最新全国初中数学联合竞赛试题及答案
全国 初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 2、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ） （A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ） （A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定 5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ） （A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( x 22008x -y 22008y -) = 2008， 则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1CBFDA E二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a 512-5432322a a a a a a a +---+-= 。
2、如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5∠MAN = 135°，则四边形AMCN 的面积为 。
全国初中数学 联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算432241242++=（ ） （A 21- （B ）1 （C 2 （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ACB ∠的平分线交圆O 于点D ，若3CD =，则AB=（ ） （A ）2 （B 6 （C ）22（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ） （A 357 （B 5514 （C 9528 （D 115286.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2023年全国中学生数学能力竞赛初一年级组样题及答案
2023年全国中学生数学能力竞赛初一年
级组样题及答案
题目一
题目：
在一个数字序列中，每个数字都是前面两个数字的和。
例如，序列的前两个数字是1和1，则下一个数字是2（1 + 1）。
接下来是3（1 + 2），然后是5（2 + 3），依此类推，请写出数列的前10个数字。
答案：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
题目二
题目：
已知数x和数y满足以下方程组：
2x + y = 10
3x - 2y = 5
求解方程组，得到x和y的值。
答案：
x = 5, y = 0
题目三
题目：
有一张长方形的纸片，长边长为8cm，短边长为5cm。
如果将该纸片沿着长边的方向剪成3段，然后将其中两段相连组成一个边长为4cm的正方形，剩下的一段作为矩形的一条边，求这条边的长度。
答案：
3cm
题目四
题目：
某超市在“9折优惠”的日子里，对商品A进行促销。
如果商品A的原价为90元，折扣后的价格是多少元？
答案：
81元
题目五
题目：
甲乙两个人同时在同一地点出发，在同一时间开始从该地点往东行驶。
假设甲的速度是每小时60km，乙的速度是每小时90km。
如果甲乙两人同时行驶2小时，则此时乙比甲行驶的距离多多少公里？
答案：
60公里。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试
全国初中数学结合比赛试题参照答案第一试一、选择题： （此题满分 42 分，每题7 分）1. 若 a,b,c 均为整数且知足 ( a b)10 (a c)10 1，则 | a b | | b c | | c a |（ B ）A ．1.B ． 2.C ． 3.D ．4.2． 若实数 a, b, c 知足等式 2 a 3 |b | 6 ， 4 a 9 | b | 6c ，则 c 可能取的最大值为（ C ）A ．0.B ． 1.C ． 2.D ．3.a 1b 11 0, 则（ C ）3． 若 a, b 是两个正数，且abA ． 0 a b1 1 a b 1.C ． 1 a b4 4a b 2 ..B ．. D ．33334． 若方程 x 2 3x 1 0 的两根也是方程 x 4 ax 2bx c 0 的根，则 a b 2c 的值为 （ A）A ．－ 13.B ．－ 9.C ． 6.D ． 0.5．在△ ABC 中，已知CAB 60 ，D ，E 分别是边 AB ，AC 上的点， 且 AED 60 ， ED DB CE ，CDB 2CDE ,则 DCB (B ) A ．15° .B ．20°.C ． 25°.D ． 30° .6． 对于自然数 n ，将其各位数字之和记为 a n ，如 a 2009 2 0 0 9 11， a 20102 0 1 03 ，则a 1 a 2 a 3a2009a2010（ D）A ．28062.B ． 28065.C ． 28067.D ． 28068.二、填空题： （此题满分 28 分，每题 7 分）1． 已知实数 x, y 知足方程组x 3 y 3 19,则 x 2 y 213.x y 1,2．二次函数 yx 2 bx c 的图象与 x 轴正方向交于A ，B 两点，与 y 轴正方向交于点C ．已知 AB3AC ，CAO 30 ，则 c1．93． 在等腰直角△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 5， P 是△ ABC 内一点，且 PA ＝5 ，PC ＝ 5，则 PB ＝ ___ 10 ___．4． 将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且随意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这类要求摆放，最多能够摆放 ____ 15___ 个球 .第二试 （A ）一．（此题满分 20 分）设整数 a, b,c （ a b c ）为三角形的三边长， 知足 a 2 b 2 c 2 abac bc 13 ，求切合条件且周长不超出30 的三角形的个数 .解 由已知等式可得(a b)2 (b c)2 (a c)226①令 a b m,b c n ，则a c m n ，此中 m, n 均为自然数.于是，等式①变成 m 2n 2(m n)226 ，即m 2 n 2mn 13②因为 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②建立的m, n 只有两组： m 3, m 1,n 1和3.n（ 1）当 m 3,n 1时，b c 1 ， a b 3 c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 1) c c 4，解得 c 3 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c4)(c 1) c 30，解得c 25 所以3 c 25 ，所以 c 能够取值 4，， ， ， ，对应可获得5 个切合条件的三角形..35 6 7 83（ 2）当 m1,n3时， b c 3 ， a b 1 c 4 . 又 a, b,c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 3) c c 4，解得 c1 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c 3) c 30，解得23 所以 23，所以 c 能够取值， ， ， ， 6 ， ，对应可获得6 个切合条件的三角形 .c.1 c32345 7330 的三角形的个数为 5＋ 6＝ 11. 综合可知：切合条件且周长不超出二．（此题满分 25 分）已知等腰三角形△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ C 的均分线与 AB 边交于点 P ，M 为△ ABC的内切圆⊙ I 与 BC 边的切点，作 MD//AC ，交⊙ I 于点 D. 