矩阵的特征值与特征向量(1)

矩阵的特征值与特征向量

摘要

本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。通过阅读这篇文章，可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。

关键词：矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式

Matrix eigenvalue and eigenvector

Zhong Yueyuan

(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)

Abstract

This paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix -- the real symmetric matrix value and the characteristic vector, the reader of matrices have further understanding and feature vector. Finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.Let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make our society develop quickly. By reading this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.

Key word :Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial

目录

中文摘要........................................................ . (Ⅰ)

Abstract..................................................... . (Ⅱ)

引言........................................................ (1)

1 矩阵的特征值与特征向量........................................................ .. (1)

1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论 (1)

1.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 (4)

2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (7)

2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化 (7)

2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向

量 (9)

3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用 (10)

3.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项 (11)

3.2 在研究经济发展与环境污染中的应用 (12)

4 结论........................................................ .. (15)

参考文献........................................................ (16)

致谢........................................................ . (17)

引言

矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用。

1 矩阵的特征值与特征向量

1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论

定义1 设A 一个n 阶方阵，λ是一个数，如果方程

E =AX λ (1.1)

存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量。

(1) 式也可写成，

0)(=-X E A λ (1.2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 0=-E A λ (1.3)

即 0212222111211=---λλλnn n n n n a a a a a a a a a

上式是以λ为未知数的一元n 次方程，称为方多项式阵A 的特征方程。其左端λ是A 的n 次多项式，记作)(λf ，称为方阵A 的特征。