两角和与差的三角函数的经典证明(几何法)
第讲两角和差的三角函数公式及应用
第讲两角和差的三角函数公式及应用三角函数是数学中的重要概念，它们在几何图形的计算以及物理、工程等学科中的应用非常广泛。
在三角函数的研究中，两角和差的公式是十分重要的一部分。
本文将讲解两角和差的三角函数公式及其应用。
一、两角和差的三角函数公式1. 两角和的公式设角A和角B为任意两个角，根据三角函数的定义，可以得到以下两角和的公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2. 两角差的公式同样地，设角A和角B为任意两个角，根据三角函数的定义，可以得到以下两角差的公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式是通过对角A + B和角A - B进行展开，并利用三角函数的基本性质得到的。
掌握了这些公式，我们可以对任意两个角的和与差进行计算。
二、两角和差的三角函数公式的应用两角和差的公式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个具体的应用案例。
1. 证明等式通过两角和差的公式，我们可以证明一些三角函数的等式。
例如，我们来证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个等式。
证明：根据两角和的公式，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB 成立。
这样，我们通过两角和差的公式成功地证明了sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个等式。
2. 计算实际问题两角和差的公式在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在直角三角形中，我们可以利用两角和差的公式求解各种角度下的三角函数值，从而进行各种计算。
假设在一个直角三角形中，已知一个角度的正弦值和余弦值，我们要求解这个角度。
和角公式和差角公式推导过程
和角公式和差角公式推导过程和差角公式是三角函数中一个重要的推导公式，可以用来计算两个角度之间的和差的三角函数值。
下面是和差角公式的详细推导过程。
假设有两个角度θ和ϕ，我们需要计算它们的和差的三角函数值。
首先，我们可以利用三角函数的定义将θ和ϕ表示为对应直角三角形中的边长比值。
1.定义辅助角：令α为和角θ+ϕ的辅助角，即α=θ+ϕ。
2.三角函数的定义：根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin θ = 对边/斜边sin α = 对边/斜边对于和角θ+ϕ的辅助角α：对边=对边1+对边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：sin α = (对边1 + 对边2)/斜边1 = (sin θ + sin ϕ)/1 = sin θ + sin ϕ3.代换：我们可以将sin θ和sin ϕ用cos函数进行代换。
利用余弦函数的定义：cos θ = 邻边/斜边cos α = 邻边/斜边邻边=邻边1+邻边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：cos α = (邻边1 + 邻边2)/斜边1 = (cos θ + cos ϕ)/1 = cos θ + cos ϕ4.综合运用：利用三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可以得到：(sin θ + sin ϕ)² + (cos θ + cos ϕ)² = 1展开得：sin²θ + 2sin θsin ϕ+ sin²ϕ+ cos²θ + 2cos θcos ϕ +cos²ϕ = 1利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1和sin²ϕ+ cos²ϕ = 1，可以简化上式为：2sin θsin ϕ+ 2cos θcos ϕ = 0利用三角函数的乘积公式sinαsinβ = (1/2)(cos(α-β) -cos(α+β))，可以将上式继续简化为：cos(θ - ϕ) = cosϕcosθ + sinϕsinθ这就是和差角公式的推导过程。
两角和差正余弦公式的证明.docx
两角和差正余弦公式的证明.docx两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学屮很重要的一组公式。
下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。
由角°,声的三角函数值表示°?"的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。
换言Z ,要推导两角和差的止余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将gaS或与％〃的三角函数联系起來。
根据诱导公式，山角°的三角函数可以得到Y的三角函数。
因此，由和角公式容易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。
乂因为,即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，町以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。
因此，只要解决这纽公式屮的一个，其余的公式将很容易得到。
（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式注意到单位圆比较容易表示戸和，而且角的终边与单位鬪的交点坐标可以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆來构造联系8＜在*妙与〃的三角函数值的等式。
1.和角余弦公式（方法1）如图所示，在直角坐标系町中作单位圆O,并作角"和使角a的始边为血，交11°于点A,终边交于点B；角用始边为＜?,终边交11°于点C：角—庐始边为血，终边交13°于点。
从而点A,B,C和D的坐标分别为, , , °由两点间距离公式得▲C2 =8(^S-功2十*(^5 =2-2co<="" p="">9注意到JCM因此*?79 = 口?0口?〃_鼻血—/>。
注记：这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。
注意，公式中的0和"为任意角。
2.弟用余弦公式仍然在单位圆的框架下，用平而内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。
这就是(方法2)如图所示，在坐标系勿中作单位圆°,并作角a和A使角a 和P 的始边均为 g交口°于点c,角a终边交口°于点A,角戸终边交口°于点。
两角和差正余弦公式的证明精编版
