线性代数N维向量空间基与维数
线性代数N维向量空间第4节基与维数
03 不同的基可以用来表示同一个向量空间，但基的 个数是唯一的。
04
基与维数的应用
在线性变换中的应用
01
线性变换
基与维数在研究线性变换中具有重要作用。线性变换是向量空间中的一
种保持线性关系的变换，其可以通过基底表示。通过确定基底，可以确
维数定理
对于任何向量空间，其维数等于其基中向量的个数。
下节预告
向量空间的子空间
介绍如何定义和识别一个向量空 间的子空间，以及子空间的性质 和特点。
子空间的维数
探讨如何计算子空间的维数，以 及子空间维数与原向量空间维数 的关系。
向量空间的线性变换
介绍线性变换的概念、性质和分 类，以及线性变换在向量空间中 的重要作用。
线性代数n维向量空间第4节基与维数
目录 Contents
• 引言 • 向量空间与基的定义 • 维数的概念 • 基与维数的应用 • 总结与回顾
01
引言
主题概述
本节将介绍向量空间中的基与维数概 念，这是线性代数中重要的基础概念 之一。
通过学习本节，学生将理解向量空间 中基的作用，掌握维数的计算方法， 并能够在实际问题中应用这些概念。
逆矩阵与伴随矩阵
逆矩阵和伴随矩阵也是矩阵理论中的重要概念，它们的计 算也涉及到基与维数。逆矩阵是线性变换的逆过程，而伴 随矩阵则代表了线性变换的另一种形式。
在几何学中的应用
向量空间
基与维数可以用来描述向量空间的结构和性质。向量空间中的每一个元素都可以由基底线性表示，而维数则代表 了向量空间中独立元素的个数。
仿射变换
仿射变换是几何学中的一种重要概念，它可以由线性变换表示。通过确定仿射变换的基底和维数，可以研究其性 质和特征，进而应用于几何学中的各种问题。
第二章3基与维数
1
例：设
1
1
,
0
2
2
1
,
3
3
3
1
,
2
5
0 7
,
验证1,2 ,3 是R3的基，并求向量 在基1,2 ,3
下的坐标。
3
2.3.2、 坐标变换公式
设V是n维线性空间.给了V的两组基
B (v1,…,vn )和B' (v1 ',…,vn ')
则有
p1 j
v
j
'
v1
p1
j
1
0
0
1'= 1，2'=
1
，
，
n
'=
0
1
1
1
构成Rn的另一组基B' (1 ',2 ', ,n ').
5ห้องสมุดไป่ตู้
从E到B的过渡矩阵为
1 0
0
1 1
0
1 1
1
6
命题:设矩阵P是基B到B’的过渡矩阵，则P可逆.
证明:P是基B到B’的过渡矩阵，故B’=BP. 又B’也是线性空间V的基，故有基B’到基B的过 渡矩阵Q，满足B=B’Q. 于是B=B’Q=BPQ.即
1
,
1 ;
0 0 1
都是向量空间R3的基。
1 1 1
2
,
1
,
0
;
3 0 1
2
定义：设V是Rn 中的r 维子空间，1,2 , ,r 是V 的一个基，对任意的 V , 有
x1 1 x2 2 xr r
称 x1, x2 , , xr T 是向量 在基 1,2, ,r 下的坐标。
线性代数4-7章
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续5)
定理2 设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量. 则 α1，α2，…，αs线性无关 证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 两边与 αi 作内积,得： ki(αi，αi)=0, ∴ki=0, i=1,2,...,s.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续7) Schmidt正交化方法
设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.
1.正交化：
取
1 1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
a1 b1 a2 b2 的内积 定义：n维向量 , a b n n
( , ) a1b1 a2b2 anbn T T
2.( , ) ( , ) ( , );
(i ,i ) 0
∴ α1， α2，…，αs线性无关.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续6)
定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一 组基,且两两正交,则称 α1，α2，…，αs为V的一组正交基. 若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称 α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.
1
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续4) 定理1 | ( , ) ||| || || || .
当α， β均非零向量时，定义α与 β的夹角：
( , ) , arccos || || || ||
(α, β)=0时，称α与 β正交.
