利用树状图和列表计算概率
知识卡片-列表法与树状图法
列表法与树状图法能量储备在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性的大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．注意：(1)用列举法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同；(2)全面列举出所有可能的结果，各种情况不能重复，也不能遗漏；(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示．通关宝典★基础方法点方法点1：利用概率公式计算某个事件发生的概率时，可利用列表法或画树状图法找全所有可能出现的情况，并将可能出现的全部的结果数作为分母．例1袋中有大小相同、标号不同的白球2个，黑球2个．(1)从袋中连取2个球后不放回，取出的2个球中有1个白球，1个黑球的概率是多少？(2)从袋中有放回地取出2个球的顺序为黑、白的概率是多少？解：(1)根据题意列表如下：共有12种等可能情况，符合题意的有8种，故有1个白球，1个黑球的概率P ＝812＝23. (2)画树状图如图所示．共有16种等可能情况，符合条件的有4种，故取球顺序为黑、白的概率P ＝416＝14. ★ ★ 易混易误点易混易误点1:研究所有等可能结果时重复或遗漏例2 从装有两个红球、两个黄球(每个球除颜色外其他均相同)的袋中任意取出两个球，取出一个红球和一个黄球的概率是( )A.13B.23C.14D.12解析：我们不妨把四个球分别记为红1，红2，黄1，黄2，从中摸出两个球的所有可能结果为(红1，红2)，(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，其中一红一黄共有4种，故其概率P ＝46＝23.故选B . 答案：B分析：本题易错误地认为任意取出两个球，共可能出现“两红”“两黄”“一红一黄”三种可能的结果，所以任意取出两个球，取得一个红球和一个黄球的概率为13. 易混易误点2:不能准确区分放回抽样与不放回抽样对事件发生概率的影响例2 有完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，－1，2，－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后不放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m ，n ，以m ，n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点(m ，n)不在第二象限的概率．解：用列表法．可以看出，共有12种等可能的情况，其中点(m，n)不在第二象限的有8种情况，所以点(m，n)不在第二象限的概率P＝812＝23.,注意：对于某一关注的结果，放回抽样与不放回抽样是完全不同的，本题易忽视“不放回”这一条件而错误地列出如下表格求错概率．蓄势待发考前攻略考查用列表法或画树状图法求事件的概率是中考的必考内容，命题形式有填空题、选择题、解答题，难度适中．试题常用的背景有摸球、抽取卡片、转转盘、掷骰子等富有生活气息及与社会生活息息相关的内容，是中考的命题趋势，要引起重视.完胜关卡。
青岛版数学九年级下册6.7《利用画树状图和列表计算概率》教学设计1
青岛版数学九年级下册6.7《利用画树状图和列表计算概率》教学设计1一. 教材分析《利用画树状图和列表计算概率》是青岛版数学九年级下册第六章第七节的内容。
本节内容是在学生学习了概率的基本知识，以及画树状图法求等可能事件概率的基础上，进一步引导学生利用列表法计算概率，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
本节课的内容对于学生来说，既有新意又富有挑战性，需要学生具备一定的逻辑思维能力和创新意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了概率的基本概念，以及利用画树状图法求等可能事件的概率。
他们对于画树状图法有一定的了解，并能够运用到实际问题中。
然而，学生在列出所有可能结果方面还存在一定的困难，对于列表法计算概率还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的这一学情，引导学生逐步掌握列表法计算概率的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握利用列表法计算概率的方法，能够运用列表法解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生运用列表法分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：引导学生掌握利用列表法计算概率的方法。
2.难点：如何引导学生列出所有可能结果，并运用列表法计算概率。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解列表法计算概率的意义。
2.小组合作学习：学生进行小组讨论，共同探索列表法计算概率的方法。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题，总结规律，培养学生独立思考的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关的生活实例和问题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
3.教学素材：收集一些与生活相关的问题，作为教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个生活中的实例：抛硬币游戏。