两角和差正余弦公式的证明精编版两角和差公式的证明：首先，我们要证明两个三角函数的和的正弦公式。
设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，先考虑将角A和角B相加后的正弦值sin(A+B)。
根据单位圆上的定义，角A对应的点为(0,1)，角B对应的点为(1,0)。
当角A和角B相加后，对应的点为(1,1)。
连接原点O与点P(1,1)，可以得到一个等腰直角三角形，且角A和角B分别为直角三角形的两个锐角。
根据三角形的正弦定义，sinA = OP/OP = 1/√2，sinB = OP/OB =1/√2，sin(A+B) = OP/OP = 1/√2由此可以得到两角和的正弦公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB同理，我们可以证明两角和的余弦公式。
设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，先考虑将角A和角B相加后的余弦值cos(A+B)。
根据单位圆上的定义，角A对应的点为(1,0)，角B对应的点为(0,1)。
当角A和角B相加后，对应的点为(1,1)。
连接原点O与点P(1,1)，可以得到一个等腰直角三角形，且角A和角B分别为直角三角形的两个锐角。
根据三角形的余弦定义，cosA = AO/OP = 1/√2，cosB = BO/OP =1/√2，cos(A+B) = AO/OP = 1/√2由此可以得到两角和的余弦公式：cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB以上即为两角和的正弦和余弦公式的证明。
接下来，我们要证明两角差的正弦和余弦公式。
设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，先考虑将角A和角B相减后的正弦值sin(A-B)。
根据单位圆上的定义，角A对应的点为(0,1)，角B对应的点为(1,0)。
当角A和角B相减后，对应的点为(-1,1)。
连接原点O与点P(-1,1)，可以得到一个等腰直角三角形，且角A和角B分别为直角三角形的两个锐角。
根据三角形的正弦定义，sinA = OP/OP = 1/√2，sinB = OP/OB =1/√2，sin(A-B) = OP/OP = 1/√2由此可以得到两角差的正弦公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB同理，我们可以证明两角差的余弦公式。
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程首先，我们假设有两个角α和β，它们的和为α+β，差为α-β。
我们将利用这两个和与差来推导公式。
1.两角和的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ，我们可以将α+β的正弦表示为两个正弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的正弦再次表示为两个正弦的和的形式。
即，sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)。
这样，我们可以得到：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcos(-β) +cosαsin(-β)。
2.两角和的余弦公式的推导：首先，根据三角恒等式cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，我们可以将α+β的余弦表示为两个余弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的余弦再次表示为两个余弦的和的形式。
即，cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)。
这样，我们可以得到：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcos(-β) -sinαsin(-β)。
3.两角差的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β)，我们可以将α-β的正弦表示为两个正弦的差的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α-(-β)的正弦再次表示为两个正弦的差的形式。
即，sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差的三角函数
§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
两角和差公式的证明
两角和差公式的证明两角和差公式，这可是三角函数里的重要家伙！咱先来说说两角和的余弦公式：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
咱们从一个简单的例子入手哈。
假设你在一个大操场上，你和你的小伙伴分别从不同的方向往一个中心点跑。
你跑的方向和水平方向形成的夹角是α，你的小伙伴跑的方向和水平方向形成的夹角是β。
咱们把你们跑的速度看作是对应的三角函数值。
那如果要算你们俩合起来的速度在水平方向上的分量，就得用到两角和的余弦公式啦。
就好像你跑的速度在水平方向的分量是cosα，你小伙伴跑的速度在水平方向的分量是cosβ，但是因为你们方向不同，还有相互抵消的部分，这相互抵消的就是sinαsinβ。
再来说说两角差的余弦公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
咱们还是用刚刚在操场上跑步的例子。
这次不是一起跑向中心点，而是你从中心点往一个方向跑，形成夹角α，你的小伙伴从中心点往另一个方向跑，形成夹角β。
这时候算你们俩速度在水平方向的合成分量，就用到两角差的余弦公式啦。
接下来咱们看看两角和的正弦公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
比如说，你站在一个斜坡上，斜坡和地面的夹角是α，你手里拿着一个水枪，往和斜坡垂直的方向喷水，水流和地面的夹角是β。
这时候，水流的速度分解就可以用到这个公式。
最后是两角差的正弦公式：sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ。
还是刚刚那个斜坡和水枪的例子，只不过这次你和小伙伴水枪喷水的方向不一样，一个是α，一个是β，算它们的差就用到这个公式。
在实际解题的时候，这几个公式可好用啦。
比如说，给你一个三角形，告诉你两个角的大小，让你求第三个角的某个三角函数值。
这时候，你就可以把第三个角表示成两个已知角的和或者差，然后用两角和差公式来计算。
我还记得有一次，我给学生们讲这部分内容，有个学生特别迷糊，怎么都理解不了。
015两角和与差的三角函数及二倍角公式