线性代数§6.2线性空间的维数、基与坐标
0 0
10,
E 21
0 1
00,
E 22
0 0
10,
设
k1E11
+
k2E12
+
k3E21
+
k4E22
=O
0 0
0 0
,
而
k1E11 +
k2E12 + k3E21 +
k4E22 =
k1 k3
k k
2 4
,
因此, 有
k1=k2=k3=k4=0.
p(x) =(a0, a1, a2, a3, a4)T.
若取另一个基: q0=1, q1=1+x, q2=2x2, q3=x3, q4=x4,
则
p( x)
(a0
a1 )q0
a1q1
1 2 a2q2
a3q3
a4q4 .
因此, p(x)在这个基下的坐标为
p( x)
(a0
a1 ,
a1 ,
间V的维数.
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向
量时, 就称V是无限维的.
若1, 2, ···, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:
Vn = { = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
生成的子空间的基与维数.
思考题解答
f2(x) = 2x3–3x2+9x–1, f4(x) = 2x3–5x2+7x+5
线性代数与空间解析几何01-第34节 向量空间的基、维数与向量的坐标_34
T
T
,
n
中任一向量都可由这个向量组ε1,ε2 ,,εn线性表
示,
所以
ε ,ε 12
, ,εn是Rn的一个基,
dim
Rn
n.
而向量空间
V1
x
0,
x 2
, ,
x n
T
|
x2
, ,
xn
∈R
的维数是n-1, dimV1 n 1.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标 1. 向量空间的基与维数概念 说明（:1）规定零空间的维数是0.
（2）若把向量空间V看作向量组, 那末V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是 向量组的秩.
（3）由 1,2,,m所生成的向量空间
V x 1122mm|1,,mR
与向量组1,2,,m等价, 向量组1,2,,m
的极大无关组是V的一个基, 其秩就是V的维数.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
称向量组 1,2, ,r是向量空间 V 的一个基， 数r
称为向量空间V的维数, 记为dimV ，并称V为
r 维向量空间.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
1. 向量空间的基与维数概念
ε2
(例0,1如,, ,R0)n中,的,基ε 本 (单0,位0,向,1量) 组线性ε1 无(1关,0,,且,0R)nT
但这两个坐标向量有着必然联系.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
3. 基变换公式和过渡矩阵
设1,2, ,n及1,2, ,n为 n维向量
空间 Rn 的两个基，并且
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
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线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
维数和基的个数的关系
维数和基的个数的关系
维数和基的个数是线性代数中的重要概念。
在n维向量空间V 中，如果存在一组线性无关的向量{v1,v2,……,vn}，那么就称为V 的一组基，基的个数记作dim(V)。
同时，如果存在一组向量
{v1,v2,……,vm}，能够生成V，即V中的任何向量都能够表示成它们的线性组合，那么就称为V的一个生成组，生成组中向量的最大个数记作rank(V)。
显然，rank(V) ≤ dim(V)。
维数和基的个数之间的关系可以由一个简单的定理描述：任何有限维向量空间V中的每个基含有相同数量的向量。
这个定理告诉我们，无论选择哪个基，它们的个数都是相同的。
这个定理也可以用来证明另外一个重要的结论：任何有限维向量空间V的任意两个基中，都存在一种线性变换把一个基变换成另一个基。
这个结论被称为基变换定理。
总之，维数和基的个数是线性代数中不可分割的重要概念，它们之间有着紧密的联系和相互依存的关系，对于研究线性代数的各种理论和应用都具有重要意义。
- 1 -。
线性代数基和维数
定义4.5.1 R n 的非零子空间H的线性无关生成 集称为H的基（basis）.
n R 例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成 的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2 ,...,n , 其列向量组线性无 关. 对 R n 中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2 ,...,n , 线性相关. 由例4.2.7知， 可由1 ,2 ,...,n 线性表出， 1 ,2 是 ,...,n 的基 Rn . 因此
证明：证明方法类似于上例中的讨论. 令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除. 这样，A的主元列构成了ColA的基.
如果 能用两种方式表成1,2 ,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p ,
l11 l22 ... l p p .
两式相减，有
0 (k1 l1 )1 (k2 l2 )2 ... (k p l p ) p .
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变 量的个数. ColA的维数是A的主元列的数目.
n R 定理4.5.6 若H是 的子空间，dim H p. 则
（1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一 组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这 p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的. 定理4.5.8 若 1 , 2 ,..., p 是子空间H的基，则H 中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1 ,2 ,..., p 的线性组合. 证明：因为 1 , 2 ,..., p 是H的生成集，H中任 一向量 必可表为 1,2 ,..., p 的线性组合.
