直线的方向向量PPT课件
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直线的方向向量和平面的法向量 课件
[分析] 设 l1、l2 的方向向量分别为 a，b，则 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
高中数学《直线的方向向量及平面的法向量》课件
同理，DB1⊥AD1，又 AC∩AD1＝A，所以 DB1⊥平面 ACD1，从而是平面 ACD1 的一个法向量．
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答案
探究 3 利用方向向量、法向量判断线、面关系 例 3 (1)设 a，b 分别是不重合的直线 l1，l2 的方向向量，根据下列条件 判断 l1 与 l2 的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
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(3)(教材改编 P104T2)设平面 α 的法向量为(1,3，－2)，平面 β 的法向量为
(－2，－6，k)，若 α∥β，则 k＝________.
(4)已知直线 l1，l2 的方向向量分别是 v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，
则直线 l1，l2 的位置关系为________．
向量为A→D＝12，0，0.
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拓展提升 设直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中 k∈R， 平面的法向量的求解方法： ①设出平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)．
形式 数对(x，y)，使得O→P＝ □04 xa＋yb
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探究 3 利用方向向量、法向量判断线、面关系 例 3 (1)设 a，b 分别是不重合的直线 l1，l2 的方向向量，根据下列条件 判断 l1 与 l2 的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
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(3)(教材改编 P104T2)设平面 α 的法向量为(1,3，－2)，平面 β 的法向量为
(－2，－6，k)，若 α∥β，则 k＝________.
(4)已知直线 l1，l2 的方向向量分别是 v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，
则直线 l1，l2 的位置关系为________．
向量为A→D＝12，0，0.
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答案
拓展提升 设直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中 k∈R， 平面的法向量的求解方法： ①设出平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)．
形式 数对(x，y)，使得O→P＝ □04 xa＋yb
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课件直线的方向向量与平面的法向量
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
新教材北师大版选择性必修第一册第3章44.1直线的方向向量与平面的法向量课件(44张)
第三章 空间向量与立体几何
§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习任务
核心素养 1．通过直线的方向向量和平面的
1．理解直线的方向向量和平面 法向量的学习，提升数学抽象素
的法向量及其意义．(重点) 养．
2．会求直线的方向向量和平面 2．通过求直线的方向向量和平面
的法向量．(重点、难点)
1．直线的方向向量 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方__向__向__量__． 如图所示，已知点 M 是直线 l 上的一点，非零向量 a 是直线 l 的一个方向向量，那么对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t， 使得M→P＝ta．把这个式子称为直线 l 的向量表示．
故|2a＋b|＝ 02＋－52＋52＝5 2． (2)O→E＝O→A＋A→E＝O→A＋tA→B＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－ 3＋t，－1－t，4－2t)， 若O→E⊥b，则O→E·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得 t＝95， 因此存在点 E，使得O→E⊥b，点 E 的坐标为 E－65，－154，25．
所以x＝23y z＝－43y
，x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．]
1234
4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－ 1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|； (2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得O→E⊥b?
1234
[解] (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
∴n＝1，－12，12，即为平面 SCD 的一个法向量．
§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习任务
核心素养 1．通过直线的方向向量和平面的
1．理解直线的方向向量和平面 法向量的学习，提升数学抽象素
的法向量及其意义．(重点) 养．
2．会求直线的方向向量和平面 2．通过求直线的方向向量和平面
的法向量．(重点、难点)
1．直线的方向向量 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方__向__向__量__． 如图所示，已知点 M 是直线 l 上的一点，非零向量 a 是直线 l 的一个方向向量，那么对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t， 使得M→P＝ta．把这个式子称为直线 l 的向量表示．
故|2a＋b|＝ 02＋－52＋52＝5 2． (2)O→E＝O→A＋A→E＝O→A＋tA→B＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－ 3＋t，－1－t，4－2t)， 若O→E⊥b，则O→E·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得 t＝95， 因此存在点 E，使得O→E⊥b，点 E 的坐标为 E－65，－154，25．
所以x＝23y z＝－43y
，x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．]
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4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－ 1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|； (2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得O→E⊥b?
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[解] (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
∴n＝1，－12，12，即为平面 SCD 的一个法向量．
高中数学同步教学课件 直线的方向向量与平面的法向量
∵直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，故设A→B＝km.
