【2021模块复习】第二章第6节对数与对数函数+参考答案

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第二章第六节对数与对数函数

A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
(1)D
(2)A
解
析
：
(1)a
＝
log315
＝
log3
3×5
＝ 1 ＋ log35>1 ， b ＝ log420 ＝
log44×5
＝1＋log45>1，c＝log21.9<1，因为
log35＝llgg
5 3
lg 5 >lg 4
＝log45，所以 a>b>c.
B．b<c<a
C．c<af3
1 >f2
，即 a>b>c.
5．(多选)函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
第二章函数第六节对数与对数函数
必备知识增分策略关键能力精准突破
栏目索引
必备知识增分策略
必备知识 1．对数的概念如果 ab＝N(a>0，且 a≠1)，那么 b 叫作以 a 为底，(正)数 N 的对数，记作 b ＝logaN.这里，a 叫作对数的_底__数_，N 叫作对数的真数．
答案：0，
2 2
解析：若方程 4x＝logax 在0，12 上有解，则函数 y＝4x 与

人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件第2章函数的概念与性质第6节对数与对数函数

时, y<0 ;在(0,+∞)上是
增函数
1
时,y=
0
⑤当 x>1 时, y<0 ;当 0<x<1 时,
y>0 ;在(0,+∞)上是减函数
微思考如图给出4个对数函数的图象.底数a,b,c,d与1的大小关系如何?
提示:如图,作直线y=1,则该直线与四个函
数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规
(a,b
lo g
均大于 0 且不等于 1);
2.logab·
logbc·
logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
增素能精准突破
考点一
对数的运算
典例突破
例1.计算:(1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2;
(lg3 )2 -lg9 +1·(lg 27+lg8 -lg 1 000)
d=
1
2
3
2
,则(
2
3
3
a=log2 ,b=log 1 ,c=e3 ,
2
2 2
)
A.c>a>d>b
B.c>a>b>d
C.a>c>d>b
D.c>d>a>b
答案:A
1
解析:2=log2
2
3
3
2<log22<log22=1,即
e >e =1,即 c>1,0<
0
1
2
3
2
<

2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6节对数与对数函数课时作业含解析新人教版

第二章函数、导数及其应用授课提示：对应学生用书第247页[A 组基础保分练]1．(2021·重庆第一次模考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( ) A.11＋ab B ．a 1＋abC.b 1＋ab D ．a ＋11＋ab答案：D2．(2021·济南模拟)已知函数f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2答案：C3．(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 解析：∵3log 32＝log 38＜2，∴log 32＜23，即a ＜c .∵3log 53＝log 527＞2，∴log 53＞23，即b ＞c .∴a ＜c ＜b . 答案：A4．已知a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，x ＝⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ab ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x ＞z ＞y B ．x ＞y ＞z C ．z ＞y ＞xD ．z ＞x ＞y答案：A5．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)答案：A6．(多选题)(2021·山东潍坊五县联考)已知a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则( )A ．∃x ，y ＞0，使得a ＜b ＜c ＜dB ．∀x ，y ＞0，都有c ＝dC ．∃x ，y 且x ≠y ，使得a ＝b ＝c ＝dD ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1解析：a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则lg a ＝lg 2x ，lg b ＝lg 2y ，lg c ＝lg x lg y ，lg d ＝lg x lg y ，则∀x ，y ＞0，都有c ＝d ，故B 正确，A ，C 不正确；对于D ，假设a ，b ，c ，d 中最多有一个大于1，若x ＞10，y ＞10，则a ＞1，b ＞1，c ＞1，d ＞1，则假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1，D 正确．答案：BD7．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．答案：7 28．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为________．答案：(－4,4]9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解析：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，得a ＝－1，故f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.[B 组能力提升练]1．(2021·合肥模拟)函数f (x )＝ln x ·(e x －1)e x ＋1的图象大致为( )答案：B2．(多选题)(2021·山东临沂期末)若10a ＝4,10b ＝25，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab ＞8(lg 2)2D ．b －a ＞lg 6解析：由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，则a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，A 正确；b －a ＝lg 25－lg 4＝lg 254，又lg 254＞lg 6，∴b －a ＞lg 6，B 错误，D 正确；又ab ＝4lg 2lg 5＞4lg 2lg4＝8(lg 2)2，C 正确．答案：ACD3．若函数f (x )＝a x －k (a ＞0，且a ≠1)的图象经过定点(19,1)，且g (x )＝log a (x ＋k －19)满足g (x 1x 2x 3…x 2 019)＝19，则g (x 21)＋g (x 22)＋g (x 23)＋…＋g (x 22 019)的值为( )A.19 B ．19 C ．38D ．log a 19解析：由题意可知f (19)＝1，得k ＝19，所以g (x )＝log a x ，所以g (x 1x 2x 3…x 2 019)＝log a (x 1x 2x 3…x 2019)＝19，所以g (x 21)＋g (x 22)＋g (x 23)＋…＋g (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝2log a (|x 1x 2x 3…x 2 019|)＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×19＝38. 答案：C4．若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1,3y ＝3t ＋1,5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B5．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知55＜84,134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84,134＜85，∴5log 85＜4,4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6．(多选题)(2021·山东夏津一中月考)已知函数f (x )＝－log 2x ，下列说法正确的是( ) A ．函数f (|x |)为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1,3)上单调递增D ．若0＜a ＜1，则|f (1＋a )|＜|f (1－a )|解析：对于A ，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故A 正确；对于B ，若f (a )＝|f (b )|，其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得ab ＝1，故B 正确；对于C ，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x ＞0，解得0＜x ＜2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为0＜a ＜1，所以1＋a ＞1＞1－a ＞0,0＜1－a 2＜1，所以f (1＋a )＜0＜f (1－a )，故|f (1＋a )|－|f (1－a )|＝|－log 2(1＋a )|－|－log 2(1－a )|＝log 2(1＋a )＋log 2(1－a )＝log 2(1－a 2)＜0，故D 正确．答案：ABD7．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，若函数g (x )＝a x ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，而f (0)＝0, ∴f (－2)＝log a 3＝－1，∴a ＝13，∴g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －3，令g (x )＝0，得x ＝－m －1，则－m －1≤0，求得m ≥－1，故m 的取值范围为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)[C 组创新应用练]1．(2021·开封模拟)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe ＜3e B ．3e －2π＜3πe －2 C ．log πe ＞log 3eD ．πlog 3e ＞3log πe解析：对于选项A ，函数y ＝x e 在(0，＋∞)上单调递增，所以πe ＞3e ，故选项A 错误；对于选项B,3e －2π＜3πe －2，两边同时除以3π可得3e －3＜πe －3，由函数y ＝x e －3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B 错误；对于选项C ，由log πe ＞log 3e 可得1ln π＞1ln 3，所以ln π＜ln 3，而函数y ＝lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ，由πlog 3e ＞3log πe 可得πln 3＞3ln π，所以πln π＞3ln 3，所以ππ＞33，故选项D 正确．答案：D2．(2021·朝阳模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12 B ．13C.16D ．110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈(7.35,7.45)，且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg [H ＋]10－14[H ＋]＝lg[H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误．答案：C3．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。