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。
线性代数基和维数
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2
线性代数5.3 向量空间的基与维数
非齐次线性方程组的通解= 齐次线性方程组的通解 + 非齐次线性方程组的特解
注 非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的 倍数一般不再是该非齐次线性方程组的解.
思考题
（该例子可有助于对齐次和非齐次线性方程组解的结构的理解）
例子： 设A是m 3矩阵,且RA 1.如果非齐次线性
方程组Ax b的三个解向量1 ,2 ,3满足
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 若 1,a2, ,an T V2,
则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
所以V2不是向量空间.
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
例6 设矩阵
2 2 1
1 4
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 , B (b1 ,b2 ) 0 3,
1 2 2
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
2 2 1 1 4
2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作Rn.
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn T x2 , , xn R
证明 A A A 0 b b,
所以x 是方程 Ax b的解.
证毕．
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x k11 knrnr .
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定性质的数学结构，它由一组向量组成，并满足一些线性运算规则。
在向量空间中，我们经常讨论两个重要的概念，即基和维数。
一、基的定义和性质向量空间的基是指一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量。
具体而言，设V是一个向量空间，S={v1,v2,...,vn}为V 中的向量组，如果满足以下两个条件：1. 向量组S中的向量线性无关；2. 向量空间V中的每一个向量都可以由向量组S线性表示，则称S 为向量空间V的基。
基的性质包括：1. 基的向量个数是确定的。
如果两个基包含的向量个数不同，那么它们所在的向量空间也是不同的。
2. 基的向量组中的向量个数是向量空间的维数。
二、维数的定义和性质在向量空间中，维数是指该向量空间的基中所含向量的个数。
通常用符号dim(V)表示，其中V是一个向量空间。
维数的性质包括：1. 如果V是一个向量空间，那么V的两个基所含向量的个数相同。
也就是说，向量空间的维数是唯一确定的。
2. 一个向量空间的维数是非负整数。
3. 如果向量空间的维数是有限的，则称该向量空间为有限维向量空间。
否则，称该向量空间为无限维向量空间。
三、例子和应用1. 二维平面上的向量空间R^2，其基可以选择为{(1,0),(0,1)}，其中(1,0)和(0,1)分别是R^2的两个标准单位向量。
因此，R^2的维数为2。
2. 三维空间中的向量空间R^3，其基可以选择为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，其中(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别是R^3的三个标准单位向量。
因此，R^3的维数为3。
基和维数的概念不仅在线性代数中有着重要的应用，也在其他数学领域和物理学、工程学等各个领域得到广泛应用。
它们帮助我们更好地理解和描述向量空间的结构和性质，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
总结起来，向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量；维数是该向量空间基所含向量的个数。
线代空间中基的定义
线代空间中基的定义
在线性代数中，我们将空间定义为一个由向量组成的集合。
而在空间中，基则
是一组线性无关的向量，它可以使整个空间中的任意向量都能够被线性组合表示出来。
具体来说，在一个n维的线性空间中，基是由n个线性无关的向量所组成的。
这个基是唯一的，因为任意两个不同的基之间都不可能线性无关。
基的定义具有以下几个重要特点：
1. 线性无关性：即基中的向量之间不能通过线性组合相等于零向量，也就是说，基中的向量不能通过线性组合生成其他基向量。
2. 生成性：基中的向量可以通过线性组合表示出空间中的任意向量。
3. 维数：基的维数等于线性空间的维数。
例如，二维空间中的基有两个向量，
三维空间中的基有三个向量。
基的存在性和唯一性可以通过基本定理证明。
基本定理指出，对于任意一个n