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得 k＝－12，y＝z＝32.∴y－z＝0. [答案] A
● 题型一 直线的方向向量
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1 为正方体， 棱长为 1，则直线 DD1 的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________． [解析] ∵DD1∥AA1，A→A1＝(0，0，1)， ∴直线 DD1 的一个方向向量为(0，0，1)． ∵BC1∥AD1，A→D1＝(0，1，1)，∴直线 BC1 的一个方向向量为(0，1，1)． [答案] (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一)
()
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．若 A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )
A．(2，1，1)
B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1)
D．(2，1，－1)
解析：∵A→B＝(－1，1，1)，而与A→B共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量， 故选 B. 答案：B
3．已知 A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面 ABC 的一个法向量为( )
A．(0，1，－1)
B．(－1，0，1)
C．(1，1，1)
D．(－1，0，0)
解析：设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 由A→B＝(－1，0，0)，A→C＝(1，－1，－1)，可得nn··AA→→BC＝＝00，，即x－－xy＝－0z，＝0，
A．(18，17，－17)
B．(－14，－19，17)
C．6，72，1
D．－2，－121，13
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
直线的方向向量与平面的法向量课件
P
A
B
D
C
例3
如图（自己画），在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的坐标系，求平面PAB 的一个法向量.
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB， DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
→ C.AB
—→
√D. A1A
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
课堂练习
4.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个 方 向 向 量 为 (0,1,1) ； ③ 平 面 ABB1A1 的 一 个 法 向 量 为 (0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是_①__②__③___.(填序号)
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z). 则nn··AP→ →BB＝ ＝00， ， 即－3xy＋－z＝3y0＝，0， 因此可取 n＝( 3，1， 3). 所以平面 PAB 的一个法向量可以为( 3，1， 3)(答案不唯一).
解析 由题意得a∥b， 所以26xx2＝＝－2，6， 解得 x＝－1.
课堂练习
2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
A
B
D
C
例3
如图（自己画），在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的坐标系，求平面PAB 的一个法向量.
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB， DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
→ C.AB
—→
√D. A1A
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
课堂练习
4.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个 方 向 向 量 为 (0,1,1) ； ③ 平 面 ABB1A1 的 一 个 法 向 量 为 (0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是_①__②__③___.(填序号)
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z). 则nn··AP→ →BB＝ ＝00， ， 即－3xy＋－z＝3y0＝，0， 因此可取 n＝( 3，1， 3). 所以平面 PAB 的一个法向量可以为( 3，1， 3)(答案不唯一).
解析 由题意得a∥b， 所以26xx2＝＝－2，6， 解得 x＝－1.
课堂练习
2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
直线的方向向量与平面的法向量 课件
a⊥平面α，向量 a 叫做平面α的______法__向__量___． 注意：(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向
量．(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行．
4．设 a，b 在平面α内(或与α平行)，a 与 b 不平行，直线 l 的方向向量为 c，则 l⊥α⇔__a_⊥__c_且__b_⊥__c_(_或__a_·c_＝__0_且__b_·_c＝__0_).
【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面． 【剖析】(1)若点 A 是直线 l 上的一点，向量 a 是 l 的方向 向量，在直线 l 上取A→B＝a，则对于直线 l 上任一点 P，一定存 在实数 t，使得A→P＝tA→B，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置，还可具体表示出 l 上的任意一点． (2)空间中平面 α 的位置可以由 α 上两条相交直线来确定， 若设这两条直线交于点 O，它们的方向向量分别是 a 和 b，点 P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实 数对(x，y)，使得O→P＝xa＋yb.这样，点 O 与向量 a，b 不仅可 以确定平面 α 的位置，还可以具体表示出 α 上的任意一点．
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D.∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G. 又∵OG∩BD＝O，且 A1O⊄面 GBD， ∴A1O⊥面 GBD.
直线的方向向量与平面的法向量
1．空间中的点P，可用向量O→P表示，O→P称为点P的_位__置__向__量_．
2．空间中任意一条直线 l 的位置可以由_l_上__一__个__定__点__A___ 以及一个向量确定，这个向量叫做直线的__方__向__向__量____．
量．(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行．
4．设 a，b 在平面α内(或与α平行)，a 与 b 不平行，直线 l 的方向向量为 c，则 l⊥α⇔__a_⊥__c_且__b_⊥__c_(_或__a_·c_＝__0_且__b_·_c＝__0_).