抛硬币三次，每次正面朝上的概率是多少？让学生思考并回答问题。
列表法和树状图求概率
例题讲解---树形图
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙 口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙 口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率 分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
（1）指向红色； （2）指向红色或黄色； （3）不指向红色。
解：把7个扇形分别记为红1，红2，红3，绿1，绿2， 黄1，黄2，一共有7个等可能的结果，且这7个结果发生 的可能性相等，
绿（2，3）P(不指指向向红指色向或红黄色色有)= 个47结果，即黄1，黄2，绿1，
练习
二、耐心填一填
3.从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，抽到大王的概率是
（ （
15314））。，抽到牌面数字是6的概率是（
2 27
），抽到黑桃的概率是
54
4.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边
三角形、正方形，然后反扣在桌面上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图
形的概率是（0.75
），抽到中心对称图形的概率是（0.75
）。
5. 某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七首歌曲，作为课前三
1 第第二一张张 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
3.1.3用树状图或表格求概率(3)教案
3. 1.3《用树状图或表格求概率（三）》教学设计叶邑镇初级中学赫耿学习目标：进一步经历用树状图、列表法计算随机实验的概率的过程．预习案：课前导学：1、自行阅读课本P65-67的内容；2、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B 转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?尝试练习：如果把转盘变成如下图所示的转盘进行“配紫色”游戏.(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?学习案知识点拨：小颖做法如下图，并据此求出游戏者获胜的概率为21开始红蓝蓝红蓝(红,红)(红,蓝)(蓝,红)(蓝,蓝)小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是21．你认为谁做得对?说说你的理由．（小组合作交流）指出“小颖的做法不正确，小亮的做法正确．而用列表法或者树状图求随机事件发生的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同．课内训练：一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外其它都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一球。
求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.反馈案：基础训练：1、 从1、2、3、4、5、6这六个数字中，先随意抽取一个，然后从剩下的五个数中再抽取一个，则两次抽到的数字之和为偶数的概率是__________；2、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C 、D 和E ；从两个口袋中各随机地取出1个小球。
用列表法写出所有可能的结果3、用如图所示的两个转盘进行配“紫色”游戏,其概率是多少?拓展提高：1、一个盒子中装有一个红球、一个白球。
利用画树状图和列表计算概率课件
解：
大刚
小亮
抽到A组
抽到B 组
抽到C 组
BC
抽到C组
CA CB CC
P(
同组）=
3 9
=1
3
答：他们恰好分到一组的概率是
1 3·
利用树状图或表格可以清楚地表示出某个事件 产生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某 些事件产生的概率.
除上述方法外，还可以用什么方法解决这个问题？
列表
大刚 小亮
走A
走B
走A
AA
AB
走B
BA
BB
所有等可能的4种结果，即AA、AB、BA、BB，其中二人 相
遇的结果有2种.
想一想： 用树状图和列表法来计算概率，有什么优点？
用树状图和列表法来能帮助我们将所有可能的 结果，直观的列出来做到既不重复也不遗漏.
例1. A，B两个盒子里各装入分别写有数字0，1的两 张卡片，分别从每个盒子中随机取出1张卡片，两张 卡片上的数字之积为0的概率是多少？
解：画树状图
从树状图可以看出，两张卡片 上的数字之积共有4个等可能 结果，从中可找出“两数之积 为0”这一事件的结果有3个.
方法二：列表
B
A
0
1
0
0
0
1
0
1
由上表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结 果，积为0的结果有3种.
次数
54
100
46
(1)根据表格提供的信息分别求出事件A、B、C产生的频率；
（2）你能求出事件A、B、C产生的理论概率吗？ （3）比较同一事件的频率与概率是否一致？
通过这节课的学习，你将知道答案.
