27.2相似三角形练习题及答案
人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)
27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。
27.2.3 相似三角形的周长与面积
27.2.3 相似三角形的周长与面积（1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比）（2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是32，它们的面积之比不一定是94 （3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积比要平方，反过来，由面积比求相似比要开方，如：如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：）问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2．思考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？3.结论——相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于相似比．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 k AC C B B A CA BC AB =''+''+''++． 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆．一、例题讲解例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．例2（教材P53例6）二、课堂练习1．教材P54．1．2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．三、课后练习1．教材P54．3、4．2．如图，点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长︰△ABC 的周长＝ ．3．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，（1）若32EC AE =，① 求ACAE 的值； ② 求ABC ADE S S ∆∆的值； ③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积；（2）若S S A B C =∆，32EC AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积；（3）若k EC AE =， 5S ABC =∆，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积．(第3题)。
人教版初中数学九年级下册27.2：相似三角形 解答题专项
人教版九年级下册27.2相似三角形解答题专项1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．相似三角形专项练习参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．【解答】解：（1）证明：①∵在正方形ABCD中，E是AD边的中点，∴在Rt△EBA中，AB＝2AE，∵AP⊥BE于点P，∴Rt△ABP∽Rt△EBA，∴＝＝，∴BP＝2AP．②如图，过点C作CH⊥BE于点H，则∠BCH+∠PBC＝90°，又∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠BCH＝∠ABP，又BC＝AB，∴Rt△BCH≌Rt△ABP（AAS），∴BH＝AP，又BP＝2AP，∴BH＝PH，又CH⊥BE，∴PC＝BC．（2）如图，同（1）②可证：Rt△AFD≌Rt△BEA，∴AF＝BE，在Rt△BEA中，若设AE＝1，则AB＝2，BE＝，∵AP⊥BE于点P，∴AP•BE＝AB•AE，∴AP＝＝，则PF＝AF﹣AP＝BE﹣AP＝﹣＝，∴＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5．分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t＝．②当△NBM∽△ABC时，同理可得：t＝，综上所述：当t＝或时，△MBN与△ABC相似；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即＝，解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，y＝×5×5﹣（5﹣t）t＝（t﹣2.5）2+．根据二次函数的性质可知，当t＝2.5时，y的值最小值为．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【解答】解：（1）△BAP∽△CPD，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△BAP∽△CPD；（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠B＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBA，∴，∴，∴BP＝．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．【解答】解：如图，过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB＝3EH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴EH∥CD，CD＝AB＝3HE，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG＝2EH，∴＝＝．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．【解答】证明：（1）∵C为的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠CAD，∵AB是直径，∴∠BCA＝90°＝∠ACE，∴∠E＝∠ABC，∴AB＝AE；（2）∵AB＝AE＝5，∠ACB＝90°，∴CE＝BC＝EB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠ABC，又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，∴，∴EC＝．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFB＝∠B，∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠C＝∠AFD，∴△ADF∽△DEC；（2）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝12，∵AE2＝DE2﹣AD2＝144﹣64＝80，∴AE＝4．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝t cm，CP＝（4﹣2t）cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：（1）经过t秒后，CQ＝t，CP＝4﹣2t，故答案为：t；（4﹣2t）．（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t＝1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t＝；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．【解答】证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴＝，即，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，∵，∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，∴BF＝AC＝AF，∴∠F AB＝∠FBA，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABC＝∠AGB，∴△ABC∽△BGA；（2）∵AF＝5，∴AC＝2AF＝10，BF＝5，∵△ABC∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝，∴FG＝BG﹣BF＝﹣5＝．14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．【解答】证明：（1）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，∴△FQE∽△DPE，∴＝，又∵QE＝EP，∴BD＝FQ，EF＝DE，∵QF∥CD，∴△AFQ∽△ADC，∴，∴，∴；（2）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，过点P作PH∥BC交AD于H，∴QF∥PH，∴△FQE∽△HPE，∴，又∵QE＝EP，∴PH＝FQ，EF＝HE，∵FQ∥BC，∴△AQF∽△ACD，∴，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABD，∴，∴＝＝＝．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴＝，∴AE•CE＝BE•DE；（2）解：由（1）得，AE•CE＝BE•DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．【解答】证明：（1）∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵，∴△ABD∽△ACE；（2）如图，∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝2，AE＝CE＝2，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，∵，∴＝，∴DE＝3，∴CD＝＝＝．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠B＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，而∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA；（2）连接BD，如图，∵AB为直径，∵∠BDC＝90°，∠C＝60°，∴BC＝2CD，∵△CDE∽△CBA；∴＝＝，∴DE＝AB＝×4＝2．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为2．【解答】解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F，∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，∵EG⊥AC垂足为G，∴∠EGA＝90°＝∠EFD，∴△EFD∽△EGA；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∴∠EAD＝90°＝∠EFD，∴tan∠EAG＝＝＝，∴在三角形EGA中，sin∠EAG＝＝，∵∠EGF＝∠EAD＝90°，∵DE为圆的直径，∴∠GFE＝∠ADE，∴△EGF∽△EAD，∴＝＝，∵DA＝BC＝4，∴FG＝2；（3）过点G作GM⊥AD于点M，如下图所示：设AE＝2x，∵∠EAG＝30°，∴∠GAM＝60°，∴EG＝x，GA＝x，∴在直角三角形GAM中，AM＝x，GM＝x，∵AD＝BC＝4，∴MD＝4﹣x，∴在直角三角形GMD中，GD2＝GM2+MD2，∴GD2＝x2+16+x2﹣4x＝3x2﹣4x+16，∵在直角三角形AED中，直径ED＝，∵在直角三角形EFD中，∠EDF＝∠EAG＝30°，∴DF＝×ED，∴DF2＝3x2+12，∵当DF＝DG时，DF+DG取最小值，∴3x2﹣4x+16＝3x2+12，∴x＝，∴DF＝，DG＝，∴DF+DG取最小值为2．故答案为：2．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．【解答】解：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥CF，∴∠ACF＝90°，∴∠A+∠AFC＝90°，∴∠A+∠BCD+∠ABC＝90°，又∠CDE＝∠ABC，∠A＝∠CDE，∴2∠A+∠BCD＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠CDB＝2∠A；（2）过C作CH⊥AB于H，交BD的延长线于G，如图：∵∠DCH+∠ACH＝90°，∠A+∠ACH＝90°，∴∠DCH＝∠A，又∵∠CDB＝2∠A；∴∠CDB＝2∠DCH，∴∠G＝∠DCH，∴CD＝DG．∵BD＝1，BC＝，在Rt△BCD中，CD＝，∴DG＝3，∴BG＝BD+DG＝4，CG＝，∴cos∠G＝，∴cos∠A＝，又cos∠A＝，∴AH＝AC•cos∠A＝，AF＝，∵∠A＝∠CDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠A＝∠ABC，∴AC＝BC，∴AB＝2AH＝，∴BF＝AB﹣AF＝．。
人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定 同步练习(附答案)
27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版
相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。
27.2.2相似三角形的应用2
1. 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么? 2. 谈一谈你对这堂课的感受?
