北师大版八年级数学上册《二次根式》精品教案
2024年北师大版八年级上册教学设计第二章2.7 二次根式
第1课时二次根式及其性质课时目标1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.2.通过对二次根式的性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力.3.经历在具体情境中发现二次根式的过程,体会引入二次根式的必要性.4.经历观察、交流、总结等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,让学生体现发现的快乐,并提高应用的意识.学习重点了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式化简为最简二次根式.学习难点对二次根式的性质的探究.课时活动设计问题引入思考:用带根号的式子填空,观察这些结果有什么特点?(1)图1的画框为正方形,若面积为8 dm2,则边长为√8dm;若面积为S dm2,则边长为√S dm.,土地的面积为13 m2,则它的长(2)图2是一块长方形的土地,若宽是长的35为√65m.3图1图2设计意图:通过实际问题,让学生用带根号的式子填空,为下面探究二次根式的特征作准备.知识回顾1.什么叫做平方根?2.什么叫做算术平方根?3.什么数有算术平方根?设计意图:回顾平方根和算术平方根的定义,为本节课要学习的内容作准备.探究新知探究1二次根式的概念教师提出问题,学生思考并解答,最后教师总结.,这些式子分别问题1:问题引入中的问题,我们得到的结果分别是√8,√S,√653表示什么意义?解:这些式子分别表示8,S,65的算术平方根.3问题2:非负数b,m+n,t2-2的算术平方根怎么表示?解:算术平方根分别是√b,√m+n,√t2-2.问题3:什么样的数才有算术平方根?解:只有非负数才有算术平方根.问题4:这些式子有什么共同特征?解:①含有“√”;①被开方数为非负数.总结二次根式的概念:一般地,形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.(注意:a可以是数,也可以是式子.)二次根式的两个必备特征:①外貌特征,含有“√”;①内在特征,被开方数a≥0.探究2二次根式中字母的取值范围学生思考,小组交流,回答下列问题.问题1:使二次根式√m-2在实数范围内有意义的m的取值范围是.分析:要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.解:由m -2≥0,得m ≥2.①当m ≥2时,√m -2在实数范围内有意义. 问题2:使式子√a -1在实数范围内有意义的a 的取值范围是 .分析:若二次根式为分母时,应同时考虑分母不为零. 解:由a -1≥0,得a ≥1. 又①√a -1为分母,①√a -1≠0. ①a -1≠0,即a ≠1. ①当a >1时,√a -1在实数范围内有意义.总结 二次根式中字母的取值范围的依据: (1)形如√m 的二次根式有意义的条件:m ≥0. (2)二次根式作为分式的分母时,如√m有意义的条件:m >0.探究3 二次根式的性质观察下列式子,你发现了什么?学生思考,小组交流讨论. √4×9=6;√4×√9=6;√49=23;√4√9=23;√2549=57;√25√49=57. 问题1:你有什么猜想?解:√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0),√a b =√a√b (a ≥0,b >0).问题2:根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证一下吧.(结果精确到0.000 1)(1)√6×7= ,√6×√7= ;(2)√67=√6= .解:(1)6.480 7 6.480 7 (2)0.925 8 0.925 8 验证猜想:√6×7=√6×√7,√67=√6√7.总结 二次根式的性质:(1)积的算术平方根等于算术平方根的积;(2)商的算术平方根等于算术平方根的商.√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0),√a b =√a√b (a ≥0,b >0).探究4 最简二次根式 问题:化简下列二次根式.(1)√81×64; (2)√25×6; (3)√59. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6. (3)√59=√5√9=√53.交流:观察化简结果5√6,√53,这些数有什么特点呢? 解:被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数或因式.小结 最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.设计意图:引领学生自主探索二次根式的性质,从特殊数入手,希望学生获得一定的感性经验,再进一步强化这样的经验和猜测,最后经由学生交流,总结、归纳出二次根式的性质.典例精讲 例1 化简:(1)√81×64; (2)√25×6; (3)√59. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6. (3)√59=√5√9=√53.例2 化简:(1)√50; (2)√27; (3)√3.解:(1)√50=√25×2=√25×√2=5√2.(2)√27=√2×77×7=√2×7√7×7=√147. (3)√3=√3√3×√3=√33. 设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的概念、性质和熟练掌握将二次根式化为最简二次根式.巩固训练1.下列各式是最简二次根式的是( C )A.√-7B.√23C.√3D.√25 2.下列各式正确的是( B )A.√a·b =√a ·√bB.√2×3=√2×√3C.√(-2)×(-3)=√-2×√-3D.√827=23 3.填空. (1)√4−a√a -1有意义的a 的取值范围为 1<a ≤4 .(2)已知√x +3+√2y -4=0,则xy 的值为 -6 .(3)当x = -12 时,√2x +1+6有最小值,最小值为 6 . 4.化简:(1)√5; (2)√3.6; (3)√8×36.解:(1)√5=√5√5×√5=3√55. (2)√3.6=√185=√18×55×5=√18×5√5×5=3√105. (3)√8×36=√8×√36=2√2×6=12√2.设计意图:让学生在练习中联系相关知识分析、说明解决问题的想法,获得成功的体验;考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.课堂小结1.二次根式的概念是什么?怎样判断一个式子是否是二次根式?2.二次根式具有怎样的性质?3.怎样把一个二次根式化简成最简二次根式?设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.课堂8分钟.1.教材第43页习题2.9第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时二次根式及其性质1.二次根式定义.2.二次根式性质.3.最简二次根式.4.练习.教学反思第2课时二次根式的运算课时目标1.掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.3.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能用这些运算法则、运算律在实数范围内正确计算,培养类比学习的能力.4.增强学生的符号、应用意识,培养学生合作交流、合情推理和表达的能力.学习重点掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.学习难点会用二次根式的四则运算法则解决简单的数学问题.课时活动设计回顾复习1.二次根式有什么特征?2.求使在实数范围内有意义的x的取值范围.√x-13.二次根式的性质是什么?4.什么叫最简二次根式?设计意图:通过回答二次根式的特征、求二次根式中字母的取值范围以及最简二次根式的定义等问题,学生对所学知识进行回顾与复习,重点让学生复习回顾二次根式的性质,为本节课的学习打下基础.问题导入思考:长方形的面积是√20,它的长是√5,宽是多少?教师追问:该怎么计算呢?