证明：PD 是⊙I 的切线 .证明 过点 P 作⊙ I 的切线 PQ （切点为 Q ）并延伸，交 BC 于点 N.因为 CP 为∠ ACB 的均分线，所以∠ACP ＝∠ BCP.又因为 PA 、 PQ 均为⊙ I 的切线，所以∠ APC ＝∠ NPC. 又 CP 公共，所以△ ACP ≌△ NCP ，所以∠ PAC ＝∠ PNC. 由 NM ＝ QN ，BA ＝ BC ，所以△ QNM ∽△ BAC ，故∠ NMQ＝∠ ACB ，所以 MQ//AC.又因为 MD//AC ，所以 MD 和 MQ 为同一条直线 .又点 Q 、 D 均在⊙ I 上，所以点Q 和点 D 重合，故 PD 是⊙ I APIQCBNM的切线 .三．（此题满分 25 分） 已知二次函数 y x 2bx c 的图象经过两点 P (1,a) ， Q (2,10 a) .（ 1）假如 a, b, c 都是整数，且 c b 8a ，求 a, b, c 的值 .（ 2）设二次函数 yx 2bx c 的图象与 x 轴的交点为 A 、 B ，与 y 轴的交点为 C.假如对于 x 的方程x 2 bx c 0 的两个根都是整数，求△ABC 的面积 .解 点 P (1,a) 、 Q (2,10 a) 在二次函数 y x 2bx c 的图象上，故1 b c a ， 4 2a c 10a ，解得 b 9a 3 ， c 8a2 .（ 1）由 cb 8a 知8a2 9a 3,9a3 8a, 解得 1 a 3 .又 a 为整数，所以 a2 ， b 9a3 15 ， c 8a 214 .(2) 设 m,n 是方程的两个整数根，且 m n .由根与系数的关系可得m n b 3 9a ， mn c 2 8a ，消去 a ，得 9mn 8( m n)6 ，两边同时乘以 9，得 81mn 72(m n) 54 ，分解因式，得 (9m 8)(9 n 8) 10 .所以9m 81,9m 8 2,或9m 8 10,9m 8 5,9n 8或8 5, 9n 81,或8 2,10,9n9nm1,或 m10 ,m2 , m 1 , 解得9 或9 或93n 2,n 13 , 7 n29n, ,93又 m,n 是整数，所此后边三组解舍去，故 m 1,n 2 .所以， b(m n)3 ， c mn2 ，二次函数的分析式为 y x 2 3x 2 .易求得点 A 、 B 的坐标为（ 1,0）和（ 2,0），点 C 的坐标为（ 0,2），所以△ ABC的面积为1(2 1) 2 1 .2第二试 （B ）一．（此题满分 20 分）设整数 a, b, c 为三角形的三边长，知足a 2b 2c 2 ab ac bc 13 ，求切合条件且周长不超出30 的三角形的个数（全等的三角形只计算1次） .解 不如设 a b c ，由已知等式可得(a b)2(b c)2 (a c)226①令 a bm,b c n ，则 a c m n ，此中 m, n 均为自然数 .于是，等式①变成 m2n 2 (m n)226 ，即m 2 n 2mn 13②因为 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②建立的m, n 只有两组：m 3, m 1,n 1和3.n（ 1）当 m3,n 1时， b c 1 ， a b 3 c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 1) c c 4 ，解得 c 3 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c 1) c 30 ，解得c253c25 4， 5，6， 7， 8，对应可获得 5 个切合条件的三角形 ..所以 3 ，所以 c 能够取值3（ 2）当 m1,n 3时， b c 3 ， a b 1 c 4 . 又 a, b,c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 3)c c 4，解得 c 1 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c3) c 30，解得23 所以 1 c23，所以 c 能够取值 ， ， ， ， 6， ，对应可获得 6 个切合条件的三角形.c.3234573综合可知：切合条件且周长不超出30 的三角形的个数为5＋ 6＝ 11.二．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题同样 . 三．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第三题同样 .第二试 （C ）一．（此题满分 20 分）题目和解答与（ B ）卷第一题同样 . 二．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题同样 .三．（此题满分 25 分） 设 p 是大于 2 的质数， k 为正整数．若函数 yx 2 px(k 1) p 4 的图象与 x轴的两个交点的横坐标起码有一个为整数，求k 的值．解由题意知，方程 x 2 px (k1) p 4 0 的两根 x 1 , x 2 中起码有一个为整数．由根与系数的关系可得x 1 x 2 p, x 1 x 2 ( k 1) p4，进而有( x 1 2)( x 2 2) x 1 x 2 2( x 1x 2 ) 4 ( k 1) p①（ 1）若 k 1 ，则方程为 x 2 px 2( p 2) 0 ，它有两个整数根2 和 2 p ．（ 2）若 k 1，则 k 1 0 .因为 x 1 x 2p 为整数，假如 x 1 , x 2 中起码有一个为整数，则 x 1 , x 2 都是整数 .又因为 p 为质数，由①式知 p | x 1 2 或 p | x 2 2 ．不如设 p | x 12 ，则可设 x 1 2 mp （此中 m 为非零整数），则由①式可得 x 2k 1 2，故 ( x 1 2) (x 2 2) mpk 1，即 x 14 mpk 1．mx 2m k 1m又 x 1x 2p ，所以 p 4 mp ，即k 1m(m 1) p②4m6，k 1k 1假如 m 为正整数，则 (m1) p (1 1) 3 0，进而 (m1)p 6 ，与②式矛盾 .0 ，k1mk 1 m假如 m 为负整数，则 (m1) p 0 ，进而 ( m 1)p0 ，与②式矛盾 .mm所以， k1 时，方程 x2px (k 1) p 4不行能有整数根．综上所述， k 1 ．。
2022年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）一、选择题（每题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ） A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外旳两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限旳点A 在反比例函数1(0)y x x=>旳图象上，位于第二象限旳瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<旳图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 旳值为（ ） A ．12B．2C ．1D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +旳最小值为（ ）A．3-B．6-C ．1D．6+6．设n 是不不小于100旳正整数且使2535n n +-是15旳倍数，则符合条件旳所有正整数n 旳和是（ ） A ．285B ．350C ．540D ．635二、填空题（每题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根，则32234a b a ++旳值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24旳三角形中任取一种，它是直角三角形旳概率为 .9．