3. 你还想解决什么问题吗?
3.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD， ∠B=90°， MN∥AB，AB=6，BC=4，CD=3，设DM=x. (1)设MN=y，用x的代数式表示y. (2)设梯形MNCD的面积为S，用x 的代数式表示S. (3)若梯形MNCD的面积S等于梯 形ABCD的面积的1/3，求DM. 【解析】(1)过D作DE⊥AB于E点交MN于F， MN=MF+FN=MF+3，在Rt△DAE中,AD= 由MN∥AB
(3)如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求出大运河的大致 宽度AB。 A 解：∵∠ADB=∠EDC， ∠ABC=∠ECD=90° ∴ΔABD∽ΔECD AB BD ∴ , C B D EC CD BD EC 120 50 E
解得，AB CD 60 100(m).
FG=8米
A E G F B
C
H D
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 2 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻 物高与影长的比例”的原理解决
二、测高的方法
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解 解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使 AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=30m，DC=30m，DE=40m,那么你能算 出池塘的宽AB吗?
因为 ∠ACB＝∠DCE , A D E B ∠CAB＝∠CDE=90°, 所以 △ABC∽△DEC ， AB AC 那么 DE DC
27.2.1相似三角形的判定(1).2.1相似
∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC
A（A1）
l1
A1
A
l1
B C
B
1
C1
l2 l3
B(B1) C C1
l2 l3
A型
X型
A B C D E 图2 A1 B1 C1 D1 E1 l1 l2 l3 l4 l5
问题3：如图3，若l1∥l2∥l3,AB:BC与A1B1:B1C1有何关系？ 问题4：若l1∥l2∥l3,你还能得到哪些相等的比例式？ 怎样得到的？
A A1 l1
B C 图3
B1 C1
l2
l3
如果把图3中A1C1向左平移，使A1与A点重 合，如图4，所得的对应线段的比会相等吗？ 依据是什么？
A G C
B D FEຫໍສະໝຸດ 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,且AD=3,DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比。
A D E
B
C
如图，在△ABC中，DE ∥BC，且DE分别交 AB，AC于点D,E,△ADE与△ABC有什么关 系？
A D B E C
结论：
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
27.2.1 相似三角形的判定（1）
A1 A
B
C
B1
C1
问题探究
问题1：如图1，若l1∥l2∥l3,任意作直线AC， 直线A1C1，若AB:BC=1，则A1B1:B1C1=
A B A1 B1 C1 图1 l1 l2 l3
C
问题2：如图2，若l1∥l2∥l3∥l4∥l5, AB:BC:CD:DE=1:1:1:1， 则(1)A1B1:B1C1:C1D1:D1E1= ; (2) AB:BE= ; A1B1:B1E1 = ; (3)AD:DE= ; A1D1:D1E1 = ;
2023年人教版九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷(一)附答案解析
2023年九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷（一）考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠AD .∠D ＝9∠A2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .74.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .108.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）第5题第3题第4题第6题第7题第9题第10题A .22B .23C .33D .3210.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE 交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为_________.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ＝2AB ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.第10题第11题第16题第12题第13题第15题19.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°.(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)若BC＝3，AB＝5，求CD的长.20.(8分)如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接BE.(1)请用尺规在BE上求作一点P，使得△PCB∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE＝3，AB＝4，BC＝6，求EP的长.21.(8分)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1.(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长.22.(10分)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x(0＜x＜6)，CE＝y(0＜y＜8).(1)当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；(2)若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式.23.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接DB.过点A作AE⊥BD于点F，交BC于点E.(1)求证：EB2＝EF・EA；(2)若AB＝4，CE＝3BE，求AE的长.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.《相似》阶段检测卷(一)考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠A D .∠D ＝9∠A【答案】A .详解：依题意，△ABC 与△DEF 的三边成比例，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D ，故选A .2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）【答案】C .详解：由两个角分别相等的两个三角形相似，知选项A 和B 中的阴影三角形与原三角形相似，选项D 中，阴影三角形的∠A 的两边分别为4－1＝3，6－4＝2，∵4623=，∠A ＝∠A ，∴选项D 中的阴影三角形与原三角形相似.而选项C 中，不能保证∠B 的两边成比例，故选C .3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .7【答案】C .详解：∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即8612DF=，解得DF ＝9，故选C . 4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=【答案】C .详解：∵DE ∥BC ，∴BD CE AD AE =，故C 对；AD AEAB AC=，故A 错；AG AE ADAF AC AB==，故D 错；选项B 中的4条线段不成比例，故D 错.故选C .5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°【答案】A .详解：∵△ABC 和△DEF 相似，观察角的大小，∠BAC ＝∠DEF ＝90°＋45°＝135°，故选A . 6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°【答案】B .详解：在△ACP 中，∵∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，∴∠APC ＝60°.∵△ACP ∽△ABC ，∴∠ACB ＝∠APC ＝60°，故选B .7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .10【答案】D .详解：∵EF ∥AB ，∴EF DEAB DA=，∵DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，∴4223AB =+，∴AB ＝10，则CD ＝AB ＝10，故选D .8.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm【答案】C .详解：设所求的最长边为xcm ，则592.5x=，解得x ＝4.5，故选C .9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）A .B .C .D .