提示:根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题.设计意图:通过思考问题,引出二次根式的除法,从而切入正课:如何进行二次根式的运算.探究新知探究1同类二次根式教师提出问题,学生思考,小组交流,最后总结.化简下列二次根式,观察他们的特点,并进行分类:√8; √18; √80; √0.5; √18; √20. 解:分别化简为2√2; 3√2; 4√5;√22; √24; 2√5. 分成两组:一组是2√2,3√2,√22,√24;另一组是4√5,2√5. 问题:这样分类的依据是什么呢?解:将二次根式中带有相同根式的分为一组,如第一组中都含有√2,第二组中都含有√5.小结:化简后,被开方数相同的二次根式被称为同类二次根式. 探究2 二次根式的乘除运算根据二次根式的性质,等号的左边与右边对换,就能得到二次根式的乘法法则和除法法则.二次根式的性质1:√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0); 二次根式的乘法法则:√a ·√b =√a·b (a ≥0,b ≥0). 二次根式的性质2:√a b =√a √b (a ≥0,b >0);二次根式的除法法则:√a√b =√ab (a ≥0,b >0).追问:问题导入中的长方形的宽该如何计算呢? 解:宽=√20√5=√5√5=2. 问题:从上面的运算中,你发现了什么?总结:二次根式的乘法法则:√a ·√b =√a·b (a ≥0,b ≥0);二次根式的除法法则:√a √b=√a b (a ≥0,b >0). 提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式. 探究3 二次根式的分母有理化问题:√5是最简二次根式吗?如果不是,如何化简呢?解:不是.√5=√5√5×√5=√55. 总结:形如m √n 的式子,分子、分母同乘以√n ,可以使分母不含根号.思考:√5+√3如何化简呢?解:√5+√3=√5-√3(√5+√3)(√5-√3)=√5-√32. 总结:形如m√a±n √b的式子,分子、分母同乘以m √a ①n √b ,构成平方差公式,可以使分母不含根号.探究4 二次根式的加减运算问题1:你能直接写出下列式子的结果吗? (1)3x 2+4x 2;(2)x 2+3x 2+y. 解:(1)7x 2.(2)4x 2+y.问题2:类比合并同类项的方法,想想如何计算√80-√45? 解:√80-√45=4√5-3√5=√5.问题3:√3+√5能不能再进行计算?为什么?解:不能,因为它们都是最简二次根式,被开方数不相同,所以不能合并. 二次根式的加法、减法法则:(1)先化为最简二次根式;(2)再合并同类二次根式.提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式. 探究5 二次根式的四则混合运算计算下列式子,观察运算过程,你从中发现了什么?(1)3√2×2√3;(2)√12×√3-5;(3)(√5+1)2;(4)(√13+3)(√13-3); (5)(√12-√13)×√3;(6)√8+√18√2. 解:(1)3√2×2√3=3×2×√2×3=6√6. (2)√12×√3-5=√12×3-5=√36-5=6-5=1. (3)(√5+1)2=(√5)2+2√5+12=5+2√5+1=6+2√5. (4)(√13+3)(√13-3)=(√13)2-32=13-9=4. (5)(√12-√13)×√3=√12×√3-√13×√3=√36-√1=6-1=5. (6)√8+√18√2=√8√2+√18√2=√82+√182=√4+√9=2+3=5.总结:实数的运算律同样适用于二次根式,我们在进行二次根式的混合运算时,可以用到乘法交换律、结合律和分配律,也可以用到完全平方公式和平方差公式.探究6 二次根式化简求值化简(√1a -√b )·√ab ,其中a =3,b =2.你是怎么做的? 解:方法一(先代入,后化简):把a =3,b =2代入代数式中, 原式=(√13-√2)·√3×2=√13×3×2-√2×3×2=√2-2√3. 方法二(先化简,后代入):原式=√1a ·√a ×b -√b ·√a ×b =√b -b √a , 把a =3,b =2代入代数式中,原式=√2-2√3. 追问:哪种方法更简便?归纳 二次根式化简求值的方法:解决二次根式的化简求值问题时,直接代入求值比较麻烦,可先化简已知条件,再用乘法公式变形,最后代入求值即可.设计意图:给出问题,激发学生思考,小组讨论,教师引导学生从数学现象发现数学规律.通过探究中具体例题的学习,获得二次根式加减乘除运算的有关技能.典例精讲 例1 计算:(1)√48+√3;(2)√5-√15;(3)(√43+√3)×√6.解:(1)√48+√3=√16×3+√3=√16×√3+√3=4√3+√3=5√3. (2)√5-√15=√5-√525=√5-√55=45√5.(3)(√43+√3)×√6=√43×6+√3×6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.例2 已知a =√5-2,b =√5+2,求√a 2+b 2+2. 分析:先化简已知条件,再利用乘法公式变形,即a 2+b 2=(a +b )2-2ab ,最后代入求解.解:①a =√5-2=√5+2(√5-2)(√5+2)=√5+2,b =√5+2=√5-(√5+2)(√5-2)=√5-2, ①a +b =2√5,ab =1,①√a 2+b 2+2=√(a +b)2-2ab +2=√(2√5)2-2+2=√20=2√5.设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的运算法则.巩固训练1.下列各式正确的是( B )A.√(-2)2=-2B.√(-2)×(-2)=2C.3√2-√2=3D.√8+√2=√10 2.填空.(1)计算√2×√3= √6 ;√36×9= 18 .(2)长方形的宽为√3,面积为2√6,则长方形的长为 2√2 .(3)计算(√48-3√27)÷√3= -5 .(4)若两个最简二次根式√5和√2m -5能够合并,则m = 5 .3.计算:(1)(√6-√38)×√2;(2)(2+√2)(2-√2);(3)√27×√3=√100;(4)√183+√32-15√50. 解:(1)(√6-√38)×√2=√6×√2-√38×√2=√6×2-√38×2=2√3-√32=3√32. (2)(2+√2)(2-√2)=22-(√2)2=4-2=2. (3)√27×√3-√100=3√3×√3-10=3×3-10=-1.(4)√183+√32-15√50=√2+4√2-√2=4√2. 设计意图:通过实时练习,学生在系统归纳整理了二次根式四则运算的相关知识的基础上,进一步加深了对二次根式四则运算法则的理解,提高学生解决问题的能力,并培养学生的应用意识.课堂小结1.二次根式的四则运算法则是什么?2.二次根式化简求值的方法有哪些?设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.课堂8分钟.1.教材第45页习题2.10第1,2题,第48页习题2.11第1,2,3题.2.七彩作业.第2课时二次根式的运算1.二次根式乘除法法则.2.同类二次根式.3.例题:4.练习:教学反思。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它不仅出现在代数、几何等领域，还是学习高中数学的基础。
本节内容为学生提供了理解二次根式的基础知识，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质与已有知识有很大的不同，需要学生进行一定的适应和理解。
同时，学生需要掌握二次根式的运算方法，这需要他们在课堂上进行充分的练习和思考。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够应用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例教学法、练习法、小组合作学习法等。