2021高三统考北师大版数学一轮第2章第6讲对数与对数函数含解析

2021高三统考北师大版数学一轮课时作业：第2章第6讲对数与对数函数含解析课时作业1．（2019·四川泸州一诊)2lg 2－lg 错误!的值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析2lg 2－lg 错误!＝lg错误!＝lg 100＝2，故选B．2．函数f（x）＝错误!的定义域是()A．(－3，0)B．（－3，0]C．(－∞，－3）∪（0，＋∞)D．(－∞，－3）∪（－3，0）答案A解析因为f（x）＝错误!，所以要使函数f（x)有意义,需使错误!即－3<x〈0.3．若函数y＝f(x）是函数y＝a x（a>0，且a≠1）的反函数，且f(2)＝1，则f（x)＝（)A．log2x B．错误!C．log错误!x D．2x－2答案A解析由题意知f（x）＝log a x(x>0）．∵f（2）＝1，∴log a2＝1。

∴a＝2。

∴f（x)＝log2x.4．已知函数f（x）＝log错误!x，x∈错误!，则f（x)的值域是（）A．错误!B．错误!C．[0，2］D．错误!答案A解析函数f(x)＝log错误!x，x∈错误!是减函数，所以函数的最小值为f错误!＝log错误!错误!＝错误!,函数的最大值为f错误!＝log错误!错误!＝2。

所以函数f(x）的值域为错误!.故选A．5．若x log23＝1,则3x＋3－x＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案B解析因为x log23＝1，所以log23x＝1,所以3x＝2,3－x＝错误!，所以3x＋3－x＝2＋错误!＝错误!。

故选B．6．(2019·河北保定模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b〈c B．a＝b〉cC．a〈b<c D．a〉b>c答案B解析a＝log23＋log2错误!＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log23错误!，因此,a＝b，而log23错误!>log22＝1，log32〈log33＝1，所以a＝b>c，故选B．7．(2020·北京东城区综合练习）已知函数f（x）＝错误!则f（2＋log23)的值为（)A ．24B ．16C ．12D ．8答案 A解析因为3〈2＋log 23〈4,所以f （2＋log 23)＝f (3＋log 23）＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.故选A ．8．函数y ＝log 13 ｜x ＋3｜的单调递增区间为（）A ．(－∞，3）B ．（－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D ．（－∞，－3)∪（－3，＋∞)答案 B解析因为函数y ＝log 错误!x 为减函数,y ＝｜x ＋3｜在（－∞,－3)上是减函数，所以函数y ＝log 错误!|x ＋3|的单调递增区间为(－∞，－3）．9．(2019·合肥模拟）若log a 错误!〈1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!∪(1，＋∞）D ．错误!∪(1,＋∞）答案 D解析因为log a 23〈1,所以log a 错误!<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0〈a <1,则应满足23>a 〉0.所以a 的取值范围是错误!∪（1,＋∞）．故选D ．10．（2019·安阳模拟)函数f （x )＝log a （6－ax ）(a 〉0且a ≠1)在［0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A．(0,1) B．(1，3）C．（1，3］D．[3，＋∞）答案B解析设u＝6－ax,由题意得该函数是减函数,且u>0在［0,2］上恒成立，∴错误!∴1<a<3。