页眉内容两角和与差的三角函数及二倍角公式、三角恒等式证明1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π 5.二倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .6．公式的变用：1＋cos2α＝ ；1－cos2α＝ ．7．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．8．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．9．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．基础过关10．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．11．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．12．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．13．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．14．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21B.21 C.－23 D.23 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．典型例题变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π; (2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222.1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。
两角和差的正余弦公式的若干证明方法
两角和差的正余弦公式的若干证明方法两个角的和与差的正余弦公式是整个三角形恒定变形的基础，由这些公式推导出其他的恒定变形公式。
因此，如何证明第一个公式是一个非常重要的问题。
这里我们整理几种常见证明方法。
1. 几何方法几何法的优点是和初中的锐角三角函数内容关系密切，缺点是只对锐角成立(甚至两个角之和都是锐角)，不容易普及。
1.1. 矩形如图1，由矩形的对边相等可得\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin \beta \\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{aligned} \\1.2. 面积法在 \triangle ABC 中，AD \perp BC 于 D， \angle BAD = \alpha，\angle CAD = \beta，如图2，有S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} \\即\frac12 AB\cdot AC\sin(\alpha+\beta) = \frac12 AB\cdot AD\sin\alpha+\frac12 AC\cdot AD\sin\beta \\于是\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\frac{AD}{AC}\cdot\sin\alpha+\frac {AD}{AB}\cdot\sin\beta \\[1ex] &=\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta \end{aligned} \\另外，同样的形式也可以直接从张角定理得到。
1.3. 正弦定理在上面的图2中，根据正弦定理，有\frac{\sin\angle BAC}{BC} = \frac{\sin B}{AC} =\frac{\sin C}{AB} \\即\begin{aligned} \frac{\sin(\alpha+\beta)}{BC} &=\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{AC} =\frac{\sin(90^\circ-\beta)}{AB} \\[1ex] &=\frac{\cos\alpha}{AC} = \frac{\cos\beta}{AB}\end{aligned} \\注意BC = BD + DC = AB\sin\alpha + AC\sin\beta \\又有\frac{\sin(\alpha+\beta)}{BC} =\frac{\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta}{AB\sin\ alpha + AC\sin\beta} \\于是有\sin(\alpha+\beta)=\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\ beta \\1.4. 托勒密定理在半径为 R 的圆的一个内接四边形 ABCD 中，\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ，如图3，根据托勒密定理，有AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD \\结合正弦定理可得2R\sin(90^\circ-\alpha)\cdot2R\sin\beta+2R\sin(90^\circ-\beta)\cdot2R\sin\alpha=2R\sin90^\circ\cdot2R\sin(\alp ha+\beta) \\化简得\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha=\sin(\alpha+\b eta) \\1.5. 弦图我们可以用弦图证明勾股定理。
两角和与差的三角函数
α
的三角函数关系是“奇变偶不变，符号看象限” 的三角函数关系是“奇变偶不变，符号看象限”
同角三角函数的基本关系式： 同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系 平方关系
2
sin α + cos α = 1
2 2
1 1 2 cos α = 1 + tan α = 2 2 cos α 1 + tan α 1 1 2 2 1+ cot α = 2 sin α = 2 sin α 1+ cot α
= 2 2(cos80° cos 20° + sin 80° sin 20°)
= 2 2 cos 60° = 1
1 1 例2、（1）已知sinα -sinβ =- ，cosα -cosβ = , 3 2 求cos(α -β )的值.
(2)变式：已知 sin α + sin β + sin γ = 0, cos α + cos β + cos γ = 0, 求 cos(α β )的值.