【答案】C .详解：小矩形的边边分别为13a 和3，∵小矩形与矩形ABCD 相似，∴13a ∶3＝3∶a ，解得a ＝±(舍去负值)，∴a ＝C .10.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2【答案】B .详解：∵∠B ＝∠C ＝90°，AE ⊥EF ，可证△ABE ∽△ECF ，∴AB BECE CF=，设BE ＝x ，则CE ＝4－x ，∴44x x CF =-，∴CF ＝14x (4－x )＝－14(x －2)2＋1，当x ＝2时，CF 取得最大值1，故选B .二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .【答案】答案不唯一，可以填下列中的一个：∠ADE ＝∠C ，∠AED ＝∠B ，AD AEAC AB=.12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD的值为_________.【答案】2.详解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ，BC ∥AD .∵E 为AD 的中点，∴BC ＝AD ＝2DE ，由AD ∥BC ，得△BCF ∽DEF ，∴BF ∶FD ＝BC ∶DE ＝2.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.【答案】2.详解：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，即1138DE=+，∴DE ＝2.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.【答案】12.详解：∵654a b c==，故可设a ＝6x ，b ＝5x ，c ＝4x ，代入a ＋b －2c ＝6，得：6x ＋5x －2(4x )＝6，解得x ＝2，∴a ＝6x ＝12.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.【答案】y ＝2x .详解：设B (t ，k t )，则直线OA 的解析式为y ＝2ktx .∵B 为OA 的中点，∴A (2t ，2k t )，∴D (2t ，2k t )，OC ＝2t ，CD ＝2k t ，CA ＝2kt.∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD AC OC =，∴OC 2＝AC ·CD ，∴4t 2＝2k t ·2k t，∴k 2＝4t 4，∵k ＞0，∴k ＝2t 2，∴直线OA 的解析式为y ＝2x .16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.【答案】2213.F详解：过C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于D ，过C 作CF ⊥l 1于F ，交l 3于H ，过E 作ED ⊥FC 交延长线于D ，∵∠AFC ＝∠ACE＝∠CDE ＝90°，∴△ACF ∽△CED ，∴DE CD CECF AF AC==，∵△ABC 为等边△，∴CE ，AB ＝BC ＝BE ，则CD AF .依题意，FH ＝FC ＋CH ＝2＋1＝3，由AB ＝BE ，l 1∥l 3∥ED ，得DH ＝FH ＝3，CD ＝4，∴AF CD AC .三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.【答案】∵四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∴∠C ′＝∠C ＝125°，∴∠α＝360°－80°－75°－125°＝80°，且AD AB BC A D A B B C ==''''''，即45316x y==，解得x ＝20，y ＝12.答：x ＝20，y ＝12，α＝80°.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.【答案】BF AE ，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ，∵AE ⊥BF ，∴∠AMB ＝∠BAM ＋∠ABM ＝90°，又∵∠ABM ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAM ＝∠CBF ，∴△ABE ∽△BCF ，∴AE AB BF BC ==，∴BF AE .19.(8分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°.(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)若BC ＝3，AB ＝5，求CD 的长.【答案】(1)∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB .∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB=，∴AC 2＝AB ·AD .(2)在Rt △ABC 中，∵BC ＝3，AB ＝5，由勾股定理，得AC ＝4.∵AC 2＝AB ·AD ，∴42＝5AD ，∴AD ＝165.在Rt △ADC 中，CD 125.20.(8分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE .(1)请用尺规在BE 上求作一点P ，使得△PCB ∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE ＝3，AB ＝4，BC ＝6，求EP 的长.【答案】(1)如图所示；(2)由勾股定理，得BE 5，由△PCB ∽△ABE ，得BP BC AE BE =，即635BP =，∴BP ＝185，∴EP ＝BE －BP ＝5－185＝75.21.(8分)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1.(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请直接写出另一个与△ABD 相似的三角形，并求出DE 的长.【答案】(1)∵AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴AB BDBC AB=，又∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA .(2)如图，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CBA ，∵△ABD ∽△CBA ，∴△CDE ∽△ABD ，∴DE CD BD AB =，即4112DE -=，∴DE ＝1.5.22.(10分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，设BD ＝x (0＜x ＜6)，CE ＝y (0＜y ＜8).(1)当x ＝2，y ＝5时，求证：△AED ∽△ABC ；(2)若△ADE 和△ABC 相似，求y 与x 的函数表达式.【答案】(1)∵AB ＝6，BD ＝x ＝2，∴AD ＝4.∵AC ＝8，CE ＝y ＝5，∴AE ＝3.∴AD AEAC AB=.又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△AED ∽△ABC .(2)分两种情况，1°当△ADE ∽△ABC 时，AD AE AB AC =，则6868x y --=，∴y ＝43x (0＜x ＜6).2°当△ADE ∽△ACB 时，AD AE AC AB =，则6886x y --=，∴y ＝34x ＋72(0＜x ＜6).23.(10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是斜边AC 的中点，连接DB .过点A 作AE ⊥BD 于点F ，交BC 于点E .(1)求证：EB 2＝EF ・EA ；(2)若AB ＝4，CE ＝3BE ，求AE 的长.【答案】(1)∵AE ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°＝∠ABC .又∵∠BEF ＝∠AEB ，∴△EBF ∽△EAB ，∴BE EFAE BE=，∴EB 2＝EF ・EA .(2)在Rt △ABC 中，∵D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠C .由(1)，得△EBF∽△EAB，∴∠EBF＝∠EAB，∴∠C＝∠EAB.又∠ABE＝∠CBA，∴△BAE∽△BCA，∴AB BEBC AB=，∴AB2＝BE·BC.∵AB＝4，CE＝3BE，∴BC＝4BE，42＝BE(4BE)，∴BE＝2.∴AE＝.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.【答案】(1)∵△ABC与△CDE均为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴BD＝AE.(2)AE＝2BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴BC AC CD CE=.由条件得∠ACB＝∠DCE，AC＝2BC，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴12BD BCAE AC==，∴AE＝2BD.(3)由(2)得，△BCD∽△ACE，∴AE ACBD BC=，∵43DE ABCD BC==，∴53ACBC=，∴53AE ACBD BC==设BD＝a，则AD＝3BD＝3a，AB＝4a，BC＝3a，CDa，AE＝53BD＝53a.∵△AFE∽△DFC ，∴53aAF AEDF CD=.。
