结构力学 力法计算超静定结构
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项目三 超静定结构的内力计算
Hale Waihona Puke Baidu
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征
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2．超静定次数的确定 超静定结构中多余约束的数目，称为超静定次数。确定超静定次数是力法计
算的首要工作。例如，图 3 – 2 所示结构有一个多余约束，超静定次数为 1 ； 图 3 – 3 所示结构有两个多余约束，超静定次数为 2。
超静定结构去掉多余结束的方式，归纳起来有如下几种： ① 去掉一个可动铰支座（图 3 – 2）或切断一根链杆（图 3 – 3 和图 3 – 5）相 当于去掉一个约束，用一个多余未知力代替。
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② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
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③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三个约束，用三个多余未知力代替。
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情景一 超静定结构的基本特征
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1．力法求解超静定结构的概念 应用力法对超静定结构进行分析计算需拆除超静定结构的多余约束。如图 3
– 2a 中的链杆支座 B（或 A），以及图 3 – 3a 中的两根腹杆 1、2，同时用 X1 表示拆除链杆的未知反力；用 X1、X2 表示拆除的腹杆的未知内力，使其从结构 形式上成为静定结构，如图 3 – 2b 及图 3 – 3b 所示。
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再从几何构造看，图 3 – 2a 所示梁多余一个支座链杆，图 3 – 3a 中 所示桁架多余两根腹杆。因此两个结构都为超静定结构。
由此可见，超静定结构在静力方面的特征是单凭静力平衡条件不能确 定其全部反力和内力，而在几何构造上的特征是具有多余约束。常见的 超静定结构有超静定梁（图 3 – 4a）、超静定刚架（图 3 – 4b）、超静 定桁架（图 3 – 4c）、超静定拱（图 3 – 4d）及超静定组合结构（图3 – 4e）。
项目实施
去掉超静定结构的约束时，应注意： ① 去掉多余约束后基本结构必须是几何不变体系。即为了保证结构的几何不变 性，某些约束是绝对不能去掉的，如图 3 – 11a 所示连续梁支座 A 的水平链杆 是不能去掉的，否则基本结构就变成几何可变体系，如图 3 – 11b 所示。
超静定结构有多少个多余约束，相应地就有多少个多余未知力。超静定结构 在几何不变体系的前提下，去掉多余约束，用多余未知力来代替，使原结构变 为一个受已知外力和多余约束力共同作用下的静定结构，这个静定结构称为原 超静定结构的基本结构。原超静定结构称为原结构。我们若能求出 X1、X2 的 具体值，则基本结构中的其余未知量（如内力、位移）均随之可求出。可见， 多余未知力的确定是求解超静定结构的关键。因此，我们把多余未知力作为基 本未知量。
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④ 将刚性连接改成单铰连接（图 3 – 8a）或将固定支座改为固定铰支座（图 3 – 8b），相当于去掉一个转动约束，用一个多余未知力代替。
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3．超静定结构的特点 ① 在超静定结构中，除荷载作用外，支座移动、温度变化、材料收缩、构件的制 造误差等非荷载因素都会在结构中引起内力，而非荷载因素在静定结构中不会引 起内力。这是因为超静定结构中存在多余约束，当受到这些因素的影响而发生位 移时，将受到多余约束的制约，因而相应地产生内力。在工程中，连续梁可能由 于地基的不均匀沉降而产生有害的附加内力，可以设置温度缝、沉降缝等构造措 施减小内力对结构的不利影响。反之，在桥梁施工中可以通过改变支座高度来调 整其内力，从而达到合理分布。 ② 由于多余约束的存在，超静定结构比静定结构具有较强的防护能力。因为静定 结构的任一约束遭到破坏后，立即变成几何可变体系，完全丧失承载能力。而超 静定结构在多余约束遭到破坏后，仍为几何不变体系，能继续承受荷载。
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③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
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情景一 超静定结构的基本特征
项目实施
显然，对于同一个超静定结构，可以通过去掉不同的多余约束，得到不同的 基本结构形式。例如图 3 – 10a 所示的超静定结构，可以通过去掉不同的多余 约束，得到如图 3 – 10b、c 所示两个不同的基本结构。
情景一 超静定结构的基本特征
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前面讨论和研究的都是静定结构的计算，本项目我们将研究超静定结构的内 力和位移的求解方法。从受力上看，如果未知的支座反力或各截面的内力不能 完全由静力平衡条件唯一地确定，就称为超静定结构。如图 3 – 2a 所示连续梁 和图 3 – 3a 所示的桁架就是超静定结构。
Hale Waihona Puke Baidu
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1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
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2．超静定次数的确定 超静定结构中多余约束的数目，称为超静定次数。确定超静定次数是力法计
算的首要工作。例如，图 3 – 2 所示结构有一个多余约束，超静定次数为 1 ； 图 3 – 3 所示结构有两个多余约束，超静定次数为 2。
超静定结构去掉多余结束的方式，归纳起来有如下几种： ① 去掉一个可动铰支座（图 3 – 2）或切断一根链杆（图 3 – 3 和图 3 – 5）相 当于去掉一个约束，用一个多余未知力代替。
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② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
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③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三个约束，用三个多余未知力代替。
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1．力法求解超静定结构的概念 应用力法对超静定结构进行分析计算需拆除超静定结构的多余约束。如图 3
– 2a 中的链杆支座 B（或 A），以及图 3 – 3a 中的两根腹杆 1、2，同时用 X1 表示拆除链杆的未知反力；用 X1、X2 表示拆除的腹杆的未知内力，使其从结构 形式上成为静定结构，如图 3 – 2b 及图 3 – 3b 所示。
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再从几何构造看，图 3 – 2a 所示梁多余一个支座链杆，图 3 – 3a 中 所示桁架多余两根腹杆。因此两个结构都为超静定结构。
由此可见，超静定结构在静力方面的特征是单凭静力平衡条件不能确 定其全部反力和内力，而在几何构造上的特征是具有多余约束。常见的 超静定结构有超静定梁（图 3 – 4a）、超静定刚架（图 3 – 4b）、超静 定桁架（图 3 – 4c）、超静定拱（图 3 – 4d）及超静定组合结构（图3 – 4e）。
项目实施
去掉超静定结构的约束时，应注意： ① 去掉多余约束后基本结构必须是几何不变体系。即为了保证结构的几何不变 性，某些约束是绝对不能去掉的，如图 3 – 11a 所示连续梁支座 A 的水平链杆 是不能去掉的，否则基本结构就变成几何可变体系，如图 3 – 11b 所示。
超静定结构有多少个多余约束，相应地就有多少个多余未知力。超静定结构 在几何不变体系的前提下，去掉多余约束，用多余未知力来代替，使原结构变 为一个受已知外力和多余约束力共同作用下的静定结构，这个静定结构称为原 超静定结构的基本结构。原超静定结构称为原结构。我们若能求出 X1、X2 的 具体值，则基本结构中的其余未知量（如内力、位移）均随之可求出。可见， 多余未知力的确定是求解超静定结构的关键。因此，我们把多余未知力作为基 本未知量。
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④ 将刚性连接改成单铰连接（图 3 – 8a）或将固定支座改为固定铰支座（图 3 – 8b），相当于去掉一个转动约束，用一个多余未知力代替。
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3．超静定结构的特点 ① 在超静定结构中，除荷载作用外，支座移动、温度变化、材料收缩、构件的制 造误差等非荷载因素都会在结构中引起内力，而非荷载因素在静定结构中不会引 起内力。这是因为超静定结构中存在多余约束，当受到这些因素的影响而发生位 移时，将受到多余约束的制约，因而相应地产生内力。在工程中，连续梁可能由 于地基的不均匀沉降而产生有害的附加内力，可以设置温度缝、沉降缝等构造措 施减小内力对结构的不利影响。反之，在桥梁施工中可以通过改变支座高度来调 整其内力，从而达到合理分布。 ② 由于多余约束的存在，超静定结构比静定结构具有较强的防护能力。因为静定 结构的任一约束遭到破坏后，立即变成几何可变体系，完全丧失承载能力。而超 静定结构在多余约束遭到破坏后，仍为几何不变体系，能继续承受荷载。
情景一 超静定结构的基本特征
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③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
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情景一 超静定结构的基本特征
项目实施
显然，对于同一个超静定结构，可以通过去掉不同的多余约束，得到不同的 基本结构形式。例如图 3 – 10a 所示的超静定结构，可以通过去掉不同的多余 约束，得到如图 3 – 10b、c 所示两个不同的基本结构。
情景一 超静定结构的基本特征
情景一 超静定结构的基本特征
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前面讨论和研究的都是静定结构的计算，本项目我们将研究超静定结构的内 力和位移的求解方法。从受力上看，如果未知的支座反力或各截面的内力不能 完全由静力平衡条件唯一地确定，就称为超静定结构。如图 3 – 2a 所示连续梁 和图 3 – 3a 所示的桁架就是超静定结构。