通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件；2.练习题；3.小组讨论工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：“一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT课件展示二次根式的图形和性质，让学生理解和掌握二次根式的基本概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，提供一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用二次根式的概念和运算方法，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，提供一些实际问题，让学生思考如何运用二次根式解决这些问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾和巩固所学知识。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案2
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册7章的内容，本节课主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材通过引入二次根式，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对负数、正数有了一定的认识。
但二次根式相对较为抽象，学生可能存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.能够运用二次根式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.运用实例讲解法，让学生掌握二次根式的性质和运算方法。
3.采用小组合作学习法，培养学生团队合作精神，提高学生的解决问题能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于导入新课。
2.准备PPT课件，展示二次根式的概念、性质和运算方法。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如：一个正方形的边长为a，求它的对角线的长度。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现二次根式的概念、性质和运算方法。
让学生了解二次根式，并掌握其基本性质和运算方法。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用所学知识进行二次根式的运算。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）让学生通过小组合作学习，共同解决实际问题。
例如：一个正方形的边长为a，求它的对角线的长度。
5.拓展（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
北师大版八年级数学上册：2.7二次根式教学设计
在学习二次根式的性质与运算法则时，教师可设计具有启发性的问题，引导学生自主探究。在此基础上，组织学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生对二次根式的认识。
3.精讲精练，突破难点
对于二次根式的化简、应用等难点，教师应进行详细的讲解和示范，让学生掌握解题方法和技巧。同时，设计梯度性、层次性的练习题，让学生在练习中逐步突破难点。
1.学生对二次根式定义的理解程度，是否能够熟练运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.学生在解决二次根式相关问题时，对性质与运算法则的掌握情况，是否存在混淆或错误。
3.学生在运用二次根式解决几何问题时，空间想象能力和直观想象能力的表现，是否能够将二次根式与几何图形有机结合。
4.学生的学习兴趣和动机，对二次根式的学习是否存在恐惧或抵触情绪。
4.拓展延伸，提高能力
结合二次根式的几何应用，设计拓展性题目，提高学生解决问题的能力。同时，引导学生从不同角度思考问题，培养学生的创新意识和数学思维能力。
5.课堂小结，巩固提升
通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识体系。同时，鼓励学生提出疑问，及时解答，巩固所学知识。
6.课后作业，分层设计
-教师应及时批改作业，给予反馈，帮助学生发现和纠正错误，巩固所学知识。
-关注学生作业完成情况，根据学生的表现调整教学策略，确保教学效果。
难点：二次根式的化简，特别是含有分母、能开尽方的二次根式的化简；二次根式在几何图形中的应用。
2.重点：培养学生运用二次根式解决问题的能力，提高数学思维。
难点：引导学生将二次根式与几何图形相结合，解决实际问题，培养学生的空间想象能力和直观想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
最新北师版八年级初二数学上册《二次根式的运算》名师精品教案
2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学目标1．会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算；(重点)2．灵活运用二次根式的乘法公式．(难点)教学过程一、情境导入下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算律解释它？二、合作探究探究点一：二次根式的乘除运算【类型一】二次根式的乘法计算：(1)3×5； (2)13×27；(3)2xy×1x； (4)14×7.解：(1)3×5＝15；(2)13×27＝13×27＝9＝3；(3)2xy×1x＝2xy×1x＝2y；(4)14×7＝14×7＝72×2＝7 2.方法总结：几个二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积含有能开得尽方的因数或因式，一定要化简．【类型二】二次根式的除法计算a2－2a÷a的结果是( )A.－a－2 B．－－a－2C.a －2 D ．－a －2解析：原式＝a 2－2aa ＝a （a －2）a ＝a －2.故选C. 方法总结：利用a b＝a b (a ≥0，b>0)可以进行二次根式的化简、计算，化去根号内的分母． 探究点二：二次根式的加减运算计算：(1)23－63；(2)80－20＋5；(3)239x ＋6x 4－2x 1x. 解析：(1)直接把二次根式合并，(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并． 解：(1)23－63＝(2－6)3＝－43； (2)80－20＋5＝45－25＋5＝(4－2＋1)5＝35；(3)239x ＋6x 4－2x 1x ＝2x ＋3x －2x ＝3x. 方法总结：将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并． 探究点三：二次根式乘法公式计算：(23＋32－6)(23－32＋6)．解析：将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简． 解：原式＝[23＋(32－6)][23－(32－6)]＝(23)2－(32－6)2＝12－(18－123＋6)＝123－12.方法总结：结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量． 三、板书设计二次根式的运算⎩⎪⎨⎪⎧乘除法则加减法则乘法公式教学反思通过对公式的逆运用，达到化简的目的．学会这种特殊的思考方法．在合作探究过程中，提升学生探究能力和合作意识．通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．学生每日提醒～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～励志名言：1、泰山不是垒的，学问不是吹的。
(最新)北师大版八年级数学上册《二次根式》精品教案
教师教学反思：知识简单，学生掌握很好。
1．关注类比，提出重点.本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．
2．对运算技能要求恰当定位.根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等.因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求.