已知锐角△ABC 旳外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 旳外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6旳方格中，每个方格填一种数字，规定每行数字从左到右是从小到大旳顺序，则第三列所填6个数字旳和旳最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ） A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外旳两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ）A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -旳最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限旳点A 在反比例函数1(0)y x x=>旳图象上，位于第二象限ABCDEF旳点B 在反比例函数4(0)y x x=-<旳图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 旳值为（ ） A ．12BC ．1D ．26．设n 是不不小于100旳正整数且使2232n n --是6旳倍数，则符合条件旳所有正整数n 旳和是（ ） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根，则32234a b a ++旳值为 . 8．三边长均为整数且周长为24旳三角形旳个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径旳半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 旳长为 .10．在圆周上按序摆放和为15旳五个互不相等旳正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .A O B第二试（A ）1．（20分）有关xx 有且仅有一种实数根，求实数m 旳取值范畴. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 旳对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 旳延长线于点F ，∠BFD 旳平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD . 3．（25分）设正整数m ，n 满足：有关x 旳方程()()x m x n x m n ++=++至少有一种正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++旳最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 旳对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 旳延长线于点F ，∠BFD 旳平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若有关x 旳方程2343410x x k -+-=至少有一种正整数根，求满足条件旳正整数k 旳值.C全国初中数学联合竞赛试题参照答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G .∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+，∴x ，y 是有关m 旳一元二次方程210m tm t -++=旳两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==-）时，22x y +获得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15旳倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. ∵2535n n +-是15旳倍数，∴21m -是3旳倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件旳所有正整数n 旳和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形旳三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<， 故a 旳也许取值为8，9，10或11， 满足题意旳数组（a ，b ，c ）可觉得：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.ABCDEFG共12组，其中，只有一组是直角三角形旳三边长， ∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 旳外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 旳中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ， ∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大旳顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小旳数字，∴A 不不不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小旳数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不不不小于6.同理可知：C 不不不小于9，D 不不不小于12，E 不不不小于15，F 不不不小于18. 因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和获得最小值旳一种填法（后三列旳数字填法不唯一）.第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bmc m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-.∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点， ∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C.提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G .∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6，∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整顿得223330y ty t ++-=. 由鉴别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ， ∴12OAABO OB∠====. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6旳倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-.ABCDEFG∵2232n n --是6旳倍数，∴21m -是3旳倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件旳所有正整数n 旳和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a ++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形旳三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<， 故a 旳也许取值为8，9，10或11， 满足题意旳数组（a ，b ，c ）可觉得：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24旳三角形旳个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE . 设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x .在Rt △ODE中，由勾股定理得DE =在Rt △ADE中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15旳五个互不相等旳正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放旳，且考虑旳是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5旳位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2）， 此时旳和式为155P b b d ed e =++++； 互换1和b 旳位置后，得到如图3旳摆法， 此时旳和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b dbd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，互换1和b 旳位置使得1和5相邻（如图3）后来，和式旳值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时旳和式为35225P b b e e =++++；互换e 和2旳位置后来，得到如图4旳摆法，此时旳和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，互换e 和2旳位置使得2和5相邻后来和式旳值会变小.如果b ＝2，此时旳和式为55225P d ed e =++++；互换e 和2旳位置后来，得到如图5旳摆法，此时旳和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，互换e 和2旳位置使得2和5相邻后来和式旳值会变小. 综上可知：1和2摆在5旳两边（如图5）时，和式旳值会变小.当d ＝3，e ＝4时，和式旳值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式旳值为853*******P =++++=.e dc d 1 d b d b e图1 图2 图3图4图5AO EB因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整顿得2242x m +-=-再平方，整顿得228(2)(4)m x m -=-.显然，应当有02m ≤<，并且此时方程①只也许有解x =.将x =1=-，化简整顿得？？？，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 旳取值范畴为403m ≤≤.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CDBD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α. ∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α，∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①旳鉴别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一种正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只也许2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整顿得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整顿即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=，∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=++≥+当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当ab =时，11112M a b=+++获得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α，∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α. ∵FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α.又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程旳两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数， 则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1.若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件旳正整数k ＝1.C。
全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625
全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？A. 7B. 10C. 11D. 123. 下列哪个分数可以化简为最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/104. 一个正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共20分）1. 7的平方根是______。
2. 0.25的小数点向右移动两位后是______。
3. 一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的周长是______厘米。
4. 下列哪个数是立方数？A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：2x 5 = 11。
2. 计算下列表达式的值：3(2 + 4) 7。
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，求这个长方形的面积。
四、答案部分一、选择题1. A2. B3. A4. D二、填空题1. ±√72. 253. 304. C三、解答题1. x = 82. 133. 32平方厘米全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625四、应用题（每题15分，共30分）1. 小明家有一块长方形的地，长是12米，宽是8米。
小明计划将这块地分成两个相同大小的正方形区域。
请问每个正方形的边长是多少米？2. 小红有一笔钱，她将其中的1/3用于购买书，剩下的钱再将其中的1/2用于购买文具。
她剩下的钱是100元。
请问小红最初有多少钱？五、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，如果a < b，那么a² < b²。
2. 证明：等腰三角形的底角相等。
六、答案部分四、应用题1. 每个正方形的边长是6米。
2. 小红最初有300元。
2024年全国初中数学知识竞赛试题及答案
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(a d )(b c) ≤0 ？请说明理由. （2 ）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数1 ，
2 ，…，2 0 0 3 ，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连 的 4 个数a ，b ，c ，d ，都有(a d )(b c) ≤0 ？请说明理由.