如图,甲、乙两村之间有两条A，而两条道路，小亮从甲村 去往乙村，大刚从乙村去往甲村，二人同时出发.如果每人 从A，B两条道路中随机选择一条，而且他们都不知道对方 的选择，那么二人途中相遇的概率是多少？
用树状图或表格求概率
条件概率计算
定义：在事件B发生的情况下，事件A发生的概率 公式：P(A|B) = P(AB) / P(B) 应用场景：在多个条件相互关联的情况下，计算某一事件发生的概率 注意事项：条件概率需要考虑各事件之间的关联性，避免独立性假设的错误
独立事件概率计算
定义：两个或多 个事件同时发生 的概率等于各事 件概率的乘积
概率定义
概率是描述随机 事件发生可能性 大小的数值
概率取值范围在0 到1之间
概率等于随机事 件发生次数与总 次数之比
概率越接近1，随 机事件发生的可 能性越大
概率计算公式
概率定义公式：P(A)=事件A发生的次数/所有可能事件的总数 条件概率公式：P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 贝叶斯公式：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) 概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
公式： P(A∪B∪C)=P( A)×P(B)×P(C)
应用场景：多个 独立因素共同影 响一个结果的情 况
注意事项：事件 之间必须相互独 立，否则计算结 果不准确
Part Three
表格计算概率
表格构建
确定事件和概率 列出所有可能的结果 计算每个结果的概率 构建表格并记录结果
事件概率计算
定义：表格计算概率是一种通过列出所有可能事件及其对应的概率来计算概率的方法。
概率值范围
概率值应在0到1 之间，包括0但不 包括1
概率值表示某一 事件发生的可能 性大小
概率值总和应为1， 即所有可能事件 的概率之和为1
概率值可以为小 数、分数或百分 数
概率的独立性
定义：两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
6.7《用树状图或表格求概率》教案
《利用树状图或表格计算概率》教案教学目标1、理解每次实验的所有可能性(即概率)相同，和前次实验结果无关.2、会运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率.3、经历试验、探讨过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.教学重点运用树状图和列表法计算事件发生的概率.教学难点树状图和列表法的运用方法.教学方法合作交流，共同探究.教学过程一、问题引入：(1)从黑桃1和2中摸一张牌，摸着几的可能性大？概率是多少？(2)加上红桃1和2，如果摸得黑桃为1，那么摸红桃数字为几的可能性大？如果摸得黑桃的数字为2呢？二、合作交流、构建知识：(一)思考交流：(3)同时从两组牌中各摸一张出来，共有几种可能性？每种可能性是否相同？概率分别是多少？(二)求概率我们可列出如下图示开始第一张牌数字：12第二张牌数字：1212可能出现的结果 (1，1)(1，2)(2，1)(2，2)像一颗横倒的树，我们叫它树状图.上面的问题还可以通过列表分析：(1，1)(1，2)(2，1)(2，2)，而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是14.可见，利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率.(三)例题解析例1.A，B两个盒子里各装入分别写有数字0，1的两张卡片，分别从每个盒子中随机取出1张卡片，两张卡片上的数字之积为0的概率是多少？例2甲乙两只不透明的袋子里装有除颜色之外都相同的球，甲袋装有红、蓝、黄色球各一个，乙袋装有红、蓝色球各一个，从每个袋子里分别随机地摸出一个球，两个球恰为同色的概率是多少？例3同时掷两枚骰子，落定后，两枚骰子朝上一面的点数之和可能是哪些数？其中概率最大的是什么数？概率最小的是什么数？三、运用拓展(一)强化练习----口答1、小王夫妇第一胎生了女孩，如果政策允许生第二胎，那么他们第二胎生男孩和生女孩哪种可能性哪种大？生男孩的概率是多少？2、小明正在做扔硬币的试验，他已经扔了3次硬币，不巧的是这3次都是正面朝上.那么，你认为小明第4次扔硬币，出现正面朝上的可能性和反面朝上的可能性哪种大？概率分别是多少？3、福利彩票“3D”中奖的概率是1/1000，小丽的爸爸买了999次都没中奖，那么他下次买彩票中奖的概率是多少？(二)强化练习-----用树状图或表格求概率4、袋中有外观相同的红球和白球各一个，随机摸出一球记下颜色，放回摇匀后再随机摸出一球，则两次摸到球的颜色不相同的概率是多少？5、左边有两张卡片分别标着数字1和2，右边有三张卡片分别标着数字3、4和5.鹦鹉随机从左边叼一张卡片作十位数，再从右边叼一张卡片作个位数.那么鹦鹉叼出的数字恰好是2 3的概率是多少？6、王俊杰有两套运动衣，一套是黄衣服、黄裤子，另一套是红衣服、红裤子.他在漆黑。
2019届九年级数学上册第三章用树状图或表格求概率第1课时用列表法或树状图计算概率课件(新版)北师大版
归类探究
类型 利用列表法或树状图求概率 如图，有四张背面相同的纸牌 A，B，C，D，其正面分别是红桃， 方块，黑桃，梅花，其中红桃，方块为红色，黑桃，梅花为黑色．小明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余 3 张洗匀后再摸出一张．
12 3 解：(1)P(选到女生)＝20＝5.
