判定一类函数极值点的简单方法

第38卷 第4期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 38 No.4 2018年 4月 Journal of Science of Teachers′College and University Apr. 2018

文章编号：1007-9831（2018）04-0010-03

判定一类函数极值点的简单方法

黄伟

（太原城市职业技术学院 信息工程系，山西 太原 030027）

摘要：对于一阶导数可分解为()1

i i

q m

p i i k x a =-Õ类型的函数，给出了判断函数极值点的简单方法．给

出判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单方法，并给出相关例题加以说明． 关键词：函数；极值点；极大值点；极小值点

中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.04.004

The simple method for determining the extreme point of a type of function

HUANG Wei

（Department of Information Technology，Taiyuan City Vocational College，Taiyuan 030027，China）

Abstract：For a type of function which first derivative can be decomposed into ()1

i i

q m

p i i k x a =-Õ，ａsimple method of

determining the extreme point of a type of function is given．A simple method to determine the relative maximum point and relative minimum point of the type of function is given，and gives some related examples to illustrate. Key words：function；extreme point；relative maximum point；relative minimum

一般地，要求函数的极值点，首先要求出函数的一阶导数，得出可能的极值点，再利用极值点的充分

条件，逐一对这些可能的极值点进行判断，当这些可能的极值点较多时，判断起来较为繁琐．此外，在判定极大值点或极小值点时，无论利用极值第一充分条件还是第二充分条件，判定起来都不够方便．本文对一阶导数可分解为()1i i

q m

p i i k x a =-Õ类型的函数的极值点判断提供了一种简单便捷的方法，同时在确定极值点

的条件下，给出了判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单的规律性方法，并举例加以说明．

定理1 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为()1

()i

i

q m

p i i f x k x a =¢=-Õ的形式，即

()

()

()()

121

2

12()i m i m

q q q q p p p p i m f x k x a x a x a x a ¢=----L L （1）

其中：12, , , m a a a L 为互不相等的实数；k 为常数；1

1, , m m

q q p p L 均为最简分数，那么 （1）i p 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点；

（2）i p 为奇数，i q 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点；

（3）i p 为奇数，i q 为奇数时，i x a =一定是()f x 的极值点． 证明 不妨假设12m a a a <<

收稿日期：2018-01-10

作者简介：黄伟（1976-），男，山西太原人，讲师，硕士，从事概率统计研究．E-mail：3023669@

第4期 黄伟：判定一类函数极值点的简单方法 11

（1）i p 为偶数时，按照定义域要求，i x a ³，即x 在点i a 的左邻域均无定义，所以i x a =不是极值点． （2）i p 为奇数，i q 为偶数时，()f x ¢的所有因式在点i a 的左邻域[], i i a a d -和点i a 的右邻域[], i i a a d +符号均相同，即()f x ¢在点i a 的左右邻域内符号完全相同，因此()f x 在点i a 的左右邻域内有相同的单调性，所以i x a =不是()f x 极值点．

（3）i p 为奇数，i q 为奇数时，()f x ¢在点i a 的左邻域[], i i a a d -和i a 右邻域[], i i a a d +除第i 项因式符号相反，其余所有项的符号均相同，即()f x ¢在点i a 的左右邻域内符号相反，因此()f x 在点i a 的左右邻域内单调性不同，所以i x a =是()f x 极值点． 证毕． 定理2 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为

()

()

()

()

()

11

21

1

2

121()t t m t

t m

q q q q q p p p p p t t m f x k x a x a x a x a x a +++¢=-----L L （2）

其中：12, , , m a a a L 为互不相等的实数；, (1)r r p q r t ££均为奇数；, ()l l p q l t >至少有一个为偶数；k 为

常数；11, , m m q q

p p L 均为最简分数．设12t a a a <<

（1）t 为奇数时，若0k >，函数()f x 在i x a =处取得极小值，在j x a =处取得极大值；若0k <，函数()f x 在i x a =处取得极大值，在j x a =处取得极小值．

（2）t 为偶数时，若0k >，函数()f x 在i x a =处取得极大值，在j x a =处取得极小值；若0k <，函数()f x 在i x a =处取得极小值，在j x a =处取得极大值．

证明 由于()

()()()()

1121

1

2

121()t t m t

t m

q q q q q p p p p p t t m f x k x a x a x a x a x a +++¢=-----L L ，, (1)r r p q r t ££均为奇数，

, ()l l p q l t >至少有１个为偶数，故由定理1可知，12, , , t a a a L 是()f x 的极值点，1, , t m a a +L 为非极值点．

证明()f x ¢分解后的第1t +至m 个因式均为非负，即()

0l

l

q p l x a -³(1, 2)l t t m =++L ．由于, ()

l l p q l t >至少有１个为偶数，可以分2种情况进行讨论：当l p 为偶数时，按照定义域要求，l x a ³，则()

0l

l

q p l x a -³；

当l p 为奇数，l q 为偶数时，显然()0l

l

q p l x a -³．综上所述，()f x ¢分解后的第1t +至第m 个因式均非负． （1）当t 为奇数，0k >时，在点i a 的左邻域内，1i i a x a -<<，()f x ¢前1i -个因式均为正，第i 至第t 个因式为负，即()f x ¢有1t i -+个因式为负项，其余为正项．由于t 和i 均为奇数，所以1t i -+为奇数，因此()f x ¢在点i a 的左邻域内符号为负．

在点i a 的右邻域内，1i i a x a +<<，()f x ¢前i 个因式均为正，第1i +至第t 个因式为负，()f x ¢有t i -个因式为负项，其余为正项．由于t 和i 为奇数，所以t i -为偶数，因此()f x ¢在点i a 的右邻域内符号为正． 综上可知，在点i a 的邻域内，i x a <时，()0f x ¢<；i x a >时，()0f x ¢>，由极值第一充分条件可知，函数()f x 在i x a =处取得极小值．

同理可证，函数()f x 在j x a =处取得极大值．

若0k <，()f x ¢的正负符号与0k >时完全相反，即在点i a 的邻域内，i x a <时，()0f x ¢>；i x a >时，()0f x ¢<，函数()f x 在i x a =处取得极大值．

同理可证，函数()f x 在j x a =处取得极小值．

（2）t 为偶数时的证明类似于t 为奇数时的证明． 证毕． 由定理2，可以总结出规律：判定导数可分解为()1i i

q m

p i i k x a =-Õ类型的函数的极值，可根据定理1确定

出所有极值点，并将求出的极值点按从小到大顺序排列，根据极值点的数量和k 的正负可确定极值点的类型．0k >时，若极值点的个数为奇数个，排序为奇数位次的极值点一定为极小值点，排序为偶数位次的极值点为极大值点；若极值点的个数为偶数个，排序为偶数位次的极值点一定为极小值点，排序为奇数位次的极值点为极大值点．0k <时，则恰好相反．

推论 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为式（2），, (1)r r p q r t ££均为奇数，, ()

l l p q l t >