平面一级倒立摆实验报告

平面倒立摆实验

一、实验装置简介

平面倒立摆是在XY平台的基础上，设计平面倒立摆摆杆组件，组成平面倒立摆控制系统，倒立摆是研究自动控制原理和智能控制控制算法的研究平台，系统本身是一个多变量，强耦合的非线性系统。

1.系统组成

一套完整的平面摆系统主要由以下三部分组成，见图片1-1：

(1).控制对象，平面摆机械本体；

(2).电控箱；

(3).计算机。

图片 1-1 平面倒立摆系统组成

用户在计算机上发送的指令通过电控箱转化为控制信号传达给机械本体的执行部件；反馈元件采集的信号通过电控箱送回计算机并转化为可视的数据、曲线、图像等在显示器上显示出来。

1.1 平面摆机械本体

图片1-2所示，GPIP200X系列XY平台平面摆是由下端的GXY系列XY平台和上端的摆部件组成，部件全部采用工业级元件。

图片 1-2 XY 平台本体外观

平面倒立摆摆体说明

图片 1-3 平面一级倒立摆摆体外观

1.2控制箱

控制箱是平台控制部分的核心，与机械本体驱动电机配套，为交流伺服型，电控箱内置交流伺服驱动器、开关电源、断路器、接触器、运动控制器端子板，按钮开关等，外观见图片 1-4

图片 1-4交流伺服型电控箱外形图

1.3计算机

为保证系统良好运行，建议计算机系统配置不低于一定标准。

二、平面一级倒立摆的建模

在多种机器人动力学建模方法中，具有代表性的是牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法。用牛顿定律求解多体动力学问题时，需要把多体系统切开，将各个组成部分看作是独立的子结构，先建立各自的动力学方程，然后建立系统的动力学方程，求解驱动力的同时也解出切开处的铰链约束力；但是要解算大量的微分方程组，带来了一定的运算量。由于倒立摆系统中关节处的约束力并无太大的意义，且由于拉格朗日方程组形式对称，表达方便，便于利用MATHEMATICA 强大的符号运算功能编程实现，简化了求解难度。所以，本文采用拉格朗日方程推导平面一级倒立摆系统的动力学模型。

采用如图所示的坐标：

根据几何知识：

其中l是倒立摆摆杆长度，，分别是摆杆在x-z，y-z平面的映射长度，

为摆杆与z轴方向的夹角，，分别为摆杆在x-z，y-z平面的映射与z轴方向的夹角。在摆杆垂直向上的方向上，如果偏角，<<1，则可以近似的认为

≈≈

根据坐标的定义，则在x-z平面内：

其中为x轴方向上的小车的质量，s为小质量块ds到小车上转轴的距离，则

应用Langrange方程求解倒立摆系统动力学方程：

拉格朗日方程为

其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标。拉格朗日方程由广义坐标和L表示为：

其中，i=1,2,3…,称为广义变量，称为系统沿该广义坐标方向上的广义外力。是系统的动能，V是系统的势能。则对于倒立摆系统：

因此

所以

如果令，则

由此可见，在经过将映射的倒立摆系统进行近似之后，两者在互相垂直的方向上是非耦合的。从而我们就可以依次而分别设计控制器，而不必担心两个方向上的互相干扰问题。令,系统线性化为：

根据LQR方法设计控制器，控制器结构为：

三、平面一级倒立摆的神经网络控制

固高的平面一级倒立摆用的是LQR控制器进行控制，本实验在固高LQR控制

的基础上采用了神经网络进行控制。

1.LQR控制器设计与调节

最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。其中线性二次型性能指标因为可以通过求解Riccatti 方程得到控制器参数，并且随着计算机技术的进步，求解过程变得越来越简便，因而在线性多变量系统的控制器设计中应用较广。利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR控制器。

1.1线性二次最优控制原理

对于下述状态方程式所表示的连续时间的线性被控对象:

式中，x(t)为n维状态向量；u(t)为m维控制向量；A,B分别为n×n及n×m 阶的常数矩阵。在进行控制系统设计时，我们感兴趣的是如何选择控制向量u(t),使得给定的性能指标达到极小，可以证明，当二次型性能指标的积分限由零变化到无穷大时，如果

式中的L(x,u)是x和u的二次型函数或厄米特函数，将得到线性控制律，即

式中的K为r×n维矩阵。

因此，基于二次型性能指标的最优控制系统和最优调节器系统的设计归结为确定矩阵 K 的各元素。采用二次型最优控制方法的一个优点是只要系统是能控的，则所设计的控制系统将是稳定的。

2.平面一级倒立摆的线性二次最优控制

已经得出了平面一级倒立摆的线性化数学模型，这里以X方向为例进行控制器的设计。在下面的描述中，为了简洁起见，略去各变量象征X方向的下标x，将记为X，以此类推。

系统的状态向量为,状态空间方程和输出方程

为

一旦根据期望性能指标选定权重矩阵Q和R，利用最优控制原理可以得到最优控制矩阵K。所以控制量为

3.平面一级倒立摆的神经网络控制

本实验在固高LQR控制器的基础上应用神经网络控制算法对平面一级倒立摆进行控制。

3.1采集实验数据

在LQR控制器的输入和输出添加数据采集模块，如下图：

所采集的数据为：

Xinput的数据如下所示：

Xoutput的数据如下所示：

Yinput的数据如下所示：

Youtput的数据如下所示：

3.2 神经网络控制算法

依据采集的数据训练神经网络，并用训练好的神经网络代替LQR 控制器。

(1). 神经网络程序

编写的MATLAB 神经网络程序如下：