课内第七章习题

第七章习题

（一）

1. 求2w z =在z=I 处的伸缩率和旋转角。问此变换将经过点z=i 且平行于实宙正方向的曲线的切线方向变换成w 平面上哪一个方向？并用图。

2. 试利用保域定理7.1简捷地证明第二章习题（一）6(3)、（4）。

3. 在整线性变换w iz =下，下列图形分别变成什么图形？

（1）以123,1,1z i z z ==-=为顶点的三角形；

（2）闭圆|1|1z -≤.

4. 下列各题中，给出了三对对应点112233,,z w z w z w ↔↔↔的具体数值，写出相应的分式线性变换，并指出此变换把通过z 1，z 2，z 3的圆周的内部，或直线左边（顺着z 1，z 2，z 3观察）变成什么区域。

（1）11,0,1i i ↔↔-↔-；

（2）1,1,10i ↔∞↔--↔；

（3）0,,0i i ∞↔↔↔∞；

（4）0,01,1∞↔↔↔∞.

5. z 平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数1w z

=

将此三个圆周所围成的区域变成w 平面上什么区域？

6. 如az b w cz d +=+将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？

7. 分别求将上半z 平面Im 0z >共形映射成单位圆 ||1w <的分式线性变换()w L z =,使符合条件：

（1）()0,()0L i L i '=>;

（2）()0,arg ()2L i L i π

'==.

8. 分别求将单位圆 ||1z <共形映射成单位圆||1w <的分式线性变换()w L z =，使

符合条件：

（1）10,(1)12L L ⎛⎫==- ⎪⎝⎭

; （2）110,arg 222L L π⎛⎫⎛⎫'==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 9. 求出将圆 |4|2z i -<变成半平面v u >的共形映射，使得圆心变到-4，而圆周上的点2i 变到0.w =

10. 求出将上半z 平面Im 0z >共形映射成圆||w R <的分式线性变换()w L z =，使符合条件()0L i =；如果再要求()1L i '=，此变换是否存在？

11. 求将圆||z ρ<共形映射成圆||w R <的分式线性变换，使(||)z a a ρ=<变成w=0。

12. 求出圆||2z <到半平面Re 0w >的共形映射()w f z =，使符合条件

(0)1arg (0)2f f π

'==.

13. 试求以下各区域（除去阴影部分）到上半平面的一个共形映射。

（1）||2,Im 0z i z +<>（图7.20）。

（2）|||z i z i +>-7.21）。

（3）||2,|1|1z z <->（图7.22）。

14. 求出角形区域0arg 4z π

<<到单位圆||1w <的一个共形映射。

15.求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z=1,-1,0分别变成1,1,w =-∞。

16. 求出第一象限到上半平面的共形映射，使,,1z θ=对应地变成0,, 1.w =∞-

17. 将扩充z 平面割去1+I 到2+2i 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面。

18. 将单位圆割去0到1的半径后剩下的区域共形映射成上半平面。

19. 将一个从中心起沿实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割疑寂岸的1变成1，割缝下岸的1变成-1，0变成-i 。

（二）

1.证明定理7.3 （只须就00z =的情形证明）

提示：不妨假设(0)0f =，否则，代替f(z)总可以考虑()()(0),F z f z f =-而(0)0,(0)(0)0F F f ''==≠；接着可以应用儒歇定理。

2. 如果单叶解析函数()w f z =把z 平面上可求面积的区域D 共形映射成w 平面上的区域G ，试证G 的面积

2|()|,()D

A f z dxdy z x iy '==+⎰⎰. 3. 求证：1w z z

=+把圆周||z c =变成椭圆周 11cos ,sin (02)u c v c c c θθθπ⎛⎫⎛⎫=+=-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭. 4. i w z

=把半带形 Re 0,0Im 1z z ><

5. 求分式线性变换w=L(z)，使点1变到∞，点I 是二重不动点。

6. 证明：有二相异有限不动点p ，q 的分式线性变换可写成

w p z p k w q z q

--=--，k 是非零复常数. 7. 证明：只有一个不动点（二重有限）p 的分式线性变换可写成

11,k k w p z p

=+--是非零复常数. 8. 证明：以p ，q 为对称点的圆周的方程为

0.z p k z q

-=>- 当k=1时，退化为以p,q 为对称点的直线。

9. 求分式线性变换

,0az b w ad bc cz d

+=-≠+ 使扩弃z 平面上的由三圆弧所围成的三角形与扩充w 平面上的直线三角形相对

应的充要条件.

10. 设函数()w f z =在|z|<1内解析，且是将| z| <1共形映射成| w |<1的分式线性变换。试证

（1）2

2

1|()||()|(||1)1||f z f z z z -'=<-； （2）21|()|1||

f a a '=-， 其中a 在单位圆| z|<1内，f(a)=0。

11. 若()w f z =是将| z |<1共形映射成| w | <1的单叶解析函数，且

(0)0,arg (0)0f f '==.

试证：这个变换只能是恒等变换，即()f z z ≡.

12. 设函数()w f z =在| z |<1内单叶解析，且将| z| <1共形映射成| w |<1，试证()w f z =必是分式线性函数.

13. 设在| z |<1内f(z)解析，且| f(z) |<1；但()0(||1).f a a =<试证：在||1z <内。

|()|1z a f z az

-≤-. 提示：应用例7.8及施瓦茨引理.

14. 应用施瓦茨引理证明：把| z |<1变成||1w <，且把(||1)a a <变成0的共形映射一定有下列形状

1i z a w e az

θ-=-， 这里θ是实常数.