练习题 （一）填空 1、在 ( ）的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的（ ）垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
2、在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影（ ），那么它也和这条 斜线（ ）。
Hale Waihona Puke （二）判断题 一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和 斜线在平面内的射影垂直。
（三）选择题 1、直线m是平面α的一条斜线，直线m'是m在平面α上的射 影，若直线m' ⊥直线n,则（ ）。 A、 m ⊥ n B、 m‖ n C、 m与n斜交 D、m与n不平行
2、在一个平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线有 （ ）。 A、 无数条 B 两条 C 一条 D 0条
二、三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么 它也和这条斜线的射影垂直。
例题：在正方体AC '中， 求证：A' C ⊥平面 BC' D。
练习题 （一）选择题 1、如图，BC是 Rt △ABC的斜边，AP ⊥ 平面ABC， PD ⊥ BC于D，则图中直角三角形的个数是（ ） 个。 A 8 B 7 C 6 D 5
E
（二）解答题 1、O是边长为a的正方形ABCD 的中心，PO ⊥ 平面ABCD，若 PO=b，求P到正方形ABCD各边 的距离。
2、如图，平面α内有一个圆O ， AB 为直径，C为圆周上任意一 点，PA ⊥平面α，求证：PC ⊥ BC。
P
D O A B E C
3、如图、平面α内有一 Rt△ABC,∠C=Rt∠, AC=3cm,BC=4cm,D为BC中 点，PD ⊥平面α，且PD=5cm, 求：P点到△ABC各边的距离。
一、三垂线定理 在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线 垂直。
此张幻灯片在“直线在平 面 内的运动情况”的图片里
练习题 （一）填空 1、在 ( ）的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的（ ）垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
2、在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影（ ），那么它也和这条 斜线（ ）。
Hale Waihona Puke （二）判断题 一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和 斜线在平面内的射影垂直。
（三）选择题 1、直线m是平面α的一条斜线，直线m'是m在平面α上的射 影，若直线m' ⊥直线n,则（ ）。 A、 m ⊥ n B、 m‖ n C、 m与n斜交 D、m与n不平行
2、在一个平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线有 （ ）。 A、 无数条 B 两条 C 一条 D 0条
二、三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么 它也和这条斜线的射影垂直。
例题：在正方体AC '中， 求证：A' C ⊥平面 BC' D。
练习题 （一）选择题 1、如图，BC是 Rt △ABC的斜边，AP ⊥ 平面ABC， PD ⊥ BC于D，则图中直角三角形的个数是（ ） 个。 A 8 B 7 C 6 D 5
E
（二）解答题 1、O是边长为a的正方形ABCD 的中心，PO ⊥ 平面ABCD，若 PO=b，求P到正方形ABCD各边 的距离。
2、如图，平面α内有一个圆O ， AB 为直径，C为圆周上任意一 点，PA ⊥平面α，求证：PC ⊥ BC。
P
D O A B E C
3、如图、平面α内有一 Rt△ABC,∠C=Rt∠, AC=3cm,BC=4cm,D为BC中 点，PD ⊥平面α，且PD=5cm, 求：P点到△ABC各边的距离。
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B
Q
l
D
28
【典例剖析】
例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心， 试证：OQ⊥平面PBC。
【典例剖析】 例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 （1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1； （3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P
M
C
A
B
N
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”， 如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连 线就是斜线在平面上的射影。
逆定 线垂直,那么它
理
也和这条斜线的 射影垂直.
PA
a
aAO
aPO
同上
【知识梳理】
重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的 距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
三垂线定理PPT课件
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
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垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、如图四面体中，如果AB是直径，Ｃ为圆周上任意
点且ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ．那么该四面体最多有
多少个直角三角形（ C ）
P
（A）有一个直角三角形
（B）有两个直角三角形
（C）都是直角三角形
A
（D）一定都不是直角三角形
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
Q
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，
∴AQ⊥平面PBC，
∴QR 是 AR 在 平 面 PBC 的 射 影 ， 又 AR⊥PB ，
R
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
A
C
∴∆PQR是直角三角形。
B
四 课堂练习
1.判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
D1
△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是
△PAC的垂心。
探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平
面ABC，∠BPC=９０ ° ．
求证：∠BPA= ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。
本节课到此结束
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
B C
三、例题分析：例１、空间四边形ABCD中，
AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC ⊥BD。
证明：
如图，若AB是平面BCD的斜 线，过A
A
作AO⊥平面BCD于O，连结BO，
∵AB⊥CD，
∴CD⊥BO（三垂线逆定理）.