初中数学 27.2.1 相似三角形的判定同步练习
ABDCHG EFADEEABDC27.2.1 相似三角形的判定（一）A组1.如图27-2-1，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对图27-2-1 图27-2-22.如图27-2-2，在△ABC中，DE//BC，且AD：DB=2：1，那么DE：BC等于（）A.2：1B.1：2C.2：3D.3：23.如图27-2-3，在□ABCD中，F、H分别是BC、AD上任一点，EF平行AB，HG平行CD，则图中共有相似三角形的对数是（）A.2B.3C.4D.5图27-2-3 图27-2-44.如图27-2-4，在△ABC中，DE//BC，AD:CD=1:3，BE=6cm，则AE= cm．5.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接AC、EF.求证：△BEF∽△ACD.6.已知：如图，试用两种不同的方法在△ABC内部作一个三角形，使其与△ABC相似，且相似比为14.7.如图，物AB与其所成像A’B’平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A’的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？8.如图，AD与BC交于点O，且AB ∥ CD。
①已知BO：OC=1：3，CD=6cm，求AB的长。
②已知BO：BC=1：3，CD=6cm，求AB的长。
③已知BO：OC=1：3，AD=8cm，求OA的长。
C DA BOOABB’A’PC AGFB 组1.如图27-2-5，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式，错误．．的是 （ ） A.AD AE =ABACB.CE EA =CFFBC.DE AD =BC BD D.EF CF=AB CB图27-2-5 图27-2-62.如图27-2-6，在△ABC 中，DG ∥A C ，EF ∥BC ，则图中与△PDE 相似三角形的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上两点，且弧AC=弧BD ，射线AC 与射线BD 交于点E ，求证：△ECD∽△ABE.4.已知：如图，AB=AD ，AC=AE ，FG ∥DE.试说出与所有△ABC 相似的三角形，并说明理由.E OD C BADB CG FE5.如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 是垂足，E 是BC 中点，FE ⊥BC 交AB 于F ，BD ＝6，DC ＝4，AB ＝8，求BF 长。
27.2.2 相似三角形的性质 (3)
C ABC
S ABC
证明:∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
AB AC BC k，AD k， AB AC BC AD
∴AB=kA'B'，AC=kA'C'，BC=kB'C'.
C ABC = AB BC AC kAB kBC kAC k， C ABC AB BC AC AB BC AC
相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系
如图所示，Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， AC=3，BC=4，AB=5，A'C'=6，B'C'=8， A'B'=10. 【思考】 (1)两个直角三角形相似吗? (2)计算这两个三角形的周长，它们的周长比与相似比有什 么关系? (3)再计算两个三角形的面积，它们的面积比与相似比有什 么关系?
BC=6
cm，∴△ABC的周长为18
cm，∵
AD AB
1， 3
∴△ADE的周长等于6 cm.两三角形的面积
比等于1∶9.
5.若两个相似三角形对应高的比为2∶3，
它们周长的差是25，求较大三角形的周长
及两个三角形的面积比.
解:设较大三角形的周长是3x，较小三角形的周长 是2x，
则3x-2x=25，解得x=25， 那么较大三角形的周长是3x=75， 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方， 得这两个三角形的面积比为4∶9.
1.如果两个相似三角形对应边之比是 检测反馈
1∶4，那么它们的对应中线之比是 ( B ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 解析:因为相似三角形的对应中线之比等于相 似比，而相似比为相似三角形对应边的比，
27.2相似三角形综合训练练习人教版2024—2025学年九年级下册
27.2相似三角形综合训练练习人教版2024—2025学年九年级下册一、填空1.已知==，且a +b ﹣2c=6，则a 的值为2.如图，E 为▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ：AB=2：3，连接DE 交BC于点F ，则CF ：AD= ．3.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ．若=，AD=10，则AO= ．4.如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．5.如图，DE ∥AB ，AC=3AD ，S △ABC =5，则△CED 的面积是 ．6.如图，∠B=∠ACD=90°，BC ∥AD ，若AC=6，AD=10，则AB= ．7.两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的周长之差是12cm ，那么小三角形的周长为 ．8.如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC=∠ACB ，AD=2，BD=6，则边AC 的长为9.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为10.如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为 ．11.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠C=90°，点F 在BC 边上，AB=8，CD=2，BC=10，若△ABF 与△FCD 相似，则CF 的长为 ．第2题第5题 第6题第8题第10题 第9题 第11题12.如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 ．13.如图所示，正方形ABCD 边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的端点M 、N 分别在CD 、AD 上滑动，当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似．14.如图，在边长为10cm 的正方形ABCD 中，P 为AB 边上任意一点（P 不与A 、B 两点重合），连结DP ，过点P 作PE ⊥DP ，垂足为P ，交BC 于点E ，则BE 的最大长度为 cm ．15.一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为（0，1），直角顶点C 的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B 的坐标为 ．二、解答题1.如图，平行四边形ABCD ，AE ⊥BC 交点E ，连接DE ，F 为DE 上一点，且∠AFE=∠B=60°．（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AE=3，AD=4，求EF 的长．第14题第13题 第12题2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G，连接OH．（1）求证：AG•GO=HG•GD；（2）若AC=8，BD=6，求DG的长．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．4.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．5．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限的图象分别交矩形OABC的边AB、BC边点于E、F，已知BE=2AE，四边形的OEBF的面积等于12．（1）求k的值；（2）若射线OE对应的函数关系式是y=，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，连结AC，试证明：EF∥AC．6.如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．。
27.2.2 相似三角形的性质
相 似 三 角 形
如图，△ABC~△A'B'C'，它们对应的高，对 应的中线，对应角平分线的比与相似比一样 吗？
A
A′
B
D
C
B′
D′
C′
如图AD、 A′D′ 分别是锐角△ABC和锐角 △A′B′C′的高,且△ABC∽ △A′B′C′,则 AD:A’D’=AB:A’B’. ∵ △ABC∽ △A′B′C′, A ∴∠B=∠B’ 又因为AD、 A′D′ 分别是 △ABC和△A′B′C′的高 C ∴∠ADB=∠A’D’B’=9 B D 0° ABD和△A′B′D′中 在△ A′ ∠B=∠B’ ∠ADB=∠A’D’B’ ∴ △ABD∽ △A′B′D′,
判断题（正确的打“√”，错误的画“×”） （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的 角平分线也扩大为原来的5倍
（ √ ）
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的
面积也扩大为原来的9倍
（ ×）
B′ D′ C′
∴AD:A’D’=AB:A’B’.