维线性空间，存在一个由n个线性无关的向量组成的基，并且任意n个线性无关的向量都可以作为这个空间的基。
这保证了基的存在和唯一性。
基在线性代数中具有重要的作用，它可以用来描述向量空间的维度、计算向量
的坐标、以及求解线性方程组等问题。
线性代数的很多概念和定理都与基密切相关，因此理解基的定义和性质对于理解线性代数及其应用是至关重要的。
总而言之，线性代数中的基是一组线性无关的向量，它能够表示整个空间中的
任意向量，并且具有唯一性和维数的特点。
基的定义对于理解线性代数的基本概念和定理是至关重要的。
n维线性空间的基与向量的坐标
621
线性代数讲稿
α = x1α 1 + x 2 α 2 + L + x n α n = [α 1
α2
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ L αn ] ⎢ 2 ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦
成立，则称这组有序数 x1，x2，……，xn 为元素α 在基α1 ，α2 ，……，αn 下的坐 标，记作(x1，x2，……，xn )T，称为坐标向量．
⎡1 2⎤ 2.例子：V = R2×2 中的元素 α = ⎢ ⎥ ，则 ⎣3 4⎦ ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ + 2⎢ + 3⎢ + 4⎢ α=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = [E 1 ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎡1 ⎤ ⎢ 2⎥ E4 ] ⎢ ⎥ ， ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4⎦
讨论所成矩阵的秩： A = [X 1
⎡1 ⎢1 X3]= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1
X2
1 − 1⎤ ⎡1 ⎢0 ⎥ 0 0⎥ →⎢ ⎢0 1 2⎥ ⎢ ⎥ 0 3⎦ ⎣0
0 0⎤ ⎡1 ⎥ ⎢0 1 − 1⎥ →⎢ ⎢0 1 2⎥ ⎥ ⎢ 0 3⎦ ⎣0
0 0⎤ 1 − 1⎥ ⎥ ， 0 3⎥ ⎥ 0 0⎦
即 R( A ) = 3，所以 X1 , X2 , X3 线性无关，从而α1 , α 2 , α 3 也线性无关． 四、基变换与坐标变换 1.同一线性空间中，两个（实为两套）基之间的变换矩阵称为过渡矩阵—— 设线性空间 V 中，有两个基α i 与β i ，i = 1, 2, ……, n ； 其关系写成矩阵式：
线性代数讲稿
§6.2 n 维线性空间的基与向量的坐标
一、线性空间的基与维数[P.185] 若在线性空间 V 中存在 n 个线性无关的向量α1 ，α2 ，……，αn 使得 V 中的任 何元素α 都可由它们表出，则称 α1 ，α2 ，……，αn 为 V 的一个基，基所含向量的 个数 n 称为线性空间 V 中的维数，记为 dimV，并称 V 为 n 维线性空间． 1.简单的例子 ① 二维线性空间 R2（平面），常用基向量 i = ( 1, 0 )，j = ( 0, 1 ) ． ② 三维线性空间 R3，常用基向量 i = ( 1, 0, 0 )，j = ( 0, 1, 0 ) ，k = ( 0, 0, 1 ) ． ③ n 维线性空间 Rn，常用基向量 e1 = ( 1, 0, …, 0 )，j = ( 0, 1, …, 0 ) ，……，k = ( 0, 0, …, 1 ) ． 2.抽象的例子 ① V 的元素是二阶方阵 A = ( a i j )2×2 ，方阵的元素 a i j 是实数 R ；F 为实数 ⎡0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡1 0⎤ 域 R ．可用基 E1 = ⎢ ， E2 = ⎢ ， E3 = ⎢ ， E4 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ； ⎣0 0 ⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ 可知为 4 维线性空间；记 R2×2 ． ② V 的元素是所有实系数多项式，F 为 R ．可用基 1，x，x2，……，xn，……； 为无限维线性空间． 3.有关定理 ① 子空间的维数 dimW ≤ 母空间的维数 dimV ． ② 向量组 α1 ，α2 ，……，αn 的生成子空间的维数等于该向量组的秩． dimL( α1 ，α2 ，……，αn ) = R{ α1 ，α2 ，……，αn } ． ③ V 中向量组 α1 ，α2 ，……，αn 可以作为基的充分必要条件，是 V = L( α1 ，α2 ，……，αn ) ． 二、向量在基下的坐标 1.定义[P.188]：设 α1 ，α2 ，……，αn 为 n 维线性空间 V 的一个基，若取 α ∈V，总有且仅有一组有序数 x1，x2，……，xn 使得
线性代数 第五章 向量空间
称为n元向量空间。
,an P
向量空间---基和维数
向量空间V中若向量组 1 ,2 , ,k 为极大
向 线性无关组，则称其为向量空间V的一组基
量 维数：基中所含向量的个数，dimV k.