1 0 ．已知二次函数y ax2 bx c （其 中 a 是正整数）的图象经 过点 A （ － 1 ，4 ） 与点 B （ 2 ，1 ），并且与x 轴有两个不同的交点，则 b+c 的 最大值为 . 三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）
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1 1 ．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，B C 是⊙O 的切线，O C 平行于
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注：1 3 B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与 前面的12 个题组成考试卷.后面两页13A 和14A 两题可留作考试后的研究题 。
1 3 A ．如图所示，⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2 2(k 2) x k 0
（k是整数）的最大整数根. P 是⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA
和割线 P B C ，其中 A 为切点，点 B ，C 是直线 PBC 与⊙O 的交点.若
PA ，P B ，P C 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求 PA2 PB2 PC2 的 值.
A O
解：
P
B
C
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(第 13A 题图)
1 4 A ．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a，b，c，d 满 足不等式(a d )(b c) >0，那么就可以交换 b，c 的位置，这称为一次操 作.
初中数学全国竞赛试题及答案
初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8，这个数是：A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根等于它本身，这个数是______。
7. 如果一个数的绝对值等于5，那么这个数可以是______。
8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
9. 一个数的平方是25，这个数可以是______。
10. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体的体积。
12. 一个圆的半径是r，求圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a，底边长为b，求三角形的面积。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
15. 证明：如果一个角的余弦值等于1/2，那么这个角是60°。
五、应用题（每题20分，共20分）16. 某工厂生产一种零件，每个零件的成本是5元，售价是10元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少个这种零件？初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。
2022年全国初中数学联合竞赛试卷(含解析)
2022年全国初中数学联合竞赛试卷（含解析）第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3D．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-.B ．0.C ．1.D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.如此的四位数共有（ C ） A ．36个. B ．40个. C ．44个. D ．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a +=+=+=，则t =1±．2．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332． 第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，因此10c >.由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，因此15c <.又因为c 为整数，因此1114c ≤≤.依照勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，因此22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，因此只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩因此，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .明显，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，因此13x b =，23x b =，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，因此AE.因为PA 为⊙D 的切线，因此PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，因此由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，因此可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM//BC ，因此OA OM OB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）.因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=.明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，因此20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，因此30c <.又因为c 为整数，因此2129c ≤≤.依照勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，因此322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，因此只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π；当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得 2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BD CD OD=， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ，∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，因此点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .明显，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，因此13x b =，23x b =，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，因此AE .因为PA 为⊙D 的切线，因此PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，因此由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，因此可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. 将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(312b+-，又233(x b b=+=，因此tan∠QBO＝QNBN＝2310212b+=12=22111)]22==⋅.又tan∠OBC＝OCOB1(2b==⋅-，因此111)](22b⋅=⋅.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。