高考数学专题《对数与对数函数》习题含答案解析

专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B. 故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦. 故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210a a ->，所以1a >成立. 故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可. 【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >> 故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（）（已知lg 20.3≈，结果取整数） A ．42小时 B ．53小时 C ．56小时 D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050tm a =⋅，③③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）. 故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（） A ．a c ，即可判断A ；利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D. 【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（） A ．2101x x <<【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误. 【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x <所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x ，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误. 故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9 【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案. 【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6 【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=. 故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC 为等边三角形，则t 的值为（）A B C D ．3【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C 点的横坐标x t =-，结合A ，B 两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t ，解方程即可求得t 的值. 【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =. 设()3,log C x x ，因为ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 所以t x -=x t =根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝⎭，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（） A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解. 【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<. 综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e-<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭. 故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()x x f x e e -=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可. 【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x eef e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >> 故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（） A ．log 3log 3a b >，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab abab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log ()log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（） A ．21a b -> B ．22log log 1a b -> C ．228a b +> D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C ，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确. 故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（） A ．log 2log 2a b > B ．ln ln a a b b ⋅>⋅ C ．122ab a b ++> D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln55c =，则（）A ．a b >B ．b c >C ．c a >D ．2a b >【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 2ln 2b ==1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a == 又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误. 故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3xf x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719- 【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log )1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3xf x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-． 9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________. 【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解. 【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<， ∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】12⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+ 22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>= 211lg(1)lg lg (1)lg ()24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211()124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（）A ．116B ．19C ．18 D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；练真题当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y -> D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a,b,c 的大小关系为（） A.c log24=2；1<log38<log39=2. 故c<b<a.故选A.。

高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数课件文

(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)．所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0，，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
12/11/2021
【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )

高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。

2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第二章第6讲对数函数Word版含答案

第 6讲对数函数一、知识梳理1．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域： (0，＋∞ )值域： R过定点 (1， 0)性质当 x>1 时， y>0 当 x>1 时， y<0当 0<x<1 时， y<0 当 0<x<1 时， y>0在 (0，＋∞ )上是增函数在 (0，＋∞ )上是减函数2.反函数指数函数 y＝ a x与对数函数 y＝ log a x 互为反函数，它们的图象对于直线y＝ x 对称．常用结论对数函数图象的特色(1)当 a>1 时，对数函数的图象奉上涨趋向；当0<a<1 时，对数函数的图象呈降落趋向．1，－1 ，函(2)对数函数 y＝ log a x(a>0，且 a≠1) 的图象过定点 (1， 0)，且过点 (a，1) ，a数图象只在第一、四象限．(3)在直线 x＝1 的右边：当 a>1 时，底数越大，图象越凑近 x 轴；当 0<a<1 时，底数越小，图象越凑近 x 轴，即“底大图低”．二、教材衍化1．函数 y＝log 0.5（4x－ 3）的定义域为．4x－ 3>0 ， 3分析：要使函数存心义，故知足解得 <x≤ 1.log 0.5（ 4x－ 3）≥ 0， 4答案：3， 1 4－1 1， c＝log1，则 a，b， c 的大小关系是．2．已知 a＝ 2 3， b＝ log 21332答案： c>a>b一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝ log 2x 及 y＝ log13x 都是对数函数． ( )3(2)对数函数 y＝ log a x(a>0 且 a≠ 1)在 (0，＋∞ )上是增函数． ( )1＋x(3)函数 y＝ ln 1－x与 y＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1 － x)的定义域同样． ( )(4)对数函数 y＝ log a x(a>0 且 a≠ 1)的图象过定点 (1，0)，且过点 (a，1)，函数图象只经过第一、四象限． ( )答案： (1)×(2) × (3) × (4)√二、易错纠偏常有误区 (1)忽视真数大于零致误；(2)忽视对底数的议论致误．1．函数 f(x)＝ log2x2的递加区间为．分析：设 t＝x2，因为 y＝ log2t 在定义域上是增函数，所以求原函数的递加区间，即求函数 t＝ x2的递加区间，所以所求区间为 (0，＋∞ )．答案： (0，＋∞ )2．函数 y＝ log a x(a>0， a≠1) 在[2 ，4]上的最大值与最小值的差是1，则 a＝．分析：分两种状况议论：①当 a>1 时，有 log a4－log a 2＝ 1，解得 a＝ 2；② 当 0<a<1 时，1 1有 log a 2－log a4＝1，解得 a＝，所以 a＝ 2 或 .2 21答案： 2 或2对数函数的图象及应用(典例迁徙 )(1)若函数 y＝ a|x|(a>0，且 a≠ 1)的值域为{ y|y≥ 1} ，则函数y＝ log a|x|的图象大概是 ()(2)若方程4x＝ loga x 在 0，1上有解，则实数 a 的取值范围为．2【分析】(1) 因为 y＝a|x|的值域为 { y|y≥1} ，所以 a>1，则 y＝ log a|x|在 (0，＋∞)上是增函数，又函数 y＝ log a|x|的图象对于 y 轴对称．所以y＝ log a|x|的图象应大概为选项 B.x 和 g(x)＝ log a(2)结构函数 f(x)＝ 4 x，当 a>1 时不知足条件，当 0<a<1 时，画出两个函数在10，2上的图象，1可知，只要两图象在0，2 上有交点即可，1 1 1 2则 f 2≥ g 2，即 2≥ log a2 ，则 a≤2，所以 a 的取值范围为20，2 . 【答案】(1)B (2) 0， 22【迁徙研究】(变条件 )若本例 (2) 的条件变成：当0<x≤1时， 4x<log a x，则 a 的取值范2围为．分析：结构函数 f(x)＝ 4x和 g(x)＝log a x，当 a>1 时不知足条件，当 0< a<1 时，画出两个函数在1上的图象，可知 f1 1 12 2. 0，2 2 <g 2，即 2<log a，则 a> ，所以 a 的取值范围为2，12 2答案：2， 1 2对于较复杂的不等式恒建立问题，可借助函数图象解决，详细做法为：(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)， g(x)；(2)在同向来角坐标系下作出两个函数f(x)与 g(x)的图象；(3)比较当 x 在某一范围内取值时图象的上下地点来确立参数的取值．1．函数 y＝ 2log 4(1－ x)的图象大概是()分析：选 C.函数 y＝ 2log 4(1－ x)的定义域为 (－∞， 1)，清除 A ，B；函数 y＝2log 4 (1－ x) 在定义域上单一递减，清除 D.选 C.2．已知函数 f(x)＝log 2x， x>0，且对于 x 的方程 f( x)＋ x－ a＝ 0 有且只有一个实根，则3x， x≤ 0，实数 a 的取值范围是．分析：如图，在同向来角坐标系中分别作出y＝ f(x) 与 y＝－ x＋ a 的图象，此中 a 表示直线在 y 轴上的截距．由图可知，当 a>1 时，直线 y＝－ x＋a 与 y＝ log 2x 只有一个交点．答案： (1，＋∞ )对数函数的性质及应用(多维研究 )角度一比较对数值的大小(2019 高·考天津卷)已知a＝ log 27， b＝log 38， c＝0.30.2，则 a， b， c 的大小关系为 ()A ． c<b<a B． a<b<cC．b<c<a D． c<a<b【分析】因为a＝log27>log24＝2，b＝log38<log39＝2，且b＝ log 38>1， c＝ 0.30.2<0.30 ＝1，所以 c<b<a.应选 A.【答案】 A比较对数值的大小的方法角度二解简单的对数不等式或方程(一题多解 )已知函数 f(x)＝ log a x(a>0 且2 3，则 f (2x － 1)>0 的解集为 ()a ≠ 1)知足 f a <f a A ．