2
π
1 例4、（1）已知α , β ∈ (0, π ), 且 tan(α β ) = , 2 1 tan β = , 求2α β的值 7
tan 20° + tan 40° + tan120° （2） 的值. tan 20° tan 40° tan120°
课堂小结: 课堂小结
本节课我们主要回顾了两角和与差的正弦,余弦 正切公式 本节课我们主要回顾了两角和与差的正弦 余弦,正切公式 余弦 要求能够熟记公式,并且能够正用 逆用 变形用. 要求能够熟记公式 并且能够正用,逆用，变形用 并且能够正用 逆用，
π
公式的要求及用途
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基 两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基 本题型：求值题，化简题，证明题。 本题型：求值题，化简题，证明题。 （2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。 ）对公式会“正用” 变形使用” 逆用” （3）掌握“角的演变”规律，如 ）掌握“角的演变”规律，
三角函数两角和与差公式
三角函数两角和与差公式三角函数两角和与差公式_高中数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。
还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。
下面是小编为大家整理的三角函数两角和与差公式，希望能帮助到大家!三角函数两角和与差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高三数学学习方法1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。
“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。
选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。
2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。
要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。
3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。
只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至是不做。
4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。
所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。
一般，成绩居中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以补弱为主。
处理好扬长、补弱的关系，才是正确的做法。
高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(讲义)解析版
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式知识梳理两角和与差的三角函数βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
例题解析一、两角和与差的正余弦公式例1．（2019·上海市行知中学高一月考）已知sin sin cos cos ba αβαβ+=⎧⎨+=⎩.（1）求()cos αβ-；（2）若1,0b a ==，求()cos()cos αβαβ+-； （3）求()(),sin cos αβαβ++.【答案】（1）2211122a b +-；（2）12；（3）()222sin ab a b αβ+=+,()2222cos b a a bαβ-+=+ 【分析】（1）将sin sin a αβ+=和cos cos b αβ+=分别求平方后求和,即可求解；（2）整理方程组可得到sin 1sin cos cos αβαβ=-⎧⎨=-⎩,由22sin cos 1αα+=,可解得1sin 2β=,进一步求得222sin ,cos ,cos ααβ代入求解即可；（3）先利用二倍角公式,可得cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,再利用和差化积公式和二倍角公式求解即可【详解】（1）由题,()2222sin sin sin sin 2sin sin b αβαβαβ+=++=,()2222cos cos cos cos 2cos cos a αβαβαβ+=++=,则()()()()()222222sin sin cos cos sin cos sin cos 2sin sin cos cos αβαβααββαβαβ+++=+++++()22112cos b a αβ=++-=+,则()2211cos 122a b αβ-=+- （2）由（1）可得,当1,0b a ==时,即sin sin 1cos cos 0αβαβ+=⎧⎨+=⎩则sin 1sin cos cos αβαβ=-⎧⎨=-⎩,所以()()()()2222sin cos 1sin cos ααββ+=-+-,即22112sin sin cos βββ=-++,则12sin 0β-=,所以1sin 2β=所以11sin 1sin 122αβ=-=-=, 故222213sinsin ,cos cos 44αβαβ====因为()()()cos()cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=-+2222cos cos sin sin αβαβ=-,所以()33111cos()cos 44442αβαβ+-=⨯-⨯=（3）由（1）可得()22211cos 2cos 11222a b αβαβ-⎛⎫-=-=+- ⎪⎝⎭,则cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭因为sin sin 2sin cos 22cos cos 2cos cos 22αβαβαβαβαβαβ⎧+-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨+-⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩当cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,2sin 22cos 2a b αβαβ⎧+⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎛⎫⎪⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩,则sin 2cos 2αβαβ⎧+⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨+⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎩,所以()222sin 2sin cos 222ab a b αβαβαβ++⎛⎫⎛⎫+===⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, ()222222cos 2cos 1212b a a b αβαβ⎛⎫+-⎛⎫+=-=⋅-= ⎪+⎝⎭当cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭时, 2sin 22cos 2a bαβαβ⎧+⎛⎫⎛⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎨+⎛⎫⎛⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎩,则sin 2cos 2αβαβ⎧+⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨+⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩,所以()222sin 2sin cos 222aba b αβαβαβ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎝,()222222cos 2cos 1212b a a b αβαβ⎛⎫+-⎛⎫+=-=⋅-=⎪+⎝⎭⎝, 综上,()222sin ab a b αβ+=+,()2222cos b a a bαβ-+=+ 【点睛】本题考查同角的平方关系,考查和角公式与倍角公式的应用,考查和差化积公式的应用,考查运算能力例2．