(2)用列表法表示如下：
和Leabharlann 第二张2 3 4 5
第一张
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 5 6 7 7 8 9
或画树状图，如答图所示：
答图 由表格(或树状图)可知，共有 12 种等可能的结果， 其中和为偶数的有 4 种，和为奇数的有 8 种， 4 1 8 2 ∴P(甲参加)＝12＝3，P(乙参加)＝12＝3. ∴这个游戏不公平，乙参加的机会更大．
解：(1)用树状图表示如下：
答图 从树状图可知点 M 的坐标共有 9 种可能情况，分别是(0，－1)，(0，－2)， (0，0)，(1，－1)，(1，－2)，(1，0)，(2，－1)，(2，－2)，(2，0)．
(2)其中点(1，0)，(2，－1)两个点在函数 y＝－x＋1 的图象上， 2 ∴点 M 在函数 y＝－x＋1 的图象上的概率为9.
当堂测评
1． 假定鸟卵孵化后， 雏鸟为雌与雄的概率相同． 如果三枚卵全部成功孵化， 则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是( 1 A．6 3 B．8 5 C．8
B )
2 D．3
2．从 1，2，3 这三个数中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这
用树状图或表格求概率获奖公开课教案
3.1用树状图或表格求概率第 1 课时用树状图或表格求概率由图中可知共有 6 种可能，而白衣、黑1裤只有 1 种可能，概率为；解法 2：将可能出现的结果列表以下：1.会用画树状图或列表的方法计算简单裤子上衣白色随机事件发生的概率；（重点）2.能用画树状图或列表的方法不重不漏米色地列举事件发生的全部可能状况，会用概率的有关知识解决实质问题 .（难点）黑裤只有蓝色黑色棕色（白，蓝）（白，黑）（白，棕）（米，蓝）（米，黑）（米，棕）由表可知共有 6 种可能，而白衣、11 种可能，概率为6.一、情形导入游戏：小明对小亮说：“我向空中抛 2 枚相同的一元硬币，假如落地后一正一反，算我赢，假如落地后两面相同，算你赢 .”结果小亮欣然答应，请问：你感觉这个游戏公正吗？二、合作研究研究点：用树状图或表格求概率【种类一】两步决定的概率问题明华出门游乐时带了2 件上衣（白色、米色）和 3 条裤子（蓝色、黑色、棕色），他随意取出一件上衣和一条裤子恰巧是白色和黑色的概率是多少？分析：可采纳画树状图或列表法把全部的状况都列举出来 .解：解法 1：画树状图以下图：方法总结：求某随机事件的概率，一般需要用画树状图或列表两种方法将所有可能发生结果一一列举出来，再求所关注的结果在全部结果中占的比值 .【种类二】两步以上决定的概率问题小可、子宣、欣怡三人在一同做游戏时，需要确立做游戏的先后次序，她们商定用“石头、剪子、布”的方式确立，那么在一个回合中，三个人都出“剪子”的概率是多少？解：用树状图剖析全部可能的结果，如图 .由树状图可知全部可能的结果有27 种，三人都出“剪子”的结果只有 1 种， 因此在一个回合中三个人都出“剪子”的概率为 271.方法总结： 当一次试验波及三个或更多的因素时， 为了不重不漏地列出全部可能的结果，往常采纳树状图 .【种类三】 有无放回试验一只箱子里共有3 个球，此中有 2个白球， 1 个红球，它们除了颜色外均相同 .（ 1）从箱子中随意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球， 求两次摸出的球都是白球的概率；（ 2）从箱子中随意摸出一个球，将它放回箱子， 搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率 .分析： 题中（ 1）（ 2 ）的差别在于第一次摸出的球能否放回了箱子.由题可知，第二次摸球时（ 1 ）的箱子中应减少第一次摸出 的那个球，那么还剩两个球能够摸，而（ 2）的箱子中仍是有三个球能够摸 .因此，两个白球应当差别开来， 我们用 “ 白 1”“ 白 2”表示 .解：（1）列表以下：第一次序二次白 1 白 2白 1 ——（白 2，白 1）白 2 （白 1，白 2） ——红（白 1，红）（白 2，红）由上表可知，共有 6 种结果，且每种结果是等可能的， 此中两次摸出白球的结果有 2 种，因此 P （两次摸出的球都是白球） ＝2＝1；63（ 2）列表以下：第一次序二次白 1白 2白 1 （白 1，白 1） （白 2，白 1） 白 2 （白 1，白 2） （白 2，白 2） 红（白 1，红） （白 2，红）由上表可知，共有9 种结果，且每种结果是等可能的， 此中两次摸出白球的结 果有 4 种，因此 P （两次摸出的球都是白球） ＝ 4 .9方法总结： 在试验中，常出现 “ 放回 ” 和 “ 不放回 ” 两种状况， 即能否重复进行的事件， 在求概率时要正确划分， 如利用列表法求概率时，不重复在列表中有空格， 重复在列表中则不会出现空格.三、板书设计画树状图法用树状图或表格求概率列表法经过与学生现实生活相联系的游戏为载体，培育学生成立概率模型的思想意识 . 在活动中进一步发展学生的合作沟通意识，提高学生对所研究问题的反省和拓展的能力，逐渐形成优秀的反省意识 . 鼓舞学生思想的多样性，发展学生的创新意识 . 别想一下造出海洋，一定先由小河川开始。
数学用树状图或表格求概率
表格法是一种更为直观和简洁的方法，通过列出所有可能的结果和对应的概率，可以快速 地找到特定事件的概率。表格法的优点在于方便查找和计算，但需要注意的是，当事件的 可能性较多时，需要保证列表的完整性和准确性。
应用场景