(0， 1)B ． (－∞， 1)C ．(1，＋∞ )D ． (0，＋∞ )【分析】法一：因为函数 2 3 且f(x)＝ log a x( a>0 且 a ≠1) 在(0 ，＋ ∞ )上为单一函数，而 <a af 2 <f 3，所以 f( x)＝ log a x 在 (0，＋∞ )上是增添的，联合对数函数的图象与性质可得 f(2xa a－ 1)>0 ? 2x － 1>1，所以 x>1.法二：由 f2<f 3 知 log a 2>log a 3，a a aa 所以 log a 2－ 1<log a 3－ 1，所以 log a 2<log a 3，所以 a>1，由 f(2x － 1)>0 得 log a (2x － 1)>0 ，所以 2x －1>1 ，即 x>1.【答案】 C解对数不等式的函数及方法(1)形如 log a x>log a b 的不等式，借助 y＝ log a x 的单一性求解，假如a的取值不确立，需分 a>1 与 0<a<1 两种状况议论；(2)形如 log a x>b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式．角度三对数型函数的综合问题已知函数f(x)＝ log 4(ax2＋ 2x＋ 3)．(1)若 f(1)＝ 1，求 f(x)的单一区间；(2)若 f(x)的最小值为0，求 a 的值．【解】 (1) 因为 f(1) ＝ 1，所以 log 4(a＋ 5)＝ 1，所以 a＋5＝ 4，即 a＝－ 1，所以 f(x)＝ log4 (－ x2＋ 2x＋ 3)．由－ x2＋ 2x＋3>0 得－ 1<x<3，即函数 f(x)的定义域为 (－ 1， 3)．令 g(x)＝－ x2＋ 2x＋3.则 g(x)在 (－ 1， 1)上是增添的，在 [1， 3)上是减少的．又 y＝ log4x 在 (0，＋∞ )上是增添的，所以 f(x)的递加区间是(－ 1， 1)，递减区间是 [1， 3)．(2)若 f(x)的最小值为0，则 h(x)＝ ax2＋ 2x＋ 3 应有最小值 1，a>0 ，所以应有3a－ 1＝1，a1解得 a＝2.1故实数 a 的值为2.解与对数函数相关的函数的单一性问题的步骤1． (2019 高·考全国卷 Ⅰ)已知 a ＝ log 20.2，b ＝ 20.2， c ＝ 0.20.3，则 () A ． a ＜ b ＜ c B ． a ＜ c ＜ b C ．c ＜ a ＜ bD ． b ＜ c ＜ a分析：选 B.因为 a ＝ log 20.2<log 21＝ 0， b ＝20.2>20＝ 1， c ＝ 0.20.3<0.20＝ 1 且 c>0，所以 a<c1，A ．[－1，2]B ．[0， 2]C ．[1，＋∞ )D ． [0，＋∞ )分析：选 D. 当 x ≤ 1 时， 21－x ≤ 2，解得 x ≥ 0，所以 0≤ x ≤1；当 x>1 时， 1－ log 2x ≤ 2，1解得 x ≥ ，所以 x>1. 综上可知x ≥ 0.思想方法系列4 分类议论思想研究指数、对数函数的性质1 2已知函数 f(x)＝ log a (2x － a)(a>0 且 a ≠1) 在区间 [2， 3]上恒有 f(x)>0 ，则实数 a 的取值范围是 ()A ． ( 1， 1)B ． [ 1， 1)3 3 C ．( 2， 1) D ． [2， 1)3 3【分析】1 24 4 当 0<a<1 时，函数 f(x)在区间 [， ] 上是减函数，所以 log a (－ a)>0，即 0<2 333－ a<1，解得13<a<43，故 13<a<1；当 a>1 时，函数 f(x)在区间 [ 12， 23]上是增函数，所以 log a (1－a)>0 ，即 1－a>1 ，解得 a<0，此时无解．综上所述，实数 a 的取值范围是 (1， 1)．3【答案】 A此题利用了分类议论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数 a 的值进行分类议论，本质上分类议论就是“ 化整为零，各个击破，再集零为整” 的数学思想．已知函数y＝ a2x＋ 2a x－ 1(a>0 ，且a≠ 1)，当 x≥ 0 时，求函数的值域．解： y＝ a2 x＋ 2a x－ 1，令 t＝ a x，则 y＝ g( t)＝ t2＋2t－ 1＝ (t ＋1)2－ 2.当 a>1 时，因为 x≥ 0，所以 t≥ 1，所以当 a>1 时，y≥ 2.当 0<a<1 时，因为 x≥ 0，所以 0<t≤ 1.因为 g(0)＝－ 1， g(1)＝ 2，所以当 0<a<1 时，－ 1<y≤ 2.综上所述，当 a>1 时，函数的值域是 [2，＋∞ )；当 0<a<1 时，函数的值域是 (－ 1， 2]．[ 基础题组练 ]1．函数 y ＝ log 3（2x － 1）＋ 1的定义域是 ( )A ．[1， 2]B ．[1， 2)2，＋∞D. 2，＋∞C. 33log 3（ 2x － 1）＋ 1≥ 0，分析：选 C.由即2x － 1>0，331，log （ 2x －1） ≥ log3解得 x ≥ 2.应选 C.x>1，322．若函数 y ＝ f(x)是函数 y ＝ a x (a>0 且 a ≠1)的反函数，且f(2) ＝1，则 f(x) ＝()1 A ． log 2xB.2xC ．log 1xx －2D ． 22分析：选 A. 由题意知 f(x)＝log a x(a>0 且 a ≠1) ，因为 f(2) ＝1，所以 log a 2＝ 1，所以 a ＝ 2.所以 f(x)＝log 2x.应选 A.3．(2020 东·北三省四市一模 )若 a ＝ log 22，b ＝ 0.48，c ＝ ln 2，则 a ，b ，c 的大小关系是 ()5A ． a<c<bB ． a<b<cC ．c<b<aD ． b<c<a2 <log 21＝ 0，即 a<0， b ＝0.48<0.4< 1 1， c ＝ ln 分析：选 B.a ＝ log 22 ，又 0.48>0，所以 0<b< 5 2112＝ ln 4>ln e ＝ 2，即 c> 2，所以 a<b<c.应选 B.4．设函数 f( x)＝ log a |x|在 (－∞， 0) 上是增添的，则 f(a ＋ 1)与 f(2) 的大小关系是 ( )A ． f(a＋ 1)> f(2)C．f(a＋ 1)＝ f(2)分析：选 A. 由已知得0<a<1 ，所以B． f(a＋ 1)<f(2)D．