【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面． 【剖析】(1)若点 A 是直线 l 上的一点，向量 a 是 l 的方向 向量，在直线 l 上取A→B＝a，则对于直线 l 上任一点 P，一定存 在实数 t，使得A→P＝tA→B，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置，还可具体表示出 l 上的任意一点． (2)空间中平面 α 的位置可以由 α 上两条相交直线来确定， 若设这两条直线交于点 O，它们的方向向量分别是 a 和 b，点 P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实 数对(x，y)，使得O→P＝xa＋yb.这样，点 O 与向量 a，b 不仅可 以确定平面 α 的位置，还可以具体表示出 α 上的任意一点．
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D.∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G. 又∵OG∩BD＝O，且 A1O⊄面 GBD， ∴A1O⊥面 GBD.
直线的方向向量与平面的法向量
1．空间中的点P，可用向量O→P表示，O→P称为点P的_位__置__向__量_．
2．空间中任意一条直线 l 的位置可以由_l_上__一__个__定__点__A___ 以及一个向量确定，这个向量叫做直线的__方__向__向__量____．
直线的法向量和点法式方程ppt课件
熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 ( 3 , 5 ) n (2,4)
公 ⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3, 5) n(2,4) 式 ⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5) n(2,4)
16
ppt精选版
A(x-x0)+B(y-y0)=0
概
与一条直线 平垂行直 的非零向量叫做这 条直线的方法向向量 通常用n 表示
念 思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形 2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
成 的位置关系是怎样的？
6
ppt精选版
(2)A xB yC0
一个方向向量： d(B,A)
7
ppt精选版
代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
x1
得 x2 ,
2
y-1 42 y2(x-1)-6x2( y+x1,1y)2 =y01
整理得 2x+3y+1 =0
18
ppt精选版
学
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
以 求线段AB的垂直平分线方程。 致 用
19
ppt精选版
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
解：代入直线的点法式方程,
致 得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
整理得 3x+ 4y-11 =0
用 n 练习1. 求过点p，且一个法向量为 的直线方程.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 ( 3 , 5 ) n (2,4)
公 ⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3, 5) n(2,4) 式 ⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5) n(2,4)
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A(x-x0)+B(y-y0)=0
概
与一条直线 平垂行直 的非零向量叫做这 条直线的方法向向量 通常用n 表示
念 思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形 2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
成 的位置关系是怎样的？
6
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(2)A xB yC0
一个方向向量： d(B,A)
7
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代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
x1
得 x2 ,
2
y-1 42 y2(x-1)-6x2( y+x1,1y)2 =y01
整理得 2x+3y+1 =0
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学
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
以 求线段AB的垂直平分线方程。 致 用
19
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反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
解：代入直线的点法式方程,
致 得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
整理得 3x+ 4y-11 =0
用 n 练习1. 求过点p，且一个法向量为 的直线方程.
直线方向向量与直线的向量方程-PPT课件
并且mn1线线垂直线线成角与向量的关系设两条直线所成的角为锐角则直线方向向量间的夹角与相等或互补cnambb1010arccosbncbcnaaambncbaacnambnaaaaamcoscnamcnamcbbabnaabcacbcaabc底面直三棱柱如图cccbcacbbacbbacbba3010cbbacbbacbba
2 1 1
1 AM CN 2 2 则 cos . AM CN 5 5 4
例 4.如图 ,直三棱柱 ABC A B C , 底面 ABC 中 ,
1 1 1
CA CB 1,BCA 90, 棱AA 2, M、N分别 C
1
是A B、A A的中点 .
1 1 1
z
1
A1
1 1
1 1
1 1 A B ( 1 , 1 , 2 ), C M (, , 0 ) 2 2
1 1
x
1 1 1 1
BA 6 ,CB 5 .. A BA CB 1 cos BA CB 30 . 10 BA CB
1 1
z
C1 B1 M
1
1
1
1
1
1
1
N
C A B y
1 1 ( 3 ) 依题意得 C ( 0 , 0 , 2 ), M (, , 2 ), 2 2
1
11 A B C M 0 0 ， 22 A B CM .
AP ta— 称作直线 l以 t为参数的参数方程
对空间任意一点 O ，点 P 在直线 l 上的充要条件 在唯一的实数 t ，满足等式 OP OA ta （ 2 ）
P B
a A l
O
如果在 l上取 AB a ，则（ 2 ）可变形为 OP （ 1t） OA tOB （ 3 ） — （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）都叫空间直线的向量 参数方程 .