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系xOy 中,先将线段OP 绕原点O 按逆时针方向旋转角θ，再将OP 的长度伸长为原来的()0ρρ＞倍,得到1OP ，我们把这个过程称为对点P 进行一次T,()θρ，变换得到点1P ，例如对点P ()10，进行一次32T π⎛⎫⎪⎝⎭，变换,得到点()103.P ，(1)试求对点(A 进行一次13T π⎛⎫⎪⎝⎭，变换后得到点1A 的坐标；(2)已知对点()86B ，进行一次()T θρ，换后得到点(1B --，求对点1B 再进行一次()T θρ，变换后得到点2B 的坐标.【答案】（1）(1A -；（2）244117(,)2525B . 【分析】（1）由已知得将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转角3π，再将OA 的长度伸长为原来的1倍,得到1OA ，可得1A 的坐标；（2）计算出110,OB OB ==2ρ=，从而得所以25OB =，再可求得7tan 24θ=，根据点的位置得32ππθ<<，得724sin ,cos 2525θθ=-=-，从而求得()44cos 125αθθ++=⎡⎤⎣⎦，()117sin 125αθθ++=⎡⎤⎣⎦，可求得2B 的坐标.【详解】（1）由已知得13T π⎛⎫⎪⎝⎭，变换是将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转角3π，再将OA的长度伸长为原来的1倍,得到1OA ，所以1A的坐标是(1A -；（2）因为对点()86B ，进行一次()T θρ，换后得到点(1B --，所以110,OBOB ====，所以102ρ==所以215OB OB ρ=⋅==， 设OB 与x 轴的正方向的夹角为α，则343sin ,cos ,tan ,554ααα=== 并且()()()344sin ,cos ,tan ,553αθαθαθ+=-+=-+=根据()()()43tan tan 734tan tan 431tan tan 24134αθαθαθααθα-+-=+-===⎡⎤⎣⎦++⋅+⨯， 因为32ππθ<<，所以724sin ,cos 2525θθ=-=-，所以 ()()()3244744cos cos cos sin cos 525525125αθθαθθαθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+=-⨯---⨯-=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()42437117sin sin cos cos sin 525525125αθθαθθαθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=-⨯-+-⨯-=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2441175,5125125B ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以2B 的坐标为244117,2525B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力，关键在于理解新定义的含义，并能根据定义解决问题，在本题中求出θ和ρ是关键，属于难度题. 巩固练习1.利用两角和与差的余弦公式证明sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.【难度】★【答案】证明：sin()cos[()]2παβαβ+=-+cos[()]cos()cos sin()sin sin cos cos sin 222πππαβαβαβαβαβ=--=-+-=+2.对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是（ ）A.sin()sin sin αβαβ+>+B.sin()cos cos αβαβ+>+C.cos()cos cos αβαβ+<+D.cos()sin sin αβαβ+<+【难度】★★ 【答案】C3.已知锐角,αβ满足10103cos ,55sin ==βα，求αβ+ 【难度】★★ 【答案】4π【解析】∵,αβ为锐角且10103cos ,55sin ==βαcos 5sin 10cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ======∴+=-==由02πα<<，02πβ<<得 0αβπ<+<又cos()0αβ+> ∴αβ+为锐角 ∴4παβ+=4.已知,0cos cos cos ,0sin sin sin =-+=+-γβαγβα且α、β、γ均为钝角，求角βα+的值.【难度】★★★ 【答案】43π【解析】 由已知，⎩⎨⎧=+-=-.cos cos cos ,sin sin sin γβαγβα①2+②2.cos sin cos cos cos 2cos sin sin sin 2sin 222222γγββααββαα+=+⋅+++⋅-,2,2πβππαπ<<<<.34,2πβαπβαπ=+<+<∴ 5.已知，()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-，求：sin 2α、sin 2β. 【难度】★★ 【答案】5665-；1665- 【解析】∵，∴04παβ<-<，32ππαβ<+< 又∵()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-， ∴()5sin 13αβ-=，()4cos 5αβ+=- ()()sin 2sin ααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()()()56sin cos cos sin 65αβαβαβαβ=+-++-=-324ππβα<<<324ππβα<<<①②()()sin 2sin βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()16sin cos cos sin 65αβαβαβαβ=+--+-=-6.化简:sin 2sin 3sin 5sin 32sin 5sin 7A A AA A A++++【难度】★★★ 【答案】sin 3sin 5AA【解析】原式＝sin sin 52sin 32sin 3cos 22sin 3sin 3sin 72sin 52sin 5cos 22sin 5A A A A A AA A A A A A+++=+++ 2sin 3(cos 21)sin 32sin 5(cos 21)sin 5A A AA A A+==+7.证明： sin cos )a x b x x ϕ±=±，其中tan b aϕ=. 【难度】★【答案】证明：（如图）sin cos )a x b x x x ±=±cos cos sin )x x ϕϕ±)x ϕ±.8.