相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比.
填空： （1）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两 个三角形的对应角平分线的比为__3:4___ ，对 应边上的高的比为_3:4___，对应边上的中线的 比为__3:4__ (2)相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比 为___0.2___,对应中线的比等于__0.2___;
对应角相等 相 似 三 角 形 的 性 质
对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应角平分 线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
1、两个相似多边形的面积比为4:1，则它们的 2：1 。 2：1 ，周长比为_______ 相似比为_______ 2、如果把一个三角形的三条边长都扩大为原 10000 来 100 的100倍，则面积扩大为原来的 _______倍，周长 扩大为______倍。 3、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100 10 倍，周长为原来的 倍，则边长为原来的_____ 10 倍。 ______
人教版九年级下册 27.2相似三角形判定与性质 基础题专项训练(word版有答案)
相似三角形判定与性质 基础题专项训练1．如图，已知△ABO ∽△DCO ，OA ＝4，OD ＝6，BC ＝12，求OB 的长．2．如图，将一副三角板按图叠放，则△ADE ∽△BCE 吗？请说明理由．3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 相交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．4.如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到E ，使BE ＝2AB ，连接EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长．5.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.6．如图所示，在△ABC 中，D 是AC 边上的一点，若AB ＝6，AC ＝9，AD ＝4.求证：△ABD ∽△ACB.7．已知：如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP ＝3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM ∽△MCP.8．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且AD CD ＝CDBD.(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小；(3)若AD ＝3，BD ＝2，则BC ＝10．9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，点E 在AC 上，AB ＝9，AD ＝6，AE ＝4，∠BAC ＝50°.求∠CDE 的度数．10．如图，D 是△ABC 内的一点，E 是△ABC 外的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，图中有与∠ACB 相等的角吗？如果有，请找出来，并说明理由．11．如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由．12．如图，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：(1)∠BAD ＝∠CAE ； (2)∠ABD ＝∠ACE.13．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．A BCDE14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.15．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．16.如图，在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值．17．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.18.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果 S △ADE: S 四边形DBCE=1 ：8, 求AD ：DB.19．一块材料的形状是锐角△ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．20．如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到达G点，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度(精确到0.1 m)．答案1．如图，已知△ABO ∽△DCO ，OA ＝4，OD ＝6，BC ＝12，求OB 的长．解：∵△ABO ∽△DCO ， ∴OA OD ＝OB OC . ∴OA OD ＝OB BC －OB ， 即46＝OB 12－OB . 解得OB ＝4.8.2．如图，将一副三角板按图叠放，则△ADE ∽△BCE 吗？请说明理由．解：△ADE ∽△BCE.理由：∵∠DAC ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DAC ＋∠ACB ＝180°. ∴AD ∥BC.∴△ADE ∽△BCE.3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 相交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．解：∵AB ∥GH ∥CD ，∴△CGH ∽△CAB ，△BGH ∽△BDC. ∴GH AB ＝CH BC ，GH CD ＝BH BC . ∴GH AB ＋GH CD ＝CH BC ＋BHBC ＝1. ∵AB ＝2，CD ＝3， ∴GH 2＋GH3＝1. ∴GH ＝65.4.如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到E ，使BE ＝2AB ，连接EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长．解：∵BE ＝2AB ，AB ＝3， ∴BE ＝6，AE ＝9.∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ∥AF.∴△EBC ∽△EAF. ∴BE AE ＝BC AF. ∴AF ＝AE ·BC BE ＝9×36＝92.5.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 中点， ∴AE ＝CE ＝ED. ∴∠A ＝∠EDA. ∵∠EDA ＝∠FDB ， ∴∠FCD ＝∠FDB. 又∵∠F 为公共角， ∴△FDB ∽△FCD. ∴DF CF ＝BD DC . ∴DF CF ＝BC AC.6．如图所示，在△ABC 中，D 是AC 边上的一点，若AB ＝6，AC ＝9，AD ＝4.求证：△ABD ∽△ACB.证明：∵AD AB ＝46＝23，AB AC ＝69＝23，∴AD AB ＝AB AC. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ABD ∽△ACB.7．已知：如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP ＝3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM ∽△MCP.证明：∵四边形ABCD 是正方形，M 为CD 的中点， ∴CM ＝MD ＝12AD.∵BP ＝3PC ，∴PC ＝14BC ＝14AD ＝12CM.∴CP CM ＝MD AD ＝12，即CP MD ＝CM AD . 又∵∠PCM ＝∠ADM ＝90°， ∴△ADM ∽△MCP.8．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且AD CD ＝CDBD.(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小；(3)若AD ＝3，BD ＝2，则BC ＝10．解：(1)证明：∵CD 是AB 边上的高， ∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°. 又∵AD CD ＝CD BD，∴△ACD ∽△CBD.(2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD. 在△ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°. (3)提示：∵AD CD ＝CD BD，∴CD 2＝AD ·BD ＝6.∴CD ＝ 6.∴BC ＝BD 2＋CD 2＝10.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，点E 在AC 上，AB ＝9，AD ＝6，AE ＝4，∠BAC ＝50°.求∠CDE 的度数．解：∵AD 2＝62＝36， AE ·AB ＝4×9＝36，∴AD 2＝AE ·AB ， 即AD AE ＝AB AD. ∵∠EAD ＝∠BAD ，∴△EAD ∽△DAB. ∴∠EDA ＝∠B.∵∠C ＝90°，∠BAC ＝50°，AD 平分∠CAB ， ∴∠EDA ＝∠B ＝40°，∠CAD ＝25°. ∴∠CDA ＝65°.∴∠CDE ＝25°.10．如图，D 是△ABC 内的一点，E 是△ABC 外的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，图中有与∠ACB 相等的角吗？如果有，请找出来，并说明理由．解：∠ACB ＝∠DEB.理由： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴△ABD ∽△CBE. ∴AB BC ＝BD BE .∴AB BD ＝BC BE. 又∵∠1＋∠DBC ＝∠2＋∠DBC ，即∠ABC ＝∠DBE ， ∴△ABC ∽△DBE. ∴∠ACB ＝∠DEB.11．如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由．解：△ABC ∽△DBE.理由：∵AC DE ＝36＝12，BC BE ＝48＝12，AB DB ＝510＝12，∴AC DE ＝BC BE ＝AB DB . ∴△ABC ∽△DBE.12．如图，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：(1)∠BAD ＝∠CAE ； (2)∠ABD ＝∠ACE. 证明：(1)∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∴△ABC ∽△ADE. ∴∠BAC ＝∠DAE. ∴∠BAD ＝∠CAE.(2)∵AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝ADAE，∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE.13．