全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b+=+ （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1a b c（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则DO OB= （ ） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3第4题图 第5题图5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上， 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE ＝ （ ） A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1232001111...a a a a ++++=（ ） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1．使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _．2．如图，平行四边形ABCD 中，072ABC ∠=，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则AED ∠=______．3．设m,n 是正整数，且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同，则m-n 的最小值为 ．4．若实数x,y满足3331+的最小值为．x y++=，则22x y xy第一试(B)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定．2．题目与（A）卷第1 题相同.3. 题目与（A）卷第3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0，6a b2 c 0，则a2 b2c2＝（）A. 424B. 430C. 441D. 460．5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BAD ACB 180，且BC 3，AD 4，AC 5，AB 6，则DO/OB＝（）A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96．题目与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目与（A）卷第1 题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠=∠，则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与（A ）卷第3 题相同.4. 题目与（A ）卷第4 题相同第二试 （A ）一、（本题满分20 分）已知实数x,y 满足x+y=3，221112x y x y +=++ ，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC ，BAC 45，E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1，BF 5，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a, b)，使得34938b a =⨯+第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤，++=16a b c ，2221+++=1284a b c abc ， 求c 的值.二、（本题满分25 分）求所有的正整数m ，使得212-2+1m m -是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ，OA OD ，OB OC .求证： AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
全国初中数学联合竞赛试卷
2022年全国初中数学联合竞赛试卷第一试〔4月13日上午8:30—9:30〕考生注意：1.本试两大题共10小题,每题7分,全卷总分值70分．2.用圆珠笔或钢笔作答．3.解题书写不要超出装订线．一、选择题〔此题总分值42分,每题7分〕此题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中有且仅有一个是正确的．将正确答案的代号字母填在题后的括号内．每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个〔不管是否写在括号内〕,一律得0分．1.A .5-B .1C .5D .1[答]〔 〕2.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是A .0B .1C .3D .5[答]〔 〕3.假设函数()0y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ,C 两点,AB 垂直x 轴于B ,那么△ABC 的面积为 A .1 B .2 C .k D .2k[答]〔 〕4.满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是A .1B .2C .3D .4[答]〔 〕5.设△ABC 的面积为1,D 是边AB 上一点,且13AD AB =．假设在边AC 上取一点E ,使四边形DECB 的面积为34,那么CE EA 的值为A .12B .13C .14D .15[答]〔 〕6.如图,在□ABCD 中,过A ,B ,C 三点的圆交AD 于E ,且与CD 相切．假设AB =4,BE =5,那么DE 的长为A .3B .4C .154D .165[答]〔 〕 D CA BE二、填空题〔此题总分值28分,每题7分〕此题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上．1.抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ．假设△ABC 是直角三角形,那么ac =__________．2.设m 是整数,且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37,那么m =____________． 3.如图,'AA ,'BB 分别是∠EAB ,∠DBC 的平分线．假设''AA BB AB ==,那么∠BAC 的度数为_____________．4.正整数a ,b 之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a ,b 中较大的数是_________．2022年全国初中数学联合竞赛试卷第二试〔A 〕〔4月13日上午10:00—11:30〕考生注意：本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷总分值70分．一、〔此题总分值20分〕试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数．在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF；过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P．设线段P A,PB 的中点分别为M,N．求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠P AE=∠PBF．三、〔此题总分值25分〕实数a,b,c,d互不相等,且1111+=+=+=+=,试求x的值．a b c d xb c d a2022年全国初中数学联合竞赛试卷第二试〔B〕〔4月13日上午10:00—11:30〕考生注意：本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷总分值70分．一、〔此题总分值20分〕试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数．二、〔此题总分值25分〕在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF；过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P．求证：∠P AE=∠PBF．三、〔此题总分值25分〕四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．2022年全国初中数学联合竞赛试卷第二试〔C〕〔4月13日上午10:00—11:30〕考生注意：本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷总分值70分．实数a,b,c,d互不相等,且1111a b c d x+=+=+=+=,试求x的值．b c d a二、〔此题总分值25分〕在△ABC中,D为AB的中点,分别延长AC,BC到点E,F,使DE=DF；过E,F分别作AC,BC的垂线,相交于P．求证：∠P AE=∠PBF．三、〔此题总分值25分〕四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．。
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2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3. 3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-.NC A（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-， 两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++m k p m ②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m -++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。