第一章行列式-资料

则方程组的解可记为
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b1 a12
a11 b1
x1
D1 D
b2 a1 1
a22 , a1 2
x2
D2 D
a2 1 a1 1
b2 a1 2
a21 a22
a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23a1a 122a33a12a23 a31a13 a2a 132 a31 a32 a33
x1a b 1 1a a 1 2 22 2 a a 1 1b a 2 2 2 2,1x2a a 11 a 1 b 2 1 22 b a 1 1 a a 2 2211
a1 1 a2 1
a1 2 a2 2
a11a2
2a1
2a2
称为二阶行列式。
1
若记 D a a1 21 1a a1 22 2 , D 1b b1 2 a a1 22 2 , D 2a a1 21 1b b1 2
取零，它的值等于主对角线上所有数的积。
证明：根据n阶行列式定义
D ( 1 )ta 1 P 1a 2P 2… a n P n
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由于在上三角行列式中，对任意j>i恒有aij=0， 故D的计算式中各项的乘积因子 ，只有当其 下标满足Pi≤i时，该因子才有可能不为零。由 Pi≤i(i=1，2，…，n)可得
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(3) t ( n 1 ) ( n 2 ) 2 1 n ( n 1 )2 ; (4) t=0。
2、对换 将一个排列中的两个数位置对调称为对
换。 定理1：对换改变排列的奇偶性。 定理2：在所有n阶排列中，奇偶排列各
半，各为个 n! 2 。
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证: 设奇偶排列分别为p,q个, 则p+q=n!。
所以
x1
D1 D
1,x2
D2 D
1
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10 1
例1.2 计算三阶行列式 D 2 1 1 。
解：由对角线法则
0 1 2
D=1×(−1)×(−2)+0×1×0+2×1×1−0×(−1)×1−1× 1×1−2×0×(−2)=3。
例1.3 求排列54312的逆序数，并指出该排列的
逆序数。
P1≤1，P2≤2，…，Pn≤n。
在所有排列P1P2…Pn中，能满足上述关系的 排列只有一个标准次序排列123…n，此时D中 可能不为零的项只有一项(1)ta11a22…ann，该 项的符号(−1)t=(−1)0=1，因此
D=a11a22…ann
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5、几种常用的特殊行列式
a11 a12
列式的定义为 da ie j t( 1 ) ta 1 j 1 a 2 j 2 a n nj
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例1.4 证明n阶行列式
a11
D a21 a22 M MO
a11a22…ann
an1 an2 … ann
其中未写出的数都是零。这类行列式叫做下
三角行列式，其特征是主对角线以上的数全
解：首位数5，其逆序数为0；
4的前面且比4大的数有一个，其逆序数为1；
3的前面有两个数5和4，且都比3大，其逆序数
为2；
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1的前面有三个数，5，4和3，且都比1大，其 逆序数为3； 2的前面有四个数，5，4，3和1，比2大的数 有3个，其逆序数为3，于是这个排列54312的 逆序数为
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(1) 一个排列中所有逆序的总和称为此排 列的逆序数，记为t；
(2) 逆序数为奇(偶) 数的排列称为奇 (偶) 排列。 参考题1、求下列排列的逆序数
(1) 312; (2) 134782695; (3) n(n1)321; (4) 123(n1)n
解：(1) t=2; (2) t=1+1+3+3+1+1=10;
t = 0+1+2+3+3=9， 为奇排列。
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4、n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
D a21
a22
a2n 记为detaij 称为n阶行列式。
an1 an2 ann
(1) n!项之和，正负各半；(2) 每项为不同
行不同列的n个元素之积 a a 1j1 2j2L anjn ，其符号 为 (1) t，t为排列 j1 j2 jn 的逆序数。 故n阶行
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(2)下三角行列式
a11
Dn
a21
a22
a11a22 ann
an1 an2 ann
Fra Baidu bibliotek
(3)对角行列式
a11
Dn
a22
a11a22 ann
ann
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(4)反对角行列式
Dn
a2,n1
a1n
n(n1)
(1) 2 a1na2,n1an1
an1
解：对 a a 1j1 2j2annj ，必须 j1 n ,j2 n 1 , ,jn 1 2 ,jn 1 ，而
全部排列
全部排列
qp个 个偶 奇 一 次 对 qp换 个 个奇 偶 ，故p=q=n!/2 。
3、二阶与三阶行列式 引例：解二元线性方程组
a a1 2x x 1 1 1 1 a a1 2x x 2 22 2 b b 1 2, a1a 122 a1a 221 0
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解：用消元法易得
t ( j 1 j 2 L j n ) t n ( n 1 ) L 2 1 n ( n 1 ) /2 ，故得证。
a 1a 1 2a 3 2 a 1a 2a 3 1 3 a 1a 3 2a 2 31
称为三阶行列式。
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例1.1
解线性方程组：
x1 2 x2 2x1 5 x2
1 3
解： 由于系数行列式D 1 2 ，根据对角线法
则 D15221
25
12
11
D1 3
15321, 5
D2
2
13211 3
Ch1、行列式
n阶行列式的定义
行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则
§1、n阶行列式的定义
1、全排列与逆序数 将1,2,3,,n这n个数任意组合后排成的数
组 j1 j2 jn 称为一个n阶(全)排列，例如53214 即为一个五阶全排列。显然，n阶排列的总数 为n!。
在排列中任取两个数，如前面的数大于 后面的数，则称它们构成一个逆序。
a1n
(1)上三角行列式
a22
a2n
D
a a n1,n1
n1,n
ann
解：观察通项
知，要想 aa a a 1j1 2j2
n1jn1 nnj
使之不为零，必须 jn n ，同理
jn 1 n 1 ,L,j2 2 ,j1 1 ，而 j1j2jn1 2 (n 1 )n 为 偶排列，故 。 Dna1a 122ann