高分子物理习题册(VIII)

第九章

9.1 描述力学性能的基本参数

例9－1 试证明小形变时体积不变的各向同性材料的泊松比ν＝1/2。

解法之一：形变前的体积为

形变后的体积为

＝

由于形变很小，等高次项可以忽略，∴

＝

因为体积不变，∴

又∵

∴

泊松比

解法之二：

舍去二次项（指）

）∵

磅

）

磅

（

、四个变量中，只有两个是独立变量，它们之间的关系可用下式描述：和的关系

图9-7 E、G、B和之间的关系图

图中曲线1：＝0.25；曲线2：＝0.40；曲线3：＝0.45

例9－4 证明 E=2G(1+ν)

解：下图a是应力较大的结果，下图b表明应力很小时立方体没有发生畸变。考虑在对角线AC和BD 方向上的应变，取一级近似。

AC===×（1＋/2）；应变＝/2

BD=＝＝×（1－/2）；应变＝－/2

在两个45?方向上，剪切应变分别等价于张力（/2）和压缩应变（－/2）。

图b说明这些方向的剪切应力等价于张力和压缩应力，都等于

2×/=

而这些作用覆盖的面积为对角线平面的面积，所以应力是。

因而利用线性条件，

==+或G=

例9－5 100磅的负荷施加于一试样，这个试样的有效尺寸是：长4寸，宽1寸，厚0.1寸，如果材料的杨氏模量是3.5×1010达因/厘米2，问加负荷时试样伸长了多少厘米？

解：

E＝3.5×1010dyn/cm2

∴

例9－6 同样材料、长度相等的两根试样，一根截面为正方形，边长为D，另一根截面为圆形，直径为D，如果都被两端支起，中间加荷W，问哪根弯曲得厉害些，其挠度比是多少？

解：矩形的∴

式中：l0为长，b为宽，d为厚。

圆形的∴

式中：l0为长，r为半径。

所以圆形试样弯曲得厉害些。

例9－7 每边长2cm得立方体高分子材料，已知其剪切模量随时间的变化为：

力学物理量（cm2/dyn）

要使该材料分别在10－4秒和104秒后产生0.4cm的剪切形变，各需多少外力？

解：

根据剪切模量的定义

∴

（1）对于10－4s

dyn/cm2

∴F＝0.8×999,900＝8×105dyn

（2）对于104s

dyn/cm2

∴F＝0.8×0.01＝0.008dyn＝8×10－8N

例9－8 长lm、截面直径为0.002m的钢线和橡皮筋，分别挂以0.1kg的重物时各伸长多少?设钢丝和橡皮筋的杨氏模量分别为2×1011N·m-2和1×106N·m-2。

解：

对钢线：

对橡皮筋：

例9―9 有一块聚合物试件，其泊松比，当加外力使它伸长率达1％时，则其相应的体积增大多少?当时又如何?

解：由本体模量定义

对于各向同性材料，各种模量之间有

，和，

∴

即体积增大千分之四。

时体积增大为百分之一。

例9－10 一个立方体材料假定是不可能压缩的，沿立方体的轴Ox1x2x3施加下列应力场：1＝8MPa，2＝7MPa，3＝5MPa。给定在小应变时杨氏模量为4GPa，计算Ox1方向上的应变。如果3减少为零，要维持材料的应变状态不变，1和2的值应为多少？

解：ε1＝1/E-ν(2/E+3/E)=[1-ν(2+3)]/E

因为ν＝1/2（对于不可压缩的固体），所以

ε1＝[1-(2+3)/2]/E=[8-(5+7)/2]/(4×103)

＝5×10－4

不可压缩性意味着三个方向上应力同等变化不会影响应变。所以

3＝0时需要1＝3MPa和2＝2MPa以维持应变状态不变。

例9－11 以单轴拉伸力F将一条圆柱形橡胶（长10cm，直径2mm）拉至20cm长。如果橡胶的行为是新虎克固体（neo-Hookeian solid），杨氏模量为1.2Nmm-2，计算

（1）拉伸后圆柱的直径

（2）应力值

（3）真应力值

（4）F值

解：U=C(λ+λ+λ-3),式中C=G/2=E/6。

如果拉伸方向是Ox3，λ3＝λ，且λ1λ2λ3＝1。因而

λ＝λ＝1/，这里λ＝2，令初始直径为d，初始面积为A，

1.伸后直径＝dλ1=2/==1.41mm

2.应力＝F/A=（E/3）(λ-1/λ2)（即状态方程）＝1.2×1.75/3

＝0.7Nmm-2

1.真应力＝应变/（λ1λ2）＝0.7/（λ1λ2）=0.7λ=1.4Nmm-2

2.F=应力×初始面积＝0.7π＝2.2N

*例9－12 一个球形的气球由与上题相同的橡胶做成。如果气球的直径为2cm，壁厚1cm，问当它吹成

直径为2.2，2.5，3，5和10cm时内压力为多少？

解：过剩内压力P=2F/2，式中F为单位长度的表面张力，

为半径。如果初始厚度是t，F=G(1-1/λ6)t，式中

G=E/3，λ是直径的胀大倍数。内压力为大气压（105Pa）

加0.317，0.472，0.487，0.318和0.160×105Pa。注

意P在低膨胀倍数时有极值（在较大直径时橡胶并不是

新虎克固体）。

9.2 应力－应变曲线

例9－13 画出聚合物的典型应力—应变曲线，并在曲线

上标出下列每一项：a．抗张强度；b伸长率；c．屈服

点，d．模量．

解：

例9－14 拉伸某试样，给出如下数据：

5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 150

ε×103

σ(磅/英寸2) 250 500 950 1250 1470 1565 1690 1660 1500 1400 1385 1380 1380(断)

作应力－应变曲线图，并计算杨氏模量，屈服应力和屈服时的伸长率。这个材料的抗张强度是多少？（注：1磅/英寸2＝0.6887×104Pa）

解：杨氏模量

E＝5×104磅/英寸2＝3.44×108Pa

屈服应力

磅/英寸2＝1.16×107Pa

屈服时的伸长率

（即6％）

抗张强度

磅/英寸2＝9.5×106Pa