树状图和表格法在各种概率计算场景中都有广泛的应用。例如，在统计学、决策分析、游 戏策略等领域中，都可以利用这两种方法来求解概率。通过学习和掌握这两种方法，可以 更好地理解和应用概率论的基本原理。
概率思维的培养
未来在教育和培训中，应该更加注重培养人们的概率思维。通过加强概率论的教育和培训，可以帮助人 们更好地理解和应用概率论的基本原理和方法，提高决策的科学性和准确性。
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02 树状图求概率
树状图的概念
树状图是一种图形化表示方法，用于 描述事件之间的因果关系或顺序关系 。在概率论中，树状图常用于表示多 个事件之间的概率关系。
树状图由节点和边组成，节点表示事 件，边表示事件之间的关系。
树状图的应用场景
排列组合问题
树状图可以用于解决排列和组合 问题，例如在组合数学中，通过 树状图可以直观地表示出不同组
实例二：抽签游戏
总结词
通过树状图或表格列出所有可能的结果，并计算每个结果的概率。
详细描述
抽签游戏也是一个常见的概率计算实例。假设有n个签，每个签被抽中的概率是 1/n。我们可以使用树状图或表格列出所有可能的结果（抽中或未抽中），并计 算每个结果的概率。
实例三：天气预报
总结词
通过树状图或表格列出所有可能的结果，并计算每个结果的概率。
合方式的数量。
概率计算
树状图可以用于计算多个事件同时 发生的概率，通过将每个事件的概 率相乘，可以得到最终的概率值。
北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率
用树状图或表格求概率学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．重点：用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率． 难点：正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎩必然事件事件确定事件不可能事件概率随机事件列表法概率计算树状图法用频率估计概率一、用树状图求概率当一次试验要涉及3个或更多的因素时，为了不重复不漏掉地列出所有可能的结果，通常采用树状图．重点注意：画树状图时，每个“分支”的意义不同，但它们具有相同的等可能性，因此不能忽略任何一种情况，更不能遗漏任何一种情况(不重不漏)． 二、用表格求概率在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，当一次试验要涉及两个因素（例如摇两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不漏掉地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率．重点注意：用表格求概率的适用范围是： （1）某次试验仅涉及两个因素； （2）可能出现的结果数目较多． 用树状图与表格求概率的联系与区别 联系：用树状图或表格求概率的共同前提是： (1)各种情况出现的可能性是相等的； (2)某事件发生的概率公式均为P(A)=各种种情况出现的次某事件发事件发生；(3)在列出并计算各种情况出现的总次数和某事件发生的次数时不能重复也不能遗漏． 区别：当随机事件包含两步时，尤其是转盘游戏问题，当其中一个盘被等分成2份以上时，选用表格比较方便，当然此时也可用树状图；当随机事件包含三步或三步以上时，用树状图方便，此时难以列表．注意：在用表格求随机事件发生的概率时，要注意列表时数据或事件的顺序不能相互混淆，如(1，2)与(2，1)不是相同的事件，尽管在有些情况下它们的意义或结果是相同的．如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3．那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢？小明的做法：总共有9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为93，即31．小亮的做法：也用了列表的方法，可我得到牌面数字和等于4的概率为31．（2，3）考点1 用树状图求概率【例1】 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C 、D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I ．从3个口袋中各随机地取出1个小球．（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？【变式1】经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率： （1）三辆车全部继续直行 （2）两辆车右转，一辆车左转 （3）至少有两辆车左转在用树形图树形图与具【变式2】 某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛，八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛组合，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？练1．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字之积为偶数的概率是( )A.14B.12C.34D.56练2．某中学为迎接建党九十八周年，举行了以“童心向党，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．