等号的左右两边互换就等到二次根式的乘法法则和除法法则：
例3计算：
（1） ；（2） ；（3） 。
三、知识ห้องสมุดไป่ตู้固（应用）
例4计算：
（1）3 （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） 。
例5 计算：
（1） ； （2） ； （3） 。
课堂练习1：
1.化简：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．（5）
四、拓展延伸（提高）
﹡课堂练习2：
化简：（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
五、收获盘点（升华）
总结与反思：
通过本节课的学习，我收获了：
通过本节课的学习，我需要注意的有:
六、当堂检测（达标）
1.计算：
（1） ； （2） ； （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
2.（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是有理数吗？说明理由
学习过程
备注
一、新课导入（感知）
问题1 ：复习算术平方根的概念，
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案 新版北师大版
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握二次根式的加减乘除运算，以及能够熟练运用二次根式进行实际问题的解决。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的运算方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但是，对于二次根式的混合运算，部分学生可能会感到困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。
三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的乘除运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲练结合的方法，通过实例和练习，引导学生掌握二次根式的运算方法。
同时，注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个圆的半径为根号2，求这个圆的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算方法，并通过PPT课件展示实例。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些二次根式的运算练习题，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，巩固学生对二次根式运算的掌握。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，让学生能够运用二次根式解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，使学生对二次根式的运算有一个清晰的认识。
7.家庭作业（5分钟）布置一些二次根式的运算练习题，让学生进行巩固。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和公式，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
北师大版八年级数学上册教案《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册教案《二次根式》教学设计本节课的目标是研究二次根式的概念，通过实际问题引出定义，并讨论二次根式中被开方数字母的取值范围的问题。
教学重点是理解判断结论正确与否需要进行推理证明，并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。
教学难点是利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。
教学过程分为六个环节：明晰概念、探究性质、知识巩固、知识拓展、课时小结和课前准备。
在明晰概念环节，通过实际问题引出二次根式的定义，强调被开方数必须为非负数。
在探究性质环节，通过探究得出a•b=a(b≥0,a≥0)，并讨论了字母a、b的限制条件。
在知识巩固环节，学生进行练，巩固所学知识。
在知识拓展环节，引入二次根式的四则运算，并进行例题讲解。
在课时小结环节，对本节课所学内容进行总结。
说明：公式中的字母a≥，b≥（或b＞）是公式的一部分，不可忽略。
第三环节：知识巩固例1：化简81×64、25×6和5/9.观察：化简后结果中的被开方数有何特征？意图：以例题形式呈现最简二次根式的概念，让学生了解化简的方向。
最简二次根式是指被开方数不含分母、不能再开根的因数或因式。
化简时，要求结果中分母不含根号，且各二次根式为最简二次根式。
例2：化简45、27、1/3、8125和125/16.解答：45=9×5=3×3×5=3√5；27=9×3=3×3×3=3√3；1/3=1×3/3×3=√3/3；8125=8×125=2×2×2×5×5×5=20√5；125/16=5×5/4×4=5/4√5.问题：1.如何判断45含有开得尽方的因数？如何判断14是最简二次根式？2.化简二次根式时，有哪些经验和体会？如何将含根号的数与不含根号的数相乘？反思：被开方数若含开得尽的因数，需进行化简。
2022年北师大版八年级上册《二次根式》精品教案
7 二次根式第1课时二次根式【知识与技能】1.理解二次根式和最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式.2.正确运用公式：.【过程与方法】1.经历观察、比拟、总结二次根式根本性质的过程，开展学生的归纳概括能力.2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.【情感态度】经历观察、比拟、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，表达发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念和性质，最简二次根式的概念与化简.【教学难点】二次根式的化简.一、创设情境，导入新课观察以下代数式：这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？【教学说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点为给二次根式下定义做好准备.【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.一般地，形如a〔a≥0〕的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！二、思考探究，获取新知二次根式的概念与化简做一做：〔1〕计算以下各式，你能得到什么猜测？〔2〕根据上面的猜测，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.【教学说明】学生亲自计算，通过观察、猜测，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的根本性质作了很好的引导.【归纳结论】即积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方铲除以除数的算术平方根.