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα+sin α=354,则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+67πα的值是 . 【难度】★【答案】54-9．利用特殊角的值求cos105.【难度】★【解析】cos105cos(6045)=+cos60cos 45sin 60sin 45=+＝12×2－2×2＝4－4＝4.10．在ABC ∆中，如果cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆为 （ ） A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.锐角或直角三角形【难度】★ 【答案】A11．下列四个命题中假命题是（ ）A.存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+B.不存在无穷多个,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C.对于任意的,αβ，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-D.不存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-【难度】★★ 【答案】B12．求sin1212ππ的值为__________.【难度】★【答案】13．如果),2(ππα∈，且54sin =α，那么=--+)cos(22)4sin(αππα（ ）A ．52-B ．522-C ．52D ．522【难度】★★ 【答案】A14．已知sin sin 2αβ+=，则cos cos αβ+的取值范围是__________. 【难度】★★【答案】[22-【解析】令cos cos t αβ=+，① 22sin sin =+βα，② 由①2+②2，得)cos(22212βα-+=+t . ∴23)cos(22-=-t βα∈［-2,2］. ∴[,22t ∈-15.已知11cos(2),sin(2),0,14424πππαβαβαβ-=--=<<<<且求cos()αβ+的值.【难度】★★【答案】1cos()cos[(2)(2)]2αβαβαβ+=---=16.2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A.12B.32C.3D.2【难度】★★ 【答案】C【解析】原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.17. 若02παβ<<，，则下列各式中，不正确的是（ ）A ．sin cos 1αα+>B ．sin cos 1αα-<C ．sin()sin()αβαβ+>-D ．cos()cos()αβαβ+>-【难度】★★ 【答案】D18.已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 等于 ( ) A.5π4B.7π4C.5π4或7π4D.9π4【难度】★★ 【答案】B19.已知11cos cos ,sin sin 23αβαβ-=-=-，则cos()αβ-=__________. 【难度】★★ 【答案】597220．已知33350,cos(),sin()4445413ππππβααβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值. 【难度】★★ 【答案】566521．已知：实数a 、b 满足1=，求证：221a b +=。
第六节 两角和与差的三角函数(知识梳理)
第六节两角和与差的三角函数复习目标学法指导1.两角差的余弦公式两角差的余弦公式证明.2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦公式.(2)两角和与差的正切公式.3.理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法,理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理、正确地拆分,能对公式进行简单的逆用. 1.准确掌握公式的结构特征与符号特点,能熟练正用、逆用、变形应用.2.巧变角:三角函数中往往出现较多的差异角,注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,运用角的变换,化多角为单角或减少角的数目,联系条件角与待求角,使问题顺利获解.3.将三角变换与代数变换密切结合:三角变换主要是利用相应的三角公式,对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.两角和与差的余弦公式cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.2.两角和与差的正弦公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 3.两角和与差的正切公式 tan(α+β)=tan tan π,,π,Z 1tan tan 2k k αβαβαβαβ+⎛⎫+≠+∈ ⎪-⎝⎭, tan(α-β)=tan tan π,,π,Z 1tan tan 2k k αβαβαβαβ-⎛⎫-≠+∈ ⎪+⎝⎭.1.公式理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点如下:C (α±β)同名相乘,符号反;S (α±β)异名相乘,符号同;T (α±β)分子同,分母反.2.公式的常用变式(1)和(差)与积互换公式tan α±tan β= tan(α±β)(1∓tan αtan β),tan αtan β=1-()tan tan tan αβαβ++=()tan tan tan αβαβ---1.涉及tan α±tanβ与tan α·tan β问题可利用两角和与差的正切及以上变形公式求解.(2)辅助角公式:asin α+bcos α22a b +α+ϕ)(中sinϕ22a b +ϕ22a b +一般形式有sin x+cos2π42π43cosx=2sin(x+π3)=2cos(x-π63sin x ±cos x=2sin(x ±π6).3.与三角变换相关的结论三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称,其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.1.sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是( C ) (A)123(C)-12 3解析:sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26° =-(cos 34°cos 26°-sin 34°sin 26°) =-cos(34°+26°) =-cos 60° =-12. 2.已知tan(α-π6)=37,tan(π6+β)= 25,则tan(α+β)的值为( D ) (A)2941 (B)129 (C)141(D)1 解析:tan(α+β)=tan[(α-π6)+(π6+β)] =ππtan tan 66ππ1tan tan 66αβαβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=327532175+-⨯=1.3.2cos10sin 20sin 70-o oo的值是( C ) (A)12 332解析:原式=2cos(3020)sin 20sin 70--o o oo=2(cos30cos20sin 30sin 20)sin 20sin 70⋅+⋅-o o o o o o=3cos 20o=3.故选C.4.tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=.