那么九年级同学获得前两名的概率是( )A.12B.13C.14D.16练3．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( ) A.38B.58C.23D.12练4．有两部不同的电影A ，B ，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看． (1)求甲选择A 部电影的概率；(2)求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率(请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果)．考点2 用表格求概率【例2】同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是9； (3) 至少有一个骰子的点数为2．【变式1】某联欢会上，组织者为活跃气氛设计了以下转盘游戏：A 、B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．选择2名同学分别转动A 、B 两个转盘，停止后指针所指数字较大的一方为获胜者，另一方需表演节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由．【变式2】在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张后放回,再随机的抽取一张,那么,第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?4 游戏转盘B游戏转盘A A练1．某校决定从两名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的同学恰为一男一女的概率是( )A.13B.23C.49D.59练2．小亮、小莹、大刚三名同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是( )A.12B.13C.23D.16练3．今年某市为创评“全国文明城市”，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部的姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．(1)该班男生“小刚被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为________．(2)请用列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．考点3. 频率估计概率类型【例3】在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计袋中白球个数，采用如下办法：从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程，小明共摸球1000次，其中200次摸到黑球．根据上述数据，小明估计袋子中白球有________个．【变式1】为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞125条，发现其中2条有标记，那么由此可估计湖里大约有___________条鱼【变式2】在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A 、15个B 、20个C 、30个D 、35个练1.在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 .练2.一只不透明的袋中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：0.34 0.330.33 解答下列问题：(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．练3.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 ( )个黄球．考点4. 几何频率【例4】小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是________．练1.如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为．练2.如图，A 、B 是数轴上的两个点，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示－1的点的距离不大于2的概率是（ ）A ．21B．32 C ．43 D ．54练3．为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域内的频率稳定在常数0.25附近，请你估计不规则区域的面积.【当堂检测】1.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C 、D 和E ；从两个口袋中各随机地取出1个小球．用列表法写出所有可能的结果．2.如果还有丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I ．从甲、乙、丙三个口袋中各随机地取出1个小球．你能写出所有可能的结果吗？第4题图3.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项，若某学生不知道正确答案就瞎猜，则这两道题恰好全部被猜对的概率是__________．4.