注意：a、b的取值范围不能忽略.【教学说明】利用二次根式的性质，学生对于例1比拟容易理解，教师对于例2可以适当点拨.【归纳结论】一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.以下式子是二次根式的有〔〕个.2.以下二次根式中，是最简二次根式的是〔〕3.化简：4.一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为15，求另一条直角边长.【教学说明】学生独立完成，可以加深对新学知识的理解和掌握二次根式的有关概念和性质的运用的掌握情况.便于及时纠正错误，得以强化提高.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回忆二次根式、最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识.2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？与同学们交流.【教学说明】通过对新学知识点的回忆，总结得出，及时解答学生存在的疑难问题，有利于共同提高.1.习题2.9第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的主要内容就是根据二次根式的两个性质进行化简.学生对于比拟直观一些的二次根式的化简很熟练，但对于略微复杂一点的二次根式的化简还不能够到达灵活自如，有待在今后的学习中加大训练力度.6.3 从统计图分析数据的集中趋势一、学生知识状况分析学生的知识技能根底：学生在前面的数学学习中，已掌握了条形统计图、扇形统计图等统计图的画法，并能从条形统计图、扇形统计图等统计图表中获取信息，解决一些相关问题。
北师大版八年级数学上册《二次根式的运算》教案及教学反思
北师大版八年级数学上册《二次根式的运算》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.1 知识目标•掌握二次根式的加减乘除运算方法；•理解二次根式的化简和合并方法；•了解二次根式的应用领域。
1.2 能力目标•进一步提高学生的数理思维能力和计算能力；•培养学生的自学能力和问题解决能力；•注重培养学生的实际应用能力，增强其综合素质。
2. 教学重难点2.1 教学重点•二次根式的加减乘除运算方法；•二次根式的化简和合并方法。
2.2 教学难点•如何灵活使用二次根式进行计算和化简；•如何将二次根式应用于实际问题中进行解决。
3. 教学内容3.1 二次根式的基础概念和性质•二次根式的定义和符号表示；•二次根式的基本性质和运算规律。
3.2 二次根式的加法和减法•二次根式的加减法根据相关性质进行计算。
3.3 二次根式的乘法和除法•二次根式的乘法应用相关公式进行展开和化简；•二次根式的除法要转化成同底的分式，再进行化简。
3.4 二次根式的应用•二次根式的应用领域（如勾股定理）；•二次根式的实际应用（如物理、化学等）。
4. 教学方法4.1 教学手段采用讲授、归纳、演示和练习等多种教学方法相结合。
4.2 教学步骤•第一步：回归本质，引出二次根式的基础概念和性质；•第二步：讲解二次根式的加减乘除运算方法，并进行案例讲解；•第三步：练习巩固，进行二次根式的综合应用练习；•第四步：反思总结，对整个教学过程进行总结和反思；5. 教学评估采用多元化的教学评估方法：•课堂表现评估；•练习成绩评估；•课后作业评估；•测验和考试评估。
二、教学反思本次教学主要针对八年级数学上册《二次根式的运算》内容进行了设计和实施。
在此过程中，教师主要采取了讲授、归纳、演示和练习等多种教学方法相结合，力求使学生在知识、能力和素质等方面都得到提高。
教学目标方面，需要注意的是要注重学生的数理思维能力和计算能力的提高。
应该通过一些实际和可视化的案例，鼓励学生动手实践和思考，从而提高他们的自学和解决问题的能力。
北师大版八年级数学上册：2.7二次根式(教案)
（1）教学重点举例：
-对于二次根式的性质，可举例子：√9·√16=√(9·16)=√144=12，让学生理解乘法运算规律。
-在二次根式的化简方面，可以给出例子：√(50)=√(25·2)=√25·√2=5√2，让学生掌握化简方法。
（2）教学难点举例：
-在混合运算方面，可给出例子：(√3+√2)·(√3-√2)=3-2，让学生掌握平方差公式，并运用到实际运算中。
其次，在实践活动方面，我可以尝试设计更多贴近生活的实际问题，让学生们感受二次根式在实际生活中的应用。这样既能激发学生的学习兴趣，又能提高他们解决问题的能力。
此外，小组讨论环节也让我看到了学生们积极主动的一面，但同时也暴露出一些问题。部分学生在讨论过程中显得有些拘谨，不敢发表自己的观点。为了解决这个问题，我打算在以后的课堂中多鼓励学生，营造一个轻松、民主的讨论氛围，让他们敢于表达、勇于质疑。
-在二次根式的估算方面，可以指导学生使用逼近法，如求√13的近似值，可以判断其介于3和4之间，进一步估算出√13≈3.6。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容进行有针对性的讲解和强调，确保学生能够理解透彻并掌握相关知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要估算长度或面积的情况？”（如估算树的直径、矩形的面积等）这个问题与我们将要学习的二次根式密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
在讲解重点和难点时，我发现有些学生对二次根式的估算方法还不够熟悉。因此，我计划在下一节课中，专门用一个课时来讲解和练习估算方法，让学生们能够更加熟练地运用到实际计算中。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘除法、平方根的基础上进行的。
二次根式是数学中的基本概念，它在几何、物理等领域有广泛的应用。
本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平方根的概念和运算有一定的了解。
但二次根式相对于平方根来说，其概念和运算更为复杂，需要学生进行一定的抽象和推理。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解二次根式的本质，掌握其运算规则。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的运算规则。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，让学生了解二次根式的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考这些实例与二次根式的关系。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的定义和性质，通过PPT展示相关公式和定理。
让学生初步了解二次根式的基础知识。
3.操练（10分钟）让学生进行一些简单的二次根式运算，如化简、求值等。
教师在这个过程中要注意引导学生掌握运算规则，并及时解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
教师在这个过程中要注意引导学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）让学生探讨二次根式在实际生活中的应用，如物理、化学等领域。
教师在这个过程中要注意引导学生思考和探索，培养学生的创新能力。
北师大版数学八年级上册2.7二次根式教案
（1）选择题
1.下列哪个选项是二次根式？
A. \(\sqrt{2}\)