不可以确立1<a＋ 1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故能够判断f(x)在 (0，＋∞ )上是减少的，所以 f(a＋ 1)>f(2) ．5．(2020 ·南平顶山模拟河)函数 f(x)＝ log a|x＋ 1|(a>0，a≠ 1)，当 x∈ (－ 1，0)时，恒有 f(x)>0 ，则()A ． f(x)在 (－∞， 0) 上是减函数B．f(x)在 (－∞，－ 1)上是减函数C．f(x)在 (0，＋∞ )上是增函数D． f(x)在 (－∞，－ 1)上是增函数分析：选 D. 由题意，函数 f(x)＝ log a|x＋ 1|(a>0 且 a≠ 1)，则说明函数f(x)对于直线x＝－1对称，当 x∈( －1，0)时，恒有 f(x)>0 ，即 |x＋ 1|∈ (0，1)，f(x)>0，则 0<a<1.又 u＝ |x＋ 1|在 (－∞，－ 1)上是减函数，在 (－ 1，＋∞ )上是增函数，联合复合函数的单一性可知，f(x)在 (－∞，－1) 上是增函数，选 D.6．已知函数y＝ log a (x－ 1)(a>0，a≠ 1)的图象过定点A，若点 A 也在函数f(x)＝ 2x＋ b 的图象上，则 f(log23)＝．分析：由题意得 A(2， 0)，所以 f(2)＝ 4＋b＝ 0， b＝－ 4，进而 f(log 23)＝ 3－ 4＝－ 1.答案：－17．若函数f(x)＝ log x(0<a<1) 在区间 [a， 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值a为．分析：因为 0<a<1，所以函数 f(x)是定义域上的减函数，所以 f(x)max＝ log a a＝ 1， f(x) min＝log a2a，所以 1＝3log a2a?2 a＝ (2a)3? 8a2＝ 1? a＝.42答案：48．已知函数 f(x) ＝log a(ax－ 3)在 [1， 3] 上是增添的，则 a 的取值范围是．分析：因为 a>0，且 a≠ 1，所以 u＝ ax－ 3 为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则 f(x)＝ log a u 必为增函数，所以 a>1.又 u＝ax－ 3 在 [1， 3]上恒为正，所以 a－ 3>0 ，即 a>3.答案： (3，＋∞ )x9．已知函数f(x－ 3)＝ log a(a>0， a≠ 1)．(1)求 f(x)的分析式；(2)判断 f(x)的奇偶性，并说明原因．3＋u解： (1)令 x － 3＝ u ，则 x ＝ u ＋ 3，于是 f(u) ＝log a(a>0， a ≠ 1，－ 3<u<3) ，3＋ x所以 f(x)＝ log a 3－ x (a>0， a ≠1，－ 3<x<3) ．3－ x3＋ x (2)因为 f(－x)＋ f(x)＝ log a＋ log a＝ log a 1＝0，3＋ x3－ x所以 f(－ x)＝－ f(x) ，又定义域 (－3， 3)对于原点对称．所以 f(x)是奇函数．10．设 f(x)＝ log a (1 ＋x)＋ log a (3 －x)( a>0 且 a ≠ 1)，且 f(1) ＝ 2.(1)务实数 a 的值及 f(x) 的定义域；(2)求 f(x)在区间 3上的最大值．0， 2解： (1)因为 f(1)＝ 2，所以 log a 4＝ 2(a>0， a ≠ 1)，所以 a ＝2.1＋ x>0 ，由得－ 1<x<3，3－x>0 ，所以函数 f(x)的定义域为 (－ 1，3)．(2)f(x)＝ log 2(1 ＋x) ＋log 2(3－ x)＝ log 2[(1 ＋ x)(3 －x)] ＝ log 2[ － (x － 1)2＋ 4]，所以当 x ∈ (－ 1， 1]时， f(x)是增函数；当 x ∈(1 ，3)时， f(x) 是减函数，故函数 f(x)在 0，3上的最大值是f(1)＝ log 24＝ 2.2[综合题组练 ]1． (2020 河·南新乡二模 )已知函数 f(x)＝ log 3(9x＋ 1) ＋ mx 是偶函数，则不等式 f(x) ＋ 4x<log 2 的解集为 ( )3A ． (0，＋∞ )B ． (1，＋∞ )C ．( －∞， 0)D ． (－∞， 1)x－ x＋ 1)＋m(－分析：选 C.由 f(x)＝ log 3(9 ＋ 1)＋ mx 是偶函数，得 f(－ x)＝ f( x)，即 log 3(9 x)＝ log 3(9x ＋ 1)＋mx ，变形可得 m ＝－ 1，即 f(x) ＝log 3(9x ＋1)－ x ，设 g(x)＝ f(x) ＋4x ＝ log 3(9 x ＋ 1)＋ 3x ，易得 g(x)在 R 上为增函数，且 g(0) ＝log 3 (90＋ 1)＝ log 32，则 f( x)＋ 4x<log 32? g(x)<g(0) ，则有 x<0，即不等式的解集为 (－∞， 0)．应选 C.2．设实数 a ，b 是对于x 的方程|lg x|＝ c 的两个不一样实数根，且a<b<10，则abc 的取值范围是．分析：由题意知，在 (0， 10)上，函数 y ＝|lg x|的图象和直线 y ＝ c 有两个不一样交点，所以|lg a|＝ |lg b|，又因为 y ＝ lg x 在 (0，＋ ∞ )上是增添的，且 a<b<10 ，所以 lg a ＝－ lg b ，所以 lg a＋ lg b＝ 0，所以 ab＝1， 0<c<lg 10 ＝ 1，所以 abc 的取值范围是 (0， 1)．答案： (0，1)a3．已知函数f(x) ＝lg x＋x－ 2 ，此中 x>0，a>0.(1)求函数 f(x)的定义域；(2)若对随意x∈ [2，＋∞ )恒有 f(x)>0 ，试确立 a 的取值范围．解： (1)由 x＋a－ 2>0 ，得x2－2x＋a>0. x x因为 x>0，所以 x2－ 2x＋ a>0.当 a>1 时，定义域为 (0，＋∞) ；当 a＝1 时，定义域为 (0， 1)∪ (1，＋∞ )；当 0<a<1 时，定义域为 (0， 1－ 1－a)∪ (1＋ 1－a，＋∞ )．(2)对随意 x∈ [2，＋∞ )恒有 f(x)>0，即 x＋a－ 2>1 对 x∈ [2，＋∞ )恒建立，x即 a>－x2＋3x 对 x∈ [2，＋∞ )恒建立，记 h(x)＝－ x2＋ 3x，x∈ [2，＋∞ )，则只要 a>h(x)max.而 h(x)＝－ x2＋ 3x＝－ x－ 3 2 ＋9在 [2，＋∞ )上是减函数，所以 h(x)max＝ h(2) ＝2，故 a>2.2 4。