小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有________种．5.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？1)从盒子中取出一个小球，小球是红球；2)从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同；3)从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同．6. 在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的材质、形状、大小等完全相同，小凯从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y，这样就确定了点P的坐标(x，y)．(1)请你用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；(2)求点P(x，y)在函数y＝－x＋5图象上的概率．【演练方阵】一、填空题：1.从1、2、3、4、5这五个数字中，先随意抽取一个，然后从剩下的四个数中再抽取一个，则两次抽到的数字之和为偶数的概率是 ；2.有五条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，从中任取三条，以这三条线段为边能够成一个三角形的概率是 ；3.现有10个型号相同的杯子，其中一等品7个，二等品2个，三等品1个，从中任取两个杯子都是一等品的概率是 . 二、选择题：1、同时掷两颗均匀的骰子，下列说法中正确的是（ ）.（1）“两颗的点数都是3”的概率比“两颗的点数都是6”的概率大； （2）“两颗的点数相同”的概率是16 ；（3）“两颗的点数都是1”的概率最大；（4）“两颗的点数之和为奇数”与“两颗的点数之和为偶数”的概率相同. A. (1)、(2) B. (3)、(4) C. (1)、(3) D. (2)、(4) 2、 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转）正数的概率为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．123.从长为3，5，7，10是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1三、解答题：1、有两组卡片，第一组卡片共3张，分别写着2、2、3；第二组卡片共5张，分别写着1、2、2、3、3 试用列表的方法求从每组中各抽取一张卡片，两张都是2的概率.2、有两个质量均匀、大小相同的正四面体，其中一个的四个面上分别写着数字1、2、3、4，另一个的四个面上分别写着数字5、6、7、8. 将这两个正四面体同时投掷到桌面上，并以它们底面上的数字之和来计分，问：（1）共能组成多少种不同的计分？（2）底面上的数字之和为素数的概率是多少？（3）底面上的数字之和为偶数的概率是多少？3. 在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，-2，7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率P．4. 在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．甲乙。
人教版九年级数学上册25.2.2用列表法和树状图法求概率教案
（2）树状图的绘制：难点在于如何引导学生正确绘制树状图，并从中找出所有可能的结果。
举例：一个盒子里有3个红球和2个蓝球，先随机取一个球，放回后再取一个球，求第二次取出的球是红色的概率。
（3）组合数的计算：难点在于如何让学生理解组合数在列表法和树状图法中的应用，并掌握计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调列表法的列出所有结果和树状图法的正确绘制这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与列表法和树状图法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示列表法和树状图法的基本原理。
3.培养直观想象素养：通过绘制树状图，使学生能够形象地把握事件之间的关系，培养直观想象和空间思维能力。
4.强化数学运算素养：在求解概率过程中，加强学生的数学运算能力，提高准确性，培养严谨的数学态度。
5.增进数据分析素养：引导学生对实际问题进行数据分析，培养从数据中提取信息、发现规律的能力，为解决更复杂问题奠定基础。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解列表法和树状图法的基本概念。列表法是通过列出所有可能的结果来计算概率的方法，而树状图法则通过图形化的方式展示事件之间的关系，帮助我们求解概率。这两种方法在解决实际问题时具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何运用列表法和树状图法求解实际问题的概率。
在实践活动方面，我发现学生们在解决实际问题时，对于如何将问题转化为数学模型还存在一定的困扰。针对这个问题，我将在后续的教学中，多提供一些案例，让学生们通过观察和模仿，逐步学会将实际问题抽象为数学模型。
概率讲义(树状图和列表法)