B. \(3x + 4\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(sqrt{x^2}\)
2.如果\(a\)和\(b\)是正数，那么\(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)的值是多少？
A.无法确定
B.等于\(2\)
4.数学运算：让学生熟练掌握二次根式的运算方法，提高学生的数学运算能力。
5.直观想象：通过绘制二次根式的图像，培养学生的直观想象能力。
学习者分析
1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在之前的学习中已经掌握了实数的基础知识，包括有理数的加减乘除、实数的性质等。他们也已经学习了二次方程和二次函数的基础知识，对二次表达式有一定的理解。
二次根式的运算：教师讲解二次根式的运算方法，如加减运算、乘除运算等。
师生互动：教师提问学生关于二次根式的性质和运算问题，学生回答，教师给予指导和反馈。
3.巩固练习（15分钟）
练习题：教师出示练习题，让学生独立完成。
讨论解答：学生分组讨论，共同解答练习题，教师巡回指导。
答案解析：教师讲解练习题的答案，解释解题过程和思路。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：八年级的学生对数学有一定的兴趣，尤其是那些对解决问题和逻辑推理感兴趣的学生。他们中的许多人在数学上的能力较强，喜欢通过实践和操作来学习。他们的学习风格多样，有的喜欢通过视觉学习，有的喜欢通过动手操作来理解概念。
3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习二次根式时可能遇到的困难包括对二次根式的概念理解不清，对二次根式的运算规则和不定式的处理感到困惑。他们可能对二次根式与实数的关系难以理解，以及在解决实际问题时如何运用二次根式感到挑战。此外，学生可能对复杂的题目感到畏惧，需要教师给予鼓励和指导。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要地位，是学习更高阶数学的基础。
通过学习二次根式，学生可以更好地理解数学的本质和内在联系。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的代数运算能力。
但二次根式作为一种新的数学概念，对学生来说较为抽象，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的概念和性质。
2.培养学生运用二次根式进行代数运算的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法，引导学生主动探索、发现和总结二次根式的性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如物理中的速度、面积等问题，引导学生思考如何用数学知识来解决这些问题。
从而引入二次根式的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示二次根式的定义和性质，让学生初步了解二次根式。
同时，给出一些例子，让学生观察和总结二次根式的特点。
3.操练（15分钟）让学生进行一些二次根式的运算练习，巩固所学知识。
教师可引导学生运用二次根式解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.巩固（10分钟）通过一些填空题、选择题等，检查学生对二次根式的掌握程度。
教师可适时给予解答和指导。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如几何中的面积、体积等问题。
同时，可引导学生探讨二次根式与其他数学知识之间的联系，如函数、方程等。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确二次根式的概念、性质和运算方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关二次根式的练习题，让学生巩固所学知识。
北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案
第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案二次根式的乘除运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的乘除运算规则，理解其算术运算性质。
2. 学会对二次根式进行乘除运算，并能够应用于实际问题中。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的乘除运算规则及其算术运算性质。
2. 教学难点：二次根式乘除法的应用，以及运算符的使用。
三、教学过程1. 概念和定义：讲解二次根式的定义和相关概念，包括平方根、算术平方根等，使学生对二次根式有一个初步的认识。
2. 整数乘法口诀：回顾整数乘法口诀，引导学生总结规律，为后续学习打下基础。
3. 二次根式的乘除运算：通过具体的例子，讲解二次根式的乘除运算规则，并引导学生自己推导，加深理解。
4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。
四、教学方法和手段1. 利用多媒体讲解二次根式的乘除运算，形象生动，易于学生理解。
2. 通过小组讨论学习二次根式的乘除运算，互相交流，发现并解决问题。
3. 阅读相关题型进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 选择练习题进行课堂练习，检验学习效果，巩固所学知识。
2. 布置作业题，要求学生在规定时间内完成，培养学生独立思考和解决问题的能力。
3. 对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。
2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。
3. 参考书籍：推荐一些相关的数学参考书籍，供学生自行阅读和学习。
七、结论本节课旨在使学生掌握二次根式的乘除运算规则和方法，并通过实际问题的解决提高其数学应用能力。
通过课堂讲解、小组讨论和练习与作业等多种方式，学生对二次根式的乘除运算有了更深入的理解和掌握。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等知识的基础上进行学习的。
二次根式是数学中的重要概念，它不仅在日常生活中有广泛的应用，而且是学习高中数学的基础。
本节课的主要内容是让学生了解二次根式的概念，学会化简二次根式，并能够运用二次根式解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了一定的了解。
但是，学生对于二次根式这一概念可能还比较陌生，需要通过具体例子和实际应用来理解和掌握。
此外，学生可能对于二次根式的化简和运算还有一定的困难，需要通过大量的练习和老师的引导来逐步掌握。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的概念，能够正确地识别和书写二次根式。
2.让学生学会化简二次根式，能够运用二次根式解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和识别。
2.二次根式的化简和运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，让学生自主地学习和掌握二次根式的概念和化简方法。