2025年高考数学总复习课件13第二章第六节对数与对数函数

对数与对数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
【常用结论】
1.换底公式的变形
(1)logab·logba ＝ 1 ，即 logab ＝
1
a
，b均大于0且不等于1 ； 2 log am bn ＝
log b a
n
log M
log M
logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；(3)logNM＝ a ＝ b (a，
√
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A
核心考点
解析：函数f (x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象如图所示．故选A．
课时质量评价
第六节
对数与对数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
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(4，－1)
4．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．
a
x单调递减，故排除B，D.
1
a
对于A，C，由函数f (x)＝ x 的图象，可知0<a<1，对于函数g(x)＝lg ，g(1)＝lg
a
a<0，故A正确，C错误．
x
第六节
对数与对数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
2．已知函数f (x)＝|ln x|.若0<a<b，且f (a)＝f (b)，则2a＋b的取值范围是(
移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不
确定时应注意分类讨论．
第六节
对数与对数函数

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文【最新考纲】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．会画底数为2，10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a x＝N(a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b(a ＞0，且a≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M·N)＝log a M ＋log a N ，②log a M N ＝log a M －log a N ，③log a M n＝nlog a M (n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.( )(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )(4)当x＞1时，若log a x＞log b x，则a＜b.( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1，0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1，0＜c ＜1解析：由图象可知y ＝log a (x ＋c)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.答案：D3．(2015·四川卷)lg 0.01＋log 216的值是________．解析：lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224＝－2＋4＝2. 答案：24．(2015·北京卷)2－3，312，log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＝123＝18＜1，1＜312＝3＜2，log 25＞log 24＝2，所以三个数中最大的数是lo g 25. 答案：log 255．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)两种关系1．a b＝N ⇔log a N ＝b(a ＞0，a ≠1，N ＞0)．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．两点注意1．在无M ＞0的条件下，log a M n＝nlog a |M|(n∈N *，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时，务必先研究函数的定义域．对数函数的单调性取决于底数a ，应注意底数的取值范围．两类方法1．对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化为同真数后利用图象比较．2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．一、选择题1．2lg 2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：2lg 2－lg 125＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫22÷125＝lg 100＝2.答案：B2．(2016·石家庄一模)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析：因为312＞1，0＜log 1312＜1，c ＝log 213＜0所以a ＞b ＞c. 答案：A4．函数f(x)＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )解析：f(x)＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x|的图象可知选D. 答案：D5．(2016·唐山统考)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：要使函数f(x)的值域为R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a＜12.答案：C 6．设f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f(x)＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：由f(x)是奇函数可得a ＝－1， ∴f(x)＝lg 1＋x1－x 的定义域为(－1，1)．由f(x)＜0，可得0＜1＋x1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A二、填空题7．(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278.答案：2788．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．解析：x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，则y≤log 128＝－3，即函数的值域为(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]9．(2015·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b)取得最大值．解析：由于a ＞0，b ＞0，ab ＝8，所以b ＝8a.所以log 2a ·log 2(2b)＝log 2a ·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a)＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b)取得最大值4. 答案：4 三、解答题10．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a ＞0且a ≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值集合．解：(1)f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x ＜1}内是增函数，所以f(x)＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f(x)＞0的x 的解集是{x|0＜x ＜1}．11．设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12log a (ax)·log a (a 2x)(a ＞0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解：由题意知f(x)＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f(x)取最小值－18时，log a x ＝－32，又∵x∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f(x)是关于log a x 的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． ①若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，此时f(x)取得最小值，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．②若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。