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠EFC ，即FE 平分∠DFC.15．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°. ∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°.∵∠BEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠DEF.∴△ABE ∽△DEF. (2)∵AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点， ∴AE ＝DE ＝2.由(1)知，△ABE ∽△DEF ， ∴AB DE ＝AE DF ，即42＝2DF . ∴DF ＝1.∴CF ＝3. ∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DF CF ，即2GC ＝13. ∴GC ＝6.∴BG ＝BC ＋GC ＝10.16.如图，在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值．A B CD E 解：∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC ，∴∠AED ＝∠ACB.又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC.∵AF ，AG 分别是△ADE 和△ABC 的高，∴AF AG ＝AD AB ＝35. 17．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)DF ·BF ＝EF ·CF.证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE.∴AD AB ＝AE AC ＝13. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠ABC.∴DE ∥BC.∴△DEF ∽△CBF.∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.18.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果 S △ADE: S 四边形DBCE=1 ：8, 求AD ：DB.19．一块材料的形状是锐角△ABC ，边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．解：设PQ 与AD 的交点为H ，∵四边形PQMN 是矩形，∴BC ∥PQ.∴△APQ ∽△ABC. ∴PQ BC ＝AH AD . 由于矩形长与宽的比为3∶2，∴分两种情况：①若PQ 为长，PN 为宽，设PQ ＝3k ，PN ＝2k ，则3k 12＝8－2k 8，解得k ＝2. ∴PQ ＝6 cm ，PN ＝4 cm ；②若PN 为长，PQ 为宽，设PN ＝3k ，PQ ＝2k ，则2k 12＝8－3k 8，解得k ＝2413. ∴PN ＝7213 cm ，PQ ＝4813cm.20．如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D 点处的影长DE ＝3 m ，沿BD 方向行走到达G 点，DG ＝5 m ，这时小明的影长GH ＝5 m ．如果小明的身高为1.7 m ，求路灯杆AB 的高度(精确到0.1 m)．解：根据题意，得AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，FG ⊥BH ，∴CD ∥AB ∥FG.∴△CDE ∽△ABE ，△FGH ∽△ABH.∴CD AB ＝DE DE ＋BD①， FG AB ＝HG HG ＋GD ＋BD②. 又∵CD ＝FG ＝1.7 ，∴由①②可得：DE DE ＋BD ＝HG HG ＋GD ＋BD ，即33＋BD ＝510＋BD， 解得BD ＝7.5.将BD ＝7.5代入①，得AB ＝5.95 ≈6.0 .答：路灯杆AB 的高度约为6.0 m.。
2021年人教版九年级数学下册27.2 相似三角形 同步练习
2021年人教版九年级下册27.2《相似三角形》同步练习一．选择题1．下列各组图形一定相似的是（）A．有一个角相等的等腰三角形B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形D．有一个角是对顶角的两个三角形2．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（）A．B．C．D．4．已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．B．C．D．5．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AD＝2，DF＝4，BC＝3，则BE的长为（）A．B．C．12 D．96．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A．∠D＝∠B B．＝C．＝D．∠E＝∠C7．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m8．如图，△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC边于点E，N是BC边上一点，连接AN交DE于点M，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题9．如果两个相似三角形的周长之比为1：4．那么这两个三角形对应边上的高之比为．10．如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使＝＝3，测得CD＝36m，则池塘两端AB的距离为m．11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为．12．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是．13．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为．14．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是．15．如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，F是边BC上异于B，C的一点．（1）若△ADE∽△ECF，则∠AEF＝；（2）若△ADE∽△ECF，则＝；（3）当CF与BC满足数量关系时，△ADE∽△ECF．16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为．三．解答题17．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．18．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，求BE的长．19．如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB．21．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm 的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？22．如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．23．如图，AC为▱ABCD的对角线，作∠ABE＝∠ACB，BE交边AD于点E，交AC于点F．（1）求证：AE2＝EF•BE；（2）若EF＝1，E是边AD的中点，求边BC的长．24．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？参考答案一．选择题1．解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，故选：C．2．解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1，∴缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的，故选：C．3．解：∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：A．4．解：∵△ABC∽△A′B′C′，，∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2＝，故选：C．5．解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴，∵AD＝2，DF＝4，BC＝3，∴，∴BE＝9，故选：D．6．解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．A和D符合有两组角对应相等的两个三角形相似；B、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似；C、符合两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似．故选：B．7．解：由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故＝，即＝，解得：BC＝3，则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.2（m），故选：A．8．解：∵DE∥BC，∴，△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，∴，＝，∴，故选：D．二．填空题9．解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，∴这两个三角形的相似比为1：4，∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；故答案为：1：4．10．解：∵＝＝3，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝＝＝3，∵CD＝36m，∴AB＝3CD＝108米．故答案为：108．11．解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，∴＝，即＝，解得，AE＝6，∴AC＝AE+EC＝8，故答案为：8．12．解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，当△ABP∽△PDC时，＝，即＝，解得，x1＝2，x2＝12，当△ABP∽△CDP时，＝，即＝，解得，x＝，综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，故答案为：2或12或．13．解：∵DE∥FG∥BC，∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，∵AD：DF：FB＝3：2：1，∴AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，∵AG＝15，∴3x+2x＝15，解得：x＝3，即AE＝9，EG＝6，GC＝3，∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，故答案为：9．14．解：∵∠C＝∠BCD，∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．15．