2 1 1
1 AM CN 2 2 则 cos . AM CN 5 5 4
例 4.如图 ,直三棱柱 ABC A B C , 底面 ABC 中 ,
1 1 1
CA CB 1,BCA 90, 棱AA 2, M、N分别 C
1
是A B、A A的中点 .
1 1 1
z
1
A1
1 1
1 1
1 1 A B ( 1 , 1 , 2 ), C M (, , 0 ) 2 2
1 1
x
1 1 1 1
BA 6 ,CB 5 .. A BA CB 1 cos BA CB 30 . 10 BA CB
1 1
z
C1 B1 M
1
1
1
1
1
1
1
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C A B y
1 1 ( 3 ) 依题意得 C ( 0 , 0 , 2 ), M (, , 2 ), 2 2
1
11 A B C M 0 0 ， 22 A B CM .
AP ta— 称作直线 l以 t为参数的参数方程
对空间任意一点 O ，点 P 在直线 l 上的充要条件 在唯一的实数 t ，满足等式 OP OA ta （ 2 ）
P B
a A l
O
如果在 l上取 AB a ，则（ 2 ）可变形为 OP （ 1t） OA tOB （ 3 ） — （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）都叫空间直线的向量 参数方程 .
空间直线的方向向量和平面的法向量PPT培训课件
7 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
A 1 (4,0,8) B (4,4,0) C 1 (0,4,8)
D1
C1
A1B(0,4,8) BC1 (4,0,8)
A1
E
B1
设 平 面 A 1 B C 1 的 法 向 量 为 n .
F
nA1B n BC1 设 n(m ,n,k)
4n8k0令 k 1 4m8k0
C1
B1
L
M
则C(0,0,0), A(2a,0,0),
A1
B(0,2a,0),C1(0,0,2c),
A1(2a,0,2c),B1(0,2a,2c)
M
N
M(a,0,c),N(0,2a,c), MN(a,2a,0)
O
y
C
N
B
A
易知平 A面 B的 C 一个法向 n量 (0,0,为 1)
x
MN n0 M/N /平A 面 BC
m 2
n
2
O D
A
B
n(2,2,1) E (4, 2, 8) Fx (0, 0, 4) EF(4,2,4)
设 E F ,n 的 夹 角 为 cos E F n 8
| E F || n | 9
设 直 线 E F 和 平 面 A 1 B C 1 所 成 角 为 sin| cos |
5 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
北师大版高中数学选择性必修1第3章4.1直线的方向向量与平面的法向量课件
✓ 可以先求出线段′三等分点的坐标，再验证其在平面′ 内； z
′
✓ 也可以将直线′的方程与平面 的方程联立求得交点坐标，
A
D
C
BHale Waihona Puke 再验证其恰为线段′的三等分点；
✓ 还可以设 =λ ′ ，写出 ，通过 · = 0求出λ ．
E
D
x
B
A
N
C
y
课堂练习
课堂练习
教材第124页练习第1、3、4题．
直线的方向向量有无数个(如，，等)，
故平面的法向量也有无数个．
➢追问2：对于平面内任意一点P， 和有什么关系?
可以用哪种运算来表示这种关系？
⊥ ，所以 · = 0 ．
①
概念生成
如果一条直线与一个平面垂直，那么就把直线的
方向向量叫作平面的法向量，则 ⊥ ．
1
2A
x
O
2
y
梳理小结
空间直线的方向向量
平面的向量表示式
类 比
空间平面的法向量
平面的方程
O
· = 0
·=0
ቊ
·=0
− 0 + − 0 + − 0 = 0
数学方法：类比推理、待定系数法
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算
即
− 0 + − 0 + − 0 = 0．②
方程②叫做平面的方程．
′
✓ 也可以将直线′的方程与平面 的方程联立求得交点坐标，
A
D
C
BHale Waihona Puke 再验证其恰为线段′的三等分点；
✓ 还可以设 =λ ′ ，写出 ，通过 · = 0求出λ ．
E
D
x
B
A
N
C
y
课堂练习
课堂练习
教材第124页练习第1、3、4题．
直线的方向向量有无数个(如，，等)，
故平面的法向量也有无数个．
➢追问2：对于平面内任意一点P， 和有什么关系?