解析:因为tan (20°+40°)=tan 20tan 401tan 20tan 40+-o oo o,所以3-3tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°,即tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=3.答案:35.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=6,则a,b,c 按从小到大的顺序排列为 . 解析:a=sin 14°+cos 14°=2sin59°,b=sin 16°+cos 16°=2sin 61°,c=6=2sin 60°,因为59°<60°<61°,所以sin 59°<sin 60°<sin 61°,所以a<c<b. 答案:a<c<b考点一 两角和与差公式的基本应用[例1] 已知函数f(x)=Asin(x+π4),x ∈R,且f(5π12)=32, (1)求A 的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈(0,π2),求f(3π4-θ). 解:(1)由f(5π12)=32,得Asin 2π3=32,又sin 2π3=3,所以A=3.解: (2)由(1)得f(x)=3sin(x+π4),由f(θ)+f(-θ)=32,得3sin(θ+π4)+3sin(-θ+π4)=32,化简得cos θ=6, 因为θ∈(0,π2),所以sin θ=21cosθ-=2614⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭=10,故f(3π4-θ)=3sin(3π4-θ+π4)=3sin θ=3×10=30.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.1.已知角α为锐角,若sin(α-π6)=13,则cos(α-π3)等于( A )261+32-32+231-解析:由于角α为锐角,且sin(α-π6)=13,则cos(α-π6)=22, 则cos(α-π3)=cos[(α-π6)-π6]=cos(α-π6)cos π6+sin(α-π6)sin π6=22×3+13×12=261+,故选A.2.设θ为第二象限角,若tan(θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= .解析:由θ在第二象限,且tan(θ+π4)=12, 因而sin(θ+π4)=-5,因而sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)=-10.答案:-10考点二 两角和与差公式的逆用与变形应用 [例2] [2sin 50°+sin 10°(1+3tan10°)]·22sin 80︒= .解析:原式=[2sin 50°+sin 10°(1+3sin10︒)]·2sin 80°=(2sin 50°+sin 10°·cos103sin10︒︒+)·2cos 10°=2[2sin 50°cos 10°+2sin 10°(12cos 10°+3sin 10°)]=22[sin 50°cos 10°+sin 10°cos(60°-10°)] =22(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°) =22sin(50°+10°) =22sin 60°=22×3=6.答案:6运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.若α+β=3π4,则(1-tan α)(1-tan β )的值是.解析:-1=tan 3π4=tan(α+β)=tan tan1tan tanαβαβ+-,所以tan αtan β-1=tan α+tan β.所以1-tan α-tan β+tan αtan β=2,即(1-tan α)(1-tan β)=2.答案:2考点三角的变换[例3] 已知α,β均为锐角,且sin α=35,sin(α-β10(1)求cos β的值;(2)求sin(α-2β)的值.解:(1)因为α,β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2,因为sin(α-β10所以cos(α-β310因为α为锐角,且sin α=35,所以cos α=45.所以cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=4 5×31010+35×(-1010)=91050.解: (2)因为sin(α-β)=-1010,cos(α-β)=31010,cos β=91050,sin β=131050.所以sin(α-2β)=sin [(α-β)-β] =sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=(-1010)×91050-31010×131050=-2425.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的配角技巧:α=2·2;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α=1 2[(α+β)+(α-β)];β=12[(α+β)-(α-β)]; π4+α=π2-(π4-α).1.设α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为.解析:因为α为锐角且cos(α+π6)=45>0,所以α+π6∈(π6,π2),所以sin(α+π6)=35.所以sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]=sin 2(α+π6)cos π4-cos 2(α+π6)·sin π42α+π6)cos(α+π62[2cos2(α+π6)-1]35×45[2×(45)2-1].答案2.已知α∈(π2,π),β∈(π2,π),且sin 2α+cos 2α,sin(α-β)=-35,则cos β的值为 .解析:因为sin 2α+cos 2α=,两边同时平方,得sin α=12.又π2<α<π,所以cos α又因为π2<β<π, 所以-π<-β<-π2, 故-π2<α-β<π2. 又sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=45.cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)×45+12×(-35)答案考点四 易错辨析[例4] 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .解析:因为tan α=tan[(α-β)+β]=()()tan tan 1tan tan αββαββ-+--=112711127-+⨯=13>0, 所以0<α<π2. 又tan 2α=22tan 1tan αα-=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34>0, 所以0<2α<π2.所以tan(2α-β)=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+=314731147+-⨯=1.因为tan β=-17<0, 所以π2<β<π,-π<2α-β<0. 所以2α-β=-3π4. 答案:-3π4解决此类给值求角问题,防止增解的方法有两种,一是缩小角的范围,尽量缩至一个象限内;二是求合理的三角函数值,若角在第一、二象限,宜求余弦,若角在第一、四象限,宜求正弦.1.(2019·嘉兴高三检测)已知锐角α,β满足sin α-cos α=16,tan α+tan β3tan αtan β3则α,β,π4的大小关系是( B )(A)α<π4<β (B)β<π4<α (C)π4<α<β (D)π4<β<α 解析:因为α为锐角,sin α-cos α=16>0, 所以π4<α<π2.