解：（1）∵△ADE∽△ECF，∴∠AED＝∠EFC，∵∠C＝90°，∴∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∴∠AEF＝90°．故答案为：90°；（2）∵△ADE∽△ECF，∴，∵正方形ABCD中，E为CD的中点，∴CE＝＝AD，∴．故答案为：2．（3）当BC＝4CF时，△ADE∽△ECF．∵BC＝4CF，BC＝CD，CE＝CD，∴，∵，∴，又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ECF．故答案为：BC＝4CF．16．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD＝，，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴，∵AD＝AB＝，∴A1B＝，∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝5•（）2；同理可得，A2C2＝（+）2第2个正方形的面积为：S2＝5•（）4…∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5•（）4038．故答案为：5•（）4038．三．解答题17．证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．18．解：∵AB∥CD∥EF，∴，即，解得CE＝2.5，∴BE＝BC+CE＝5+2.5＝7.5．19．证明：∵AC∥EF，∴，∵FE∥BD，∴，①+②，得：，即．20．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，由勾股定理得DE＝＝40cm，∴，∴BC＝15米，∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（米），答：树高AB是16.5米．21．解：如图，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝5cm，∵AB∥CD，EF⊥AB∴EF⊥CD，∴△OAB∽△ODC，∴＝，即＝，解得OE＝60cm．答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．22．解：∵四边形ABDE为矩形，AB＝3cm，BD＝7cm，EC＝1，∴DC＝DE﹣CE＝BA﹣CE＝2cm，BD＝AE＝7cm．设DP＝xcm，则BP＝（7﹣x）cm．∵∠B＝∠D＝90°，∴存在两种情况．①当△CDP∽△ABP时，＝，即＝，∴x＝；②当△PDC∽△ABP时，＝，即＝，整理，得：x2﹣7x+6＝0，解得：x1＝1，x2＝6．∴当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PD的长为cm或1cm或6cm．23．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ABE，∴∠EAF＝∠EBA，∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB＝EF：EA，∴AE2＝EF•BE；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵E是边AD的中点，∴BC＝2AE，∵AE∥BC，∴△EAF∽△BCF，∴＝＝，∴BF＝2EF＝2，∴BE＝3，∵AE2＝EF•BE＝1×3＝3，∴AE＝，∴BC＝2AE＝2．24．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝5，则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，∵∠P AQ＝∠BAC，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
27.2.1相似三角形的判定定理1-2(第2课时)课文练习含答案
第2课时相似三角形的判定定理1，2基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形( )A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断2．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．若△ABC各边分别为AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，△DE F的两边为DE＝5 cm，EF＝4 cm，则当DF＝______cm 时，△ABC∽△DEF.4．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )6．在等边三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且A D∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有( )A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD7．根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．∠B ＝50°，A B ＝2，BC ＝3，∠B ′＝50°，A ′B ′＝12，B ′C ′＝18.8．如图，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．中档题9．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )10．如图，在△ABC 中，点P 在AB 上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC 2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·C B.其中能满足△APC 和△ACB 相似的条件有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个11．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：____________，使△ABC∽△ADE.12．如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的大小．13．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝，DE＝5，求CF的长．14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．已知如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.综合题16．(宿迁中考改编)如图， AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案1．A4.相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝错误!＝，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝错误!＝， ∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12，∴△ABC ∽△DEF. 5.C7.相似．理由：∵AB A′B′＝212＝16，BC B′C′＝318＝16，∴AB A′B′＝BCB′C′.∵∠B ＝∠B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 8.△ADE 与△ABC 相似．理由：∵AD AB ＝22＋4＝13，AEAC ＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.∵∠A ＝∠A，∴△ADE ∽△ABC. 9.B ＝AEAC12.∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∴△ABC ∽△ADE.∴∠BAC ＝∠DAE.又∠DAC 是公共角，∴∠CAE ＝∠BAD＝20°.13.∵AEBF ＝错误!＝错误!，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.又∠A＝∠B，∴△AED ∽△BFC ， ∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF .∴CF ＝152. 14.证明：∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABD ＝∠ACE. ∵AB 2＝DB·CE，∴AB CE ＝DB AB.又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DBAC.∴△ADB ∽△EAC.15.证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a. ∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a. ∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.。
27.2相似三角形判定(AAHL)
所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点 G 的坐标为(1，4)．
3） 如图 2， 直线 BG 的解析式为 y＝3x＋1， 直线 CD 的解析式为 y＝3x＋3， 因此 CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 AB⊥CD．因此 AB⊥BG，即∠ ABQ＝90°． 因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x＋1)，那么 BQ x 2 (3x) 2 10 x ． Rt△COD 的两条直角边的比为 1∶3，如果 Rt△ABQ 与 Rt△COD 相似，存在两种情况： ①当
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2） 因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(3， 0)、 C(0， 3)、 D(－1，
9a 3b c 0, 0) 三点，所以 c 3, a b c 0.
a 1, 解得 b 2, c 3.
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
A D B
此结论可以作为相似定理”, 今后可以直接使用.
应用新知：
2、判断题：
想一想
（ ） × （ ） √ （ √ （ ） ）
⑴所有的直角三角形都相似 .
⑵有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.（ ） √ ⑶所有的等边三角形都相似. ⑷所有的等腰直角三角形都相似. ⑸顶角相等的两个等腰三角形相似. ⑹有一个角相等的两个等腰三角形相似.
E
A
斜截型—— 斜截构相似
B
C
B
C
7,已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A A E F B
27.2.1相似三角形的判定(2)
(三边对应边成比例的两个三角形相似.)
A
G
H
D
B
E
F
C
AE 2 , CE 2
EF 1 2 , EA 2 2 ∵∠ AEF = ∠CEA=135°.