2.通过具体的例子和实际应用，让学生了解二次根式在日常生活中的应用，提高学生的学习兴趣和动力。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在交流和合作中学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材，包括图片、实例等。
2.准备一些实际的例子和应用问题，用于引导学生学习和巩固二次根式的知识和技能。
3.准备一些练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际的例子，如物体的高度、物体的速度等，让学生感受到二次根式在日常生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
同时，引导学生思考和探索二次根式的概念和特点。
北师大二次根式教案
北师大二次根式教案【篇一：北师大版八上数学二次根式的概念(教案)】【学习课题】第6课时:二次根式的概念【学习目标】1、理解二次根式的意义，能求出二次根式中被开方数中字母的取值范围。
2＝a (a≥0)解决有关计算问题。
2【学习重点】二次根式的意义,＝a (a≥0)的理解。
2【侯课朗读】1：无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2：实数：有理数和无理数统称实数。
【学习过程】一、学习准备：1、平方根：如果 x = a ，那么x叫做a的平方根。
若a2≥0, 则a 的平方根记为。
≥0, 则a的算术平方根记为_____。
2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
若a3、100的_______，结果为_______。
表示②49的_______，结果为_____。
64③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________。
二、阅读理解4、二次根式的概念：__________，__________，开方数。
在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。
5、一般地，（a≥0）叫做二次根式。
（2=aa≥0）：此公式正用可去根号，将式子化简。
如：2=23=2=52?2=125, 4此公式也可逆用，将一个非负数改写成完全平方的形式，如：15 ＝（）2， 27＝（27）２例1、判断下列各式是否为二次根式？为什么？（1（2（3（4（5解（1） 210,三：挖掘教材6：例2：下列各式中，实数x为何值时,代数式在实数范围内有意义？（1（2（3解（1）由2x-3≥0得x≥例3：计算（1）7负数。
32，∴当x3≥时 22 （2（3）（4）2 a0时，0；当a=0=0，a≥0）是一个非二次根式的非负性有两层意义：⑴被开方数a是非负数例4解：∴x- =0,求x-y的值=0,≥0 x-4=0 x=4 得 2x+y=0 y=-8 y=4-(-8)=12【达标测评】1、a取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1（2 （3（4（2）（52、计算: （1）2 2 （3）(-2 3、判断下列各式是否成立？（1= （2（3 （4=4、解下列各题（1）已知y=5,求2y的值 x（2）已知x+4x+4=0,求x和y的值【篇二：北师大版 7.2 二次根式(第2课时)教学设计】第二章实数7．二次根式（第2课时）一、学生起点分析在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：a?b=a?b（a≥0，b≥0），ab=a（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则b运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。
北师大版八年级数学上册：27二次根式优秀教学案例
（三）小组合作
小组合作是本章节教学的重要策略。将学生分成若干小组，让他们在小组内共同探讨问题、交流想法，实现优势互补，共同提高。在小组合作中，关注学生的个体差异，充分发挥每个学生的特长，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
3.引导学生总结学习二次根式的经验和方法，提高他们的数学思维能力。
（五）作业小结
1.布置适量的作业，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在课后巩固所学知识。
2.要求学生在作业中反思学习过程，总结自己的优点和不足，为下一节课的学习做好准备。
3.鼓励学生在完成作业的基础上，进行自主学习，拓展知识面，提高数学素养。
案例中，问题驱动教学法被充分运用。教师设计具有启发性和层次性的问题，引导学生自主探究、合作学习，培养他们的问题意识和解决问题的能力。这种教学策略有助于激发学生的思维活力，提高他们的数学素养。
3.小组合作的有效实施
小组合作在本案例中发挥了重要作用。学生通过小组讨论、交流，共同解决问题，实现了优势互补，提高了团队协作能力和沟通能力。此外，小组合作有助于关注学生的个体差异，使每个学生都能在合作学习中得到成长。
五、案例亮点
1.生活情境的巧妙融入
本教学案例的最大亮点之一是将生活情境与二次根式的学习紧密结合。通过设计富有挑战性的实际问题，如园林设计、建筑设计等，让学生在实际情境中感受二次根式的应用，提高他们学习的兴趣和积极性。这种教学方式有助于学生理解数学知识在实际生活中的价值，增强他们的应用意识。
2.问题驱动的教学策略
在本章节的教学过程中，特级教师将充分发挥学生的主体作用，关注他们的个体差异，以人性化语言进行教学，使学生在轻松愉快的氛围中达成教学目标。通过本章节的学习，学生将不仅在知识与技能方面取得进步，更在过程与方法、情感态度与价值观方面得到全面提升。
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《二次根式》精品教案●教学目标：知识与技能目标：1.理解二次根式的概念和性质，2.最简二次根式的概念3.会根据二次根式的性质进行二次根式的化简过程与方法目标：1.通过加深对概念的理解，提高对二次根式的性质和运算的认识。
2.利用二次根式的化简解决简单的数学问题，通过独立思考，能选择合理的方法解决问题。
情感态度与价值观目标：1.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会二次根式的性质及运算，培养学生利用数学解决问题的能力。
●重点：1.掌握二次根式的概念和性质，理解它们解的含义；2.能利用二次根式的乘除法的法则进行二次根式的运算。
●难点：1.最简二次根式的概念2.把根号内含字母的二次根式的化简。
●教学流程：一、课前回顾1、 11的算术平方根是2、面积为a（a3、直角三角形的两直角边分别是1和2二、情境引入探究1：b=24，c=25）上述式子有什么共同特征？共同特征:都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