又tan α+tan β+3tan αtan β=3, 所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-= 3, 所以α+β=π3,又α>π4, 所以β<π4<α.故选B. 2.已知α,β为锐角,sin α=35,cos(α+β)=-45,则2α+β= .解析:因为sin α=35,α∈(0,π2), 所以cos α=45,因为cos(α+β)=- 45,α+β∈(0,π),所以sin(α+β)= 35,所以sin(2α+β)=sin [α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=35×(-45)+45×35=0.又2α+β∈(0,3π2),所以2α+β=π.答案:π类型一 两角和与差公式的基本应用1.已知cos(α+β)=16,cos(α-β)=13,则tan αtan β的值为 .解析:因为cos(α+β)=16, 所以cos αcos β-sin αsin β=16.① 因为cos(α-β)=13,所以cos αcos β+sin αsin β=13.② ①+②得cos αcos β=14. ②-①得sin αsin β=112. 所以tan αtan β=sin sin cos cos αβαβ=13. 答案:132.已知cos(π4+θ)cos(π4-θ)=14,则sin 4θ+cos 4θ的值为 .解析:因为cos(π4+θ)cos(π4-θ)cos θsin θcos θsin θ) =12(cos 2θ-sin 2θ) =12cos 2θ=14, 所以cos 2θ=12. 故sin 4θ+cos 4θ=(1cos 22θ-)2+(1cos 22θ+)2=116+916=58. 答案:58类型二 两角和与差公式的逆用与变形应用3.已知sin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,且x,y 为锐角,则tan(x-y)等于( B )(C) (D)解析:因为sin x-sin y=-23,x,y 为锐角, 所以-π2<x-y<0,又2sin sin 32cos cos ,3x y x y ⎧-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩=-,①② ①2+②2,得2-2sin xsin y-2cos xcos y=(-23)2+(23)2, 即2-2cos(x-y)=89,得cos(x-y)=59, 又-π2<x-y<0, 所以,所以tan(x-y)=sin()cos()x y x y --.故选B. 4.已知sin β=msin(2α+β),且tan(α+β)=3tan α,则实数m 的值为( B )(A)2 (B)12 (C)3 (D)13解析:因为sin β=msin(2α+β),所以sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α],即sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α],也即(1-m)sin(α+β)·cos α=(1+m)cos(α+β)sin α,所以()tantan αβα+=11m m +-=3, 所以m=12.故选B. 类型三 角的变换5.定义运算a b c d =ad-bc.若cos α=17,sin sin cos cos αβαβ β<α<π2,则β等于( D ) (A)π12 (B)π6 (C)π4 (D)π3解析:依题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β又0<β<α<π2,所以0<α-β<π2,故cos(α-β1314,而cos α=17,所以sin α,于是sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)1314-17×.故β=π3.6.在△ABC 中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C 的值为(B )(C)12 (D)-12解析:由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得tan tan 1tan tan A BA B +-=-1,即tan(A+B)=-1,所以在△ABC 中,A+B=3π4,则C=π4.。
三角函数和差角公式
三角函数差角公式又称三角函数的减法定理，是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。
三角函数两角和差公式是
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-ta三角函数两角和差公式推导过程
证明方法并不唯一，在这里提供一种我认为比较容易理解的方法。
如下图所示，从A 出发作∠α和∠β，在∠β的一条射线上取一点D ，过D 作∠β的另一条射线的垂线，设垂足为E。
然后过E 作∠α的另一条射线的垂线，设垂足为B。
再延长EB，作CD ⊥CE。
三角函数两角和差公式推导过程
如果假设AD = 1，那么在△AED 中，AE = cosβ，DE = sinβ。
先来证明第1 个公式：在△CDE 中，CE = sinβcosα;在△ABE 中，BE = cosβsinα;在△ADF 中，DF = sin ( α+β)。
因为DF = BC = BE + CE，所以sin ( α+β) = cosβsinα+ sinβcosα。
两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明.doc两角和与差的三角函数公式证明（1）正弦余弦定理将△ABC投影到x轴，得出△ABC的正弦余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA（2）正弦余弦反比定理正弦余弦反比定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c（3）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA即：a^2=(b*sinA)*(b*sinA)+(c*sinA)*(c*sinA)-2bc*cosA由正弦余弦反比定理可知：b*sinA=c*sinB即：a^2=(c*sinA)*(c*sinB)+(c*sinA)*(c*sinB)-2bc*cosA化简得：a^2=2c^2*sinA*sinB-2bc*cosA（4）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB即：b^2=(a*sinB)*(a*sinB)+(c*sinB)*(c*sinB)-2ac*cosB由正弦余弦反比定理可知：a*sinB=c*sinC即：b^2=(c*sinB)*(c*sinC)+(c*sinB)*(c*sinC)-2ac*cosB化简得：b^2=2c^2*sinB*sinC-2ac*cosB（5）两角和与差的三角函数公式将（3）式和（4）式相加得：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2(bc*cosA+ac*cosB)根据正弦余弦反比定理，有：a*sinA=b*sinB=c*sinC即：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2c^2*[cosA+cosB]化简得：a^2+b^2=2c^2*[sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB)]即：sin(A+B+C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB又因为：sin(A-B-C)=sinA-sinB-sinC+cosA-cosB所以，两角和与差的三角函数公式为：sin(A+B+C)=sin(A-B-C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB。