多模型拟合与组合预测

多模型拟合与组合预测

对时间序列建模好比替人物画速写；简单几笔素描突出人的特点并由此推测人物个性。时间序列模型也能模拟数据特征、提炼数据信息、预测数据规律。然而，正如每张素描仅能反映人物某一侧面，多个角度的素描才能完整逼真人物形象，非线性复杂时间序列的数学模型仅是该序列的某种简化和抽

象，其所包含

的变量和参数必定是有所选择并十分有限的。不同模型对同一序列的描述往往各有特点、各有适用场合、也各有不足之处。理论和实践表明，多模型的拟合与组合预测能提高模拟的功效和预测的精度。

事实上，在预测实践中，对于同个问题，我们常采用不同的预测方法。不同的预测方法其预测精度往往也不相同。一般是以预测误差平方和作为评价预测方法优劣的标准，从各种预测方法中选取预测误差平方和最小的预测方法。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息，如果简单地将预测误差平方和较大的方法舍弃，将推动一些有用的信息。科学的作法是将不同的预测方法进行适当组合，形成组合预测方法。其目的是综合利用各种预测方法所提供的信息，以提高预测精度。

早在1954年，美国人Schmitt 曾经采用组合预测方法对美国37个最大城市的人口进行预测使预测精度提高。1959年，J.M.Bate t C 。W 。J 。G 拒有对组合预测方法进行比较系统的研究，研究成果引起预测学者的重视。此后，国外关于组合预测的研究成果层出不究，我国近十几年也很重视组合预测的研究，取得一系列研究成果。

采用组合预测的关键是确定单个预测方法的加权系数。设对于同一个问题有

)2(≥n 种预测方法。给出如下记号：t y 为实际观察值；it f 为第i 种方法的预测值；

it t it f y e -=为第i 种方法的预测误差；i k 为第i 种方法的加权系数，

∑∑====n

i n

i it i t i

f k f k

1

1

;1为组合预测方法的预测值；t t t f y e -=为组合预测方法的预测

误差，于是∑==-=n

i it i t t t f k f y e 1

。其中，N t n i ,,2,1;,,2,1 ==。

记组合预测方法的预测误差平方和∑==N

i t e J 1

2，则

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∑∑

∑

===)(11

1

N

t jt it j i n

j n

i e e k k J

记组合预测方法的预测加权系数向量为T n n k k k ],,,[21 =K ，第i 种预测方法的预测误差向量为T iN i i i e e e ],,,[21 =E ，预测误差矩阵为,,[21E E e = ],n E ，于是

n n T

n T K E K e e )(==J

中

⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n n E E E E E E E E E 2

1

2222111211

)

(E 而∑-====N

t it ii j T

i

ji ij a E E E 1

2

,i T i

E E E E 。ii E 为第i 种预测方法的预测误差平方

和。)(n E 反映了各种预测方法提供的预测误差信息，称为预测误差信息矩阵。

记T n 1

]

1,,1,1[⨯= n R ，则国中权系数的约束条件∑==n

i i k 11改为1=n K R T

n 。于是组

合预测问题可表示成非线性规划模型（11.1）

n n T

n K E K )(min =J

（11-1a ）

⎝⎛≥=01..n

n n K K R T t s

)

111()

111(c b --

11.1 综合模拟和预测的基本思想

自从60年代末模型综合研究开创以来，在经济预测和决策及证券投资等方面得到了有效的应用，但是在统计预测研究和应用方面目前尚属初级阶段。由前几章的讨论可见，不同的预测模型预测精度往往有差异。怎样对这些模型的预测结果进行客观的综合应用，一直是人们在探讨的一个问题，眼下大多是人为定性综合。本章提供一种科学的组合预测方法对模型进行定量综合，以期提高预测结果的可靠性和客观性。

设N t X t ,,2,1},{ =为某个统计量的观测序列，N t J j j x

t ,,2,1,,,2,1)},(ˆ{ ==，为对应的用J 个预测模型得到的拟合序列。对K k x k N ,,2,1,, =用J 个不同模型获得的预测值记为J j j x

k N ,,2,1),(ˆ =+，将这J 个模型对k N x

+ˆ的组合预测值记为k N x +ˆ，则通常有以下两类综合模式：

11.1.1 权重综合

K k j x W x

k N j J

j k N ,,2,1),(ˆˆ1

==+=+∑ （11-2）

式中J j W j ,,2,1, =为第j 个模型在综合预测值中所占的权重，一般情况下为了保持综合模型的无偏性，j W 应满足归一化约束条件

11

=∑=j

J

j W

（11-3）

构成j W 的方法有多种，常用的有算术平均法、均方倒数法、方差倒数法、二项式系数法、简单加权法和最优加权法等，将在下面加以介绍。 11.1.2 区域综合

设J 种预测值有置信区间J j j j x l N l N ,,2,1)),()(ˆ( =±++δ，则l N x +ˆ的置信区间是这J 个区间的交集

))()(ˆ()ˆ(1

j j x x

l N l N J

j l N l N ++=++±=±δδ （11-4）

如果上式为空集，则依次排除该时刻最大和最小预测值的置信区间，若剩余模型超过半数则仍由上式进行区域综合，否则需要新建模预测。若有模型无法估计置信区间，则将其排除后也按上法处理。

11.2 最优加权法

在研究和应用中我们通常较多地采用权重综合的方法，在确定各个模型的权重时，首先想到的是在某一意义上求得最优权重向量，因此下面先讨论最优加权法。

最优加权法的基本原理是依据某种最优准则构造目标函数Q ，在约束条件（记为s.t.）下极小化Q 求得综合模型的加权系数，这些权重系数就是各个模型的最优权。

11.2.1 最优加权模型

设N t x t ,,2,1},{ =为观测序列，有J 个预测模型对之进行预测，拟合值记为

N t J j j x

t ,,2,1,,,2,1)},(ˆ{ ==，则最优加权模型的组合权重系数J j W j ,,2,1, =，是以下规划问题的解：

⎪⎩⎪⎨

⎧=)(

..)

,,,(min 210t s w w w Q Q J （11-5）