∴△ AEF ∽ △CEA.
(两条对应边成比例且它们的夹角对应相等的两个三角形 相似.)
独立 作业
D
A
1.如图, 若AD· AB=AE· AC, 则△ ∽△_______ ∠B= ？
• 下面两个三角形是否相似?为什么?
A
D
4cm B 7cm 5cm C 2cm 2.5cm 3.5cm
E
F
• 解:在△ABC和△DEF中.
AC 5 BC 7 AB 4 2. 2. 2. DF 2.5 EF 3.5 AD 2
∴△ ABC ∽ △ ADE.(三边对应边成比例的两个三角形相似.)
AB AC BC 2 2. AB AC BC 1
∴△ ABC∽△ A′B′C′
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
A
两条对应边的 比相等，且对 应夹角相等呢？
A’ C’
B’
B C
例1:如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点, 求证:△EFD∽△ABC
证明:∵D是AB的中点,F是AC的中点, ∴BC=2DF DF 1 D BC 2
同理 DE 1 EF 1 , , AC 2 AB 2
A
F
FD ED EF BC AC AB
B
E
C
∴△EFD∽△ABC (三边对应成比例，两三角形相似。)
27.2三角形的相似判断巩固练习
解：∵ BE//DC ∴△ABE∽△ACD
BE AB CD AC
1.2 1.6 CD 10
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
CD＝7.5m
6. 如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EF//BC、 FG//CD，四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论？
证明： ∵ 四边形ABCD与四边形AEFG都是矩形
∴∠A＝∠A
∠AGF＝∠ADC
B
∠GFE＝∠DCB
E
∠AEF＝∠B
又 EF//BC
∴△AEF∽△ABC
A
AE EF AF
AB BC AC
FG//DC
AG GF AF AE EF GF AG AD DC AC AB BC DC AD
∴矩形ABCD∽矩形AEFG
D
又AD、A'D'分别是边BC、B'C'上的中线
C B'
D'
C'
BD 1 BC 2
B' D' 1 B'C' 2
C 2 1 B'C'
k
2
∴△ABD∽△A'B'D'
AB AD k A' B' A' D'
5. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得 AB＝1.6m，BC＝8.4m，楼高CD是多少？
∴△ADE∽△ABC
D
E
又 ∵EF//AB
B
FC
∴△CEF∽△CAB
∴△ADE∽△EFC
4. 如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边BC、B'C'
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27.2相似三角形
一、选择题
1..下列语句正确的是（）
A. 在△ ABC 和厶A B'也'/ B= / B' =90Z A=30°
/ C =60°则"ABC和"A B'不相似;
B. 在"ABC 和"A' B'4C,'AB=5,BC=7,AC=8,A ' C =16,
B' C =14,A ' B则，ABC s" A' B' C'；
C. 两个全等三角形不一定相似；
D. 所有的菱形都相似
2.根据图中尺寸（AB// A i B）,那么物象长（A i B i的长）与物长（AB的长）之间函数关系的图像大致
是（）
3.如图，在正三角形ABC 中, D E分别在AC AB上,-,AE= BE,
3
(B)△AED sA CBD
D)A BAD sA BCD
（3题）（4题）
4.已知：如图，/ ADE = Z ACD = Z ABC，图中相似三角形共有
(A) 1 对 (B) 2 对(C) 3对 (D) 4 对
5.三角形三边之比为为（）
A.32cm
B.24cm 3:5:7,与它相似的三角形的最长边为
C.18cm
D.16cm
21cm,则其余两边之和
则有( )
(A )△AED sA BED
(C)A AED sA ABD
6.已知"AB3" AB'C；且BC BC=AC A'C',若AC=3 A'C=1.8,则厶A BC与厶ABC 的相似比
是（）。
A. 2:3
B. 3:2
C. 5:3
D. 3:5
7.可以判定厶ABC s A' B'C'，的条件是（）
AB _ A' B'
A、/ A= / C' = z B'
B、疋一応，且/ A= / C'
AB AC
C A'B'「A'C'且/A= / B' D以上条件都不对
8. 已知一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，另一直线y=kx+3交x轴正半轴于
E、交y轴于F点，如"AOB与E、
F、0三点组成的三角形相似，那么k值为（）
A 1.5
B 6
C 1.5或6 D以上都不对
、填空题
9. 已知一个三角形三边长是6cm ,7.5cm，9cm，另一个三角形的三
边是8cm，10cm，
12cm，则这两个三角形_____________ （填相似或不相似）
10. 在1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm,则福州到北
京的实际距离为______ km 。
11.如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，
AD=10，则该平行四边形的面积是_______________
12. 四边形ABCD s四边形A'BCD / A=70 度，/ B=108
度，/ C=92 度贝
D= ______
13. ________________________ 在平行四边形ABCD中, AB=10, AD=6 E是AD的中点，
在AB上取一点F，使 "CB S" CDE贝U BF的长为
14. 如图所示，有一块呈三角形的草坪，其一边长为20m,在这个草坪的图纸上，若这条
边的长为5cm,其他两边的长都是 3.5cm,则该草坪其他两边的实际长度为
15. ________________________________________________________________ 在直角
坐标中，已知点A（-2,0）,B（0,4）,C（0,3）, 过点C的直线交x轴于点D, 使得以D,O,C为顶点的三角形与s" AOB相似,这样的直线最多可以作____________________________ 条.
16. 已知AB是O O的直径，AB=12cm,CD是O O 一条弦，它与AB交于点E，
"ACE与" BDE的面积之比为4:1,贝U AC: BD= _____ 三、计算题
17. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP= 3PC, Q是CD的中点.求证："ADQ s" QCP .
18. " ABC中,AD、CE是中线，/ BAD=/ BCE,请猜想"ABC的形状，并证明
.
Q
参考答案
一、选择题
1.B
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.D
8.C
二、填空题
9•相似10.1500 11.72 12. / D=90 13.1.8 14. 14m 15.4 条16. 2:1
三、17证明（主要步骤）有正方形性质及已知得PC= BC= ■： CD , DQ= : CD，即：DQ:PC=2:1
QC:AD=2:1加上直角相等可证相似。
18,等腰三角形。