可以用哪种运算来表示这种关系？
⊥ ，所以 · = 0 ．
①
概念生成
如果一条直线与一个平面垂直，那么就把直线的
方向向量叫作平面的法向量，则 ⊥ ．
1
2A
x
O
2
y
梳理小结
空间直线的方向向量
平面的向量表示式
类 比
空间平面的法向量
平面的方程
O
· = 0
·=0
ቊ
·=0
− 0 + − 0 + − 0 = 0
数学方法：类比推理、待定系数法
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算
即
− 0 + − 0 + − 0 = 0．②
方程②叫做平面的方程．
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（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）12
四、作业习题3,1,2,3
13
2019/9/20
14
2
3线、l已2 的知一直个线方l1向的向一量个b方 向(2,向6量, ),a
(1, 1
若
2
l1
,
3),
2和
直
l2
所成的角为 600 ，则 的值为（ D ）
A、2 B、-4 C、 4 D、4或 68 11
3
4、复习、向量的直角坐标运算的几个公式.
设 a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2) 则
用两种方法： 一：选基底的方法 二：用坐标的方法 并对两种方法进行比较
D1 z F
C
1
A1
B1 E
练习1、P117练习2
y
D
C
xA
B
9
例3、若一非平面四边形对边长相等， 证明两对角线中点连线垂直于两对角线（课本例题2）
提示：先翻译成数学语言
D
N
A
M
C
B
10
三、课堂小结：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
11
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
3)a (2, 2, 0), b (1, 0, 1) 600
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
8
例2、 如图在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是C1B1 、D1C1、的中点， 求AD1与 EF所成的角
3.3直线的方向向量
1
一、学生自主检测
1、设点A（0，-1,2），B（2,4,1），则下列各 向量中，可以作为直线AB的一个方向向量的是
（ C）
A(3,2,1) B（0，-2，3） C(2,5,-1) D(-1,0,3)
2一、个若方A向（向-1量,0,1aa）和_B__（__1,4,7）56在(1,直2,3线) l上，则l的 28
4
二、精讲精析
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
5
问： 1、如何用向量来表示直线的位置关系？
2、直线的方向向量定义：
3、两条直线所成的角
与
两直线方向向量所成的角 a, b 的关系
6
2019/9/20
7
练习1、设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
根据下列条件判断直线 l , m 所成的角
1)a (2, 3, 1), b (6, 9, 3)
00
2)a (5, 0, 2), b (0, 4, 0) 900
cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a b a b x1x2 y1y2 z1z2 0;
a // b x1 x2, y1 y2, z1 z2( R)
（回到图形问题）12
四、作业习题3,1,2,3
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3线、l已2 的知一直个线方l1向的向一量个b方 向(2,向6量, ),a
(1, 1
若
2
l1
,
3),
2和
直
l2
所成的角为 600 ，则 的值为（ D ）
A、2 B、-4 C、 4 D、4或 68 11
3
4、复习、向量的直角坐标运算的几个公式.
设 a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2) 则
用两种方法： 一：选基底的方法 二：用坐标的方法 并对两种方法进行比较
D1 z F
C
1
A1
B1 E
练习1、P117练习2
y
D
C
xA
B
9
例3、若一非平面四边形对边长相等， 证明两对角线中点连线垂直于两对角线（课本例题2）
提示：先翻译成数学语言
D
N
A
M
C
B
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三、课堂小结：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
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11
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
3)a (2, 2, 0), b (1, 0, 1) 600
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
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例2、 如图在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是C1B1 、D1C1、的中点， 求AD1与 EF所成的角
3.3直线的方向向量
1
一、学生自主检测
1、设点A（0，-1,2），B（2,4,1），则下列各 向量中，可以作为直线AB的一个方向向量的是
（ C）
A(3,2,1) B（0，-2，3） C(2,5,-1) D(-1,0,3)
2一、个若方A向（向-1量,0,1aa）和_B__（__1,4,7）56在(1,直2,3线) l上，则l的 28
4
二、精讲精析
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
5
问： 1、如何用向量来表示直线的位置关系？
2、直线的方向向量定义：
3、两条直线所成的角
与
两直线方向向量所成的角 a, b 的关系
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练习1、设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
根据下列条件判断直线 l , m 所成的角
1)a (2, 3, 1), b (6, 9, 3)
00
2)a (5, 0, 2), b (0, 4, 0) 900
cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a b a b x1x2 y1y2 z1z2 0;
a // b x1 x2, y1 y2, z1 z2( R)