1.二次根式的概念一般地，形如(a ≥0)式子叫做二次根式． a 叫做被开方数． ＊一个式子是二次根式应满足几个条件？第二，被开方数a 是正数或0．（条件：a ≥0 ） 练习11、判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式．1x ，1x y+x ≥0）,（x ≥0，y ≥0）（x ≥0）,x ≥0，y ≥0），1x ，1x y+，2、当x 解：由x －1≥0 ，得x ≥13、a ≥0解：a ≥00 (双重非负性) 探究21、二次根式性质（1）计算下列式子，猜想你能得到什么结论？94⨯＝ 6 ，94⨯＝ 6 ； 2516⨯＝ 20 ，2516⨯＝ 20 ；94＝23 ，94＝ 23 ； 2516＝45 ，2516＝ 45 ． 结论：94⨯=94⨯； 2516⨯=2516⨯94=942516 =2516 （2）用计算器计算：76⨯＝ 6.480，76⨯＝_6.480__；76＝0.9255，76＝0.9255 ．发现：76⨯=76⨯76=76 从上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），baba =（a ≥0， b ＞0）． 说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．注意公式里的条件噢！ 探究2例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95； （4解：（1）6481⨯ =9×8=72 ；（2）625⨯ ；（3）953；（4 =3×4×5=60 .探究3最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 最简二次根式的条件：（１）是二次根式； （２）被开方数中不含分母；（３）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简时，通常要求最终结果中分母不含根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
练习2判断下列各式是否为最简二次根式？（1） （ × ）；（2 （× ）；（3（ √ ）；（4）（ × ）；（5）（ × ）；（6）5 （√ ）；（7（× ） 经典例题例2 化简：（1）50；（2（3．解：（1）50 ；（27；（3。
议一议（1）你怎么发现50含有开得尽方的因数的？你怎么判断7是最简二次根式的？（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
练习3把下列各式化成最简二次根式：（1=5 ；（22；（32c（4）x x 2x . 探究4还记得吗? 二次根式的性质=a ≥0，b ≥0），baba =（a ≥0， b ＞0）．=a ≥0，b ≥0）=a ≥0， b ＞0）． 这就是二次根式的乘法法则和除法法则 经典例题 例3 计算： （1）326⨯；（2）236⨯；（3）52。
解：（1）326⨯= =2 （2）236⨯＝236⨯＝236⨯＝9＝3 （3）52＝＝52＝5552⨯⨯=510探究4同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。
当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。
经典例题 例4 计算：（1）3322⨯（2）5312-⨯；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；（5）3)3112(⨯-；（6）2188+. 解：（1）3322⨯=32⨯⨯32⨯=66； 乘法交换律（2）5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1；乘法法则 （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；完全平方公式（4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4；平方差公式 （5）3)3112(⨯-516136331312=-=-=⨯-⨯=；乘法分配律 （6）2188+5329421828=+=+=+=。
分配律、除法法则例5 计算：（1（2）515-；（3）解：（1＝；（2）515-＝2555-＝2555-＝555-＝554；（3）==== 练习3巧用运算法则、运算律，简化运算过程，提高速度。
1、计算（1；32 （2；26 （3）(11（4）()21；13－（5）10（6. 1 例6 计算： （1）3223-； （2）81818+-；（3）3)6124(÷-． （4 解：（1）3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661； （2）81818+-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； （3）3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611． 对于第（3）题，你还有哪些做法？试一试，看一看结果是否一致（4练习41、化简： （1）10152-；2）31312+-（3）8)2118(⨯-．10 2、求代数式a=3，b=2. 解：由题意知 a ＞0，b ＞0.当a=3，b=2时 原式想一想自主合作，解决问题 例7 化简：（1（a ＞0，b ＞0）； （2x+y ＞0）；（3（a ＞0，b ＞0） 解：（1）∵a ＞0，b ＞0； （2）∵x+y ＞0=(x y +=a-aa ＞=0a 0a ＜（3）∵a ＞0，b ＞0 ∴a b b a =a b a b a a ⋅⋅=2a b a b a ⋅=a ab b a ⋅=abb；练习5当a ＞0，b ＞0时，化简下列各式（1）a b ab b a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；=a b ab ab b a ⨯+⨯=22a b +=a+b （2）234a b ；=224a b b ⨯⨯=2ab b （3）210515b a aab a b ⋅÷.=2(10a 515)b a ab a b ⨯÷⨯⨯÷=210a 3b bab a a⨯⨯=22210a 3b ab a ⨯=22210a 3b ab a⨯=210a 3b ab a ⨯ =10ab3ab . 做一做如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法?与同伴交流． （1）直接求法由图形知AB //CD ，过点D 作DE ⊥AB 于E . 在三个小直角三角形中，利用勾股定理可分别求出：DC=2 ,AB=52,DE=32.则梯形ABCD 的面积=12（52+2）×32=18 （2）间接求法如图，将梯形ABCD 补成一个长方形 .用长方形的面积减去四周三个小三角形的面积就是梯形的面积. 则梯形ABCD 的面积=5×7－12×5×5－12×4×2－12×1×1=18五、达标测评1、如果代数式1xx －有意义，那么x 的取值范围是（ D ） A.x ≥0 B. x ≠0 C. x ＞0 D. x ≥0，且x ≠1 2、下列二次根式中，不能与2合并的是（ C ） A.12B. 8C. 12D. 18 3、下列计算正确的是（ C ）A. 22225+6=5+6=5+6=11B.()()()()-16-9=-16-9⨯⨯=—4×（—3）=12C. 26=23⨯D.63=2÷4、当x=﹣4时，6-3x 的值是__32______5，3，是最简二次根式的是，，______3_________ 6、计算：（1） (；（2(22|π++； -7、在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1 ，BC= 1 ，求它的面积及斜边长。
解：Rt △ABC 的面积S=12×AC ×BC= 12×（1） ×（1）= 72。
根据勾股定理得：===所以Rt △ABC 的面积为72，斜边长为六、体验收获今天我们学习了哪些知识？ 1.什么是二次根式？ 2.二次根式的性质是什么？ 3.什么叫最简二次根式4.二次根式的乘除法的法则是什么5.怎样进行二次根式的加减乘除的混合运算？ 七、布置作业教材48页习题第1、3、4题。