空 Pn 的基和维数：由n个n元向量组成的极大
间
线性无关组。故基不唯一。
1,2, ,n , i 0,0, ,1, ,0T
m2 n 2
mn1n , mn2n ,
m11
M=
m21
mnnn .
mn1
m12 m22
mn2
m1n
m2
n
mnn
1 2
n 1 2
n M
M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）
向量空间---过渡矩阵
(I ) 1,2, ,n; (II) 1, 2, , n 是 Pn
间
Байду номын сангаас
k31 3 , 1 / 1, 1 ; k32 3 , 2 / 2 , 2 ;
3 3
3 , 2 2 , 2
2
3, 1 1, 1
1.
向量空间---作业
向 P139 6 量 P142 3(1), 3(2) 空 P147 6,7
, , , ;
, 0, 且 , 0 O.
, , 是 Rn 中任意向量，k为任意实数。
向量空间---内积和标准正交基
向量的长度：|| || ,
向
单位向量： || || 1
向 的两组基，向量 在基(I)、(II)的坐标分
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数, 即：在线性空间V 中，如果有n 个向量1,,n满足:(1) 1, 2 , n 线性无关。
(2) V 中任一向量总可以由 1 , 2, , n 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n ，并称1, 2,, n 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例 1 设V X AX的维数和一组基。
0 ，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V解设矩阵 A 的秩为r ，则齐次线性方程组维数为n r 。
AX 0 的任一基础解系都是V 的基，且V 的例 2 数域P 上全体形如0 a的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成a b的线性空间，求此空间的维数和一组基。
0 1 0 0 0 a解易证,1 0 0 1 为线性空间V｜a,b pa b的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0 a 0 a有0 1 0 0a +ba b a b 1 0 0 1按定义0 1 0 0,1 0 0 1为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例 3 假定R xn是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1, x 1 , x21 ,L , x n 11 构成R xn的基。
证明考察k1 1k2x 1 L n 1knx 1 0由x n 1 的系数为0 得k0 ，并代入上式可得x n 2 的系数kn 1依此类推便有kn k n 1 L k1 0 ，nnn故1, x 1 ,L , x n 11线性无关又 R x 的维数为 n , 于是 1, x 1 ,L , x n 11 为 R x 的基。
方法三 利用定理：数域 p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。
⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。
那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的 维数为n -r 。
[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。
方法二 在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线 性空间的基。
例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间， 证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。
n证明 考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。
元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。
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§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量空间.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
二. 向量空间的基(basis)与维数(dimension)
1, 2, …, r ——V的一组基:
① 1, 2, …, r线性无关, ② V都能由1, 2, …, r线性表示.
r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V).
n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dim{Rn} = n;
关于数乘: (5) 1· =; (6) k(l) = (kl);
(7) (k+l) = k +l;
(8) k(+) = k +k.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭(closed), 即
, V, kR, 有+V, kV,
closure conditions
{k1, k2, …, kr}T —— 在1, 2, …, r 这组
基下的坐标(coordinate).
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
四. 基变换与坐标变换
设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的两组基,
则存在rr矩阵P使
(1, 2, …, r) = (1, 2, …, r)P.
(1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
(2) V = {(x, y, z) | x, y, z R, x+yz = 0};
(3) ARmn, bRm, b0,
KA = {Rn | A = 0}; SB = {Rn | A = b}.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
称P为从基1, 2, …, r到1, 2, …, r的过
渡矩阵(transition matrix).
由r = r(1, 2, …, r) r(P) r可得r(P) = r.
故|P| 0, 即P可逆.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.8. 设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的 两组基, V 在这两组基下的坐标
(4) 1, 2, …, sRn,
s
L(1, 2, …, s) = { kii | 诸kiR}.
i=1
——由1, 2, …, s生成的向量空间 (generated/spanned by 1, …)或 {1, 2, …, s}的线性包(linear closure).
1, 2, …, s——生成元(generator).
第四章 n维列向量空间
§4.4 向量空间
§4.4 向量空间
一. 向量空间(vector space)的概念 1. n维实(列)向量的全体
Rn = {(x1, x2, …, xn)T | x1, x2, …, xnR} 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:
关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) 0; (4)
零空间没有基, 规定dim{0} = 0.
例2. 求例1中的各向量空间的基与维数.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.7. 1, 2, …, s的极大无关组是 L(1, 2, …, s)的基
dimL(1, …, s) = r(1, …, s).
特别地, A = (A1, A2, …, As),