概率知识点1 树状图（或列表法）的使用对于简单的概率类题型我们可以通过列举法，计算事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，但是对于可能情况较多的事件，我们可以通过用树状图或列表法来解决树状图法：①分层.分清事件发生的层次，哪些情况是第一层（第一次）发生的，哪些是第二层（第二次）发生的；②根据分层用树状图把每一层（每一次）表示出来，然后计算事件发生的概率；列表法：将前后两次发生的事件在表格中全部表达出来，在其中计算事件发生的次数，进而计算频率.例1.一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为例2.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；(2)求选手A 晋级的概率.21=63【解析】（1）树状图如图所示，选手一共有8种等可能的结果，分别为(√,√,√)、(√,√,×)、(√,×,√)、(√,×,×)、(×,√,√)、(×,√,×)、(×,×,√)、(×,×,×). 开始（2）由（1）得选手A 的结果共有8种等可能情况，其中晋级的情况有4种，故其概率为41=82例 3.在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图的方法列出所有等可能的结果，并求出两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．【解析】（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为3，，∴从盒子中随机抽取一张卡片,卡片上的实数是无理数的概率是：23（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况， ∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： 例4.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例5.如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1,BB 1,CC 1;(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？(2)小明先从左端A 、B 、C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A 1、B 1、C 1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．例6.如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ．例7.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y.（1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数6y x =-+图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy>6，则小明胜；若x 、y 满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?例8.如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x 2-3x+2=0的解的概率．。
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利用树状图和列表计算概
率
Prepared on 22 November 2020
利用画树状图和列表计算概率（第2课时）的教学设计
板展示
跟踪练习教师进行巡回
指导，并让两
名同学选用自
己习惯的方法
进行黑板板
演，屏幕上显
示解答
大家一起
在一个不透明的盒子里，有四个
完全相同的小球（颜色除外），
把它们分别是2个红球，2个蓝
球，小明和小强采取的摸球方法
分别是：
小明：随机摸取一个记下颜色，
然后放回盒子，再随机摸取一个
记下颜色。
小亮：随机摸取一个记下颜色，
然后不放回盒子，再随机摸取一
个记下颜色。
分别求出小明和小亮摸到都是红
球的概率。
（用a1、 a2表示2个
红球，用b1、 b2表示2个蓝
球。
）
学生共同探讨，黑板板演
通过“有放会”和“无放回”两
种事件，进一步使学生感受
概率的奇妙之处，同样的事
件，条件不同就出现不同的
结果。
学习新知典例透析
例3 同时抛掷两枚骰子，落定后，两枚骰子朝上一面的点数之和可能是哪些数其中，概率最大的是什么数概率最小的是什么数
学生因为已经预习，师生共同学习，注意解题步骤的规范
我爱思考利用多媒体展
示试题，教师
巡回指导
取一枚骰子，掷一次落定后，记
下骰子朝上一面的点数，再掷一
次落定后，记下骰子朝上一面的
点数，这两次点数之和为5的概
率是---------------，其中概率最大的点
数之和是--------------。
学生自主学习完成
通过改变条件，不同的事
件，竟然出现结果一样，让
学生感受概率的神奇之处。
跟踪练习教师进行巡回
指导，并让两
名同学黑板板
演,分别选用
树状图或列表
进行，最后屏
幕上显示解答
大家一起
如图,袋中装有两个完全相同的
球,分别标有数字“1”和“2”，
小明设计了一个游戏:游戏者每次
从袋中随机摸出一个球,并自由转
动图中的转盘(转盘被分成相等的
三个扇形，分别标有数字
“1”、“2”和“3”)。
游戏规则是:如果所摸球上的数字
与转盘转出的数字之和为2,那么
游戏者获胜。
求游戏者获胜的概
率。
通过问题背景进行变化，进
一步使学生加深对例3的理
解。
1
2
3。