D
同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂B 心，
∴BD⊥OC，
O
∵OC是AC的射影，
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（ ×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
D
C
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（
×
）
A
面ABCD
B
→面α
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
三垂线定理
(06高考复习)
EMAIL:
三垂线定理及其逆定理（一）
复习回顾
P
基础应用
A
能力拓展
B C
课堂练习
一 基本概念：
三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直 线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那么，它也和这条斜线的射影 垂直。
则 a⊥b
（√）
面直直面直 直面直直A线线B线线A线线B1ABBBAACAB11CC1BDCB11CDCCB→→→→1→→→→垂面斜斜垂面斜面线α线线线α线β baaba
2. 在正方体AC1中，
D1 A1
C1 B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 D
C
证明： ∵在正方体AC1中
A
B
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
C
∴BD⊥AC（三垂线定理）。
例BD21，.如AC图，，CB已1，知B正1A方，体求A证BC：D-BAD11B⊥1C平1D面1中A，B1C连结
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
Байду номын сангаас
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
3°应用步骤:分三个步骤-“一垂二射三证”
五.布置作业：
１．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角 相等。
（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线 段DB、DC，DA=a，∠BDA=∠CDA=60°， ∠ BDC=90 °，求BC的长。
（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，
要直经，过 应点 怎E样在画上？底面上画一条直D1线和C、E E的连C1线垂
D
请同学思考：如何证明BD1⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
例3.如图所示,已知PA ⊥平ABC,∠ACB=90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角 形。
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， P ∴BC⊥PC（三垂线定理）， ∴∆PBC是直角三角形；
A1
·
B1
D A
C B
２．已知P在平面ABC内的射影是O，
若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是
△ABC的
。
若PA=PB=PC ，则点O是△ABC的
。
若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC
的
。
探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。
探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
定理内容分析：
1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)； 四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜 线，射影可见，直线随便。
2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直 （2）射影与平面内的直线垂直 （3）斜线与平面内的直线垂直
二、基础性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的
D1
射 影由三垂线定理知 A1C⊥BC1 . A1
同理可证， A1C⊥B1D1
D
C1 B1
C
A
B
小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条
异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面 的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们 可以从以下三点加以理解:
1°知识内容：三垂线定理及其逆定理； 2°思想方法:转化的思想,转化的关键是:找 平面的垂线
（A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、如图四面体中，如果AB是直径，Ｃ为圆周上任意
点且ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ．那么该四面体最多有
多少个直角三角形（ C ）
P
（A）有一个直角三角形
（B）有两个直角三角形
（C）都是直角三角形
A
（D）一定都不是直角三角形
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
Q
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，
∴AQ⊥平面PBC，
∴QR 是 AR 在 平 面 PBC 的 射 影 ， 又 AR⊥PB ，
R
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
A
C
∴∆PQR是直角三角形。
B
四 课堂练习
1.判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
D1
△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是
△PAC的垂心。
探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平
面ABC，∠BPC=９０ ° ．
求证：∠BPA= ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。
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B C
三、例题分析：例１、空间四边形ABCD中，
AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC ⊥BD。
证明：
如图，若AB是平面BCD的斜 线，过A
A
作AO⊥平面BCD于O，连结BO，
∵AB⊥CD，
∴CD⊥BO（三垂线逆定理）.
D
同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂B 心，
∴BD⊥OC，
O
∵OC是AC的射影，
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（ ×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
D
C
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（
×
）
A
面ABCD
B
→面α
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
三垂线定理
(06高考复习)
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复习回顾
P
基础应用
A
能力拓展
B C
课堂练习
一 基本概念：
三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直 线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那么，它也和这条斜线的射影 垂直。
则 a⊥b
（√）
面直直面直 直面直直A线线B线线A线线B1ABBBAACAB11CC1BDCB11CDCCB→→→→1→→→→垂面斜斜垂面斜面线α线线线α线β baaba
2. 在正方体AC1中，
D1 A1
C1 B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 D
C
证明： ∵在正方体AC1中
A
B
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
C
∴BD⊥AC（三垂线定理）。
例BD21，.如AC图，，CB已1，知B正1A方，体求A证BC：D-BAD11B⊥1C平1D面1中A，B1C连结
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
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B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
3°应用步骤:分三个步骤-“一垂二射三证”
五.布置作业：
１．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角 相等。
（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线 段DB、DC，DA=a，∠BDA=∠CDA=60°， ∠ BDC=90 °，求BC的长。
（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，
要直经，过 应点 怎E样在画上？底面上画一条直D1线和C、E E的连C1线垂
D
请同学思考：如何证明BD1⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
例3.如图所示,已知PA ⊥平ABC,∠ACB=90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角 形。
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， P ∴BC⊥PC（三垂线定理）， ∴∆PBC是直角三角形；
A1
·
B1
D A
C B
２．已知P在平面ABC内的射影是O，
若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是
△ABC的
。
若PA=PB=PC ，则点O是△ABC的
。
若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC
的
。
探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。
探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
定理内容分析：
1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)； 四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜 线，射影可见，直线随便。
2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直 （2）射影与平面内的直线垂直 （3）斜线与平面内的直线垂直
二、基础性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的
D1
射 影由三垂线定理知 A1C⊥BC1 . A1
同理可证， A1C⊥B1D1
D
C1 B1
C
A
B
小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条
异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面 的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们 可以从以下三点加以理解:
1°知识内容：三垂线定理及其逆定理； 2°思想方法:转化的思想,转化的关键是:找 平面的垂线