2021新高考一轮复习专题2.6 对数及对数函数(解析版)

第六讲对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b= 。

（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。

【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5b =225∴a =log 3225, b =log 5225则1a+1b=log 2253+log 2255=log 22515=12（3）∵log a 2=m ，log a 5=n ，∴a m =2，a n =5 ∴a 3m+n =a 3m ⋅a n =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为．【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ .【答案】 10【解析】由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .【答案】 1【解析】原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．【答案】 x ＝log 32【解析】原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( )A ．3B ．−3C ．−log 36D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数f(x) 为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，f(x)=log 2x ，所以f (18)=−3。

高考数学理科一轮复习第二章第六节对数与对数函数完美

自学区抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
对数的概念、性质及运算
如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，概念记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，logaN
叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔__x_＝__lo_g_a_N____
(1)原式＝
lg 32－2lg 3＋132lg 3＋3lg 2－32 lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1
＝1l－g 3l－g 31·32·llgg33＋＋22llgg22－－11＝－32.
(2)原式＝llgg
23＋llgg
2 lg 9·lg
＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
答案：2
log 3
(3)4 2
＝________.
解析：4
loቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23 ＝2
2
log23＝2
log 9 2
＝9.
(4)log225·log34·log59＝________.
解析：原式＝llgg225·llgg
4 lg 3·lg
lg(ab)·lgab2＝ A．2
B．4
()
C．6
D．8
解析：由已知，得 lg a＋lg b＝2，即 lg(ab)＝2.又 lg a·lg b＝12，所以 lg(ab)·lgab2＝2(lg a－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b] ＝2×22－4×12＝2×2＝4，故选 B. 答案：B
A．1
B．0
C．2
D．4
解析：原式＝1＋lg
2·lg

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-6-第6讲-对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N?log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b aa>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________．解析：由题意知f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13，b＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______，2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________．【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 23 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________．解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)，由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得，－3m＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ，因为m >0，n >0，所以n m ＋m n≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)，故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________．解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题．角度一求对数型函数的定义域函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )【解析】要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1，54<x ≤32.故函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二比较对数值的大小(1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f ，c ＝f ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>>log 24＝2>，且函数f (x )是增函数，所以c log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .【答案】 (1)C (2)A 角度三解对数不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】 C角度四与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称可得，y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)B (2)[1，2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是( )≤a <14或a >1B ．a >1 ≤a <14≤a ≤14或a >1解析：选A.令t ＝|ax 2－x |，y ＝log a t ，当a >1时，外函数为递增函数，所以内函数t＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递增函数，所以1a <3或4≤12a ，解得a >13或a ≤18，所以a >1，当0<a <1时，外函数为递减函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递减函数，12a ≤3<4<1a ，解得16≤a <14，综上所述，16≤a <14或a >1，故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )＝lg(2x －4)，则方程f (x )＝1的解是________，不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为f (x )＝1，所以lg(2x －4)＝1，所以2x －4＝10，所以x ＝7；因为f (x )<0，所以0<2x －4<1，所以2<x <，所以不等式f (x )<0的解集是(2，．答案：7 (2，思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，因为x ∈[－32，0]，所以t ∈[－1，0]．(1)若a >1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为增函数，所以a t∈[1a，1]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为减函数，所以a t∈[1，1a]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )D ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝ax －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2]C ．[2，＋∞)∪[2，＋∞)解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B.7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，所以a ＝2k，b ＝5k，a ＋b ＝10k，所以ab ＝10k，所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1. 得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f (x )＝log 12(a x－3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1，由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 121＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min >a －2－3≥0，解得0<a ≤33. [综合题组练]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x ＝3y ＝5z＝k >1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15 4．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)，由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)，即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)，即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。

2.6对数与对数函数高三数学总复习讲义Word版含答案

§对数与对数函数最新考纲考情考向剖析1.理解对数的观点及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转变成自然对数或常用对数；认识对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的观点及其单一性，以比较对数函数值大小的形式考察函掌握对数数的单一性；以复合函数的形式考察对函数图象经过的特别点，会画底数为2,3,10，数函数的图象与性质，题型一般为选1，1的对数函数的图象．择、填空题，中低档难度.233.领会对数函数是一类重要的函数模型．4.认识指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.1．对数的观点一般地，假如a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，此中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法例(1)对数的运算法例假如a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：log a(MN)＝log a M＋log a N；M②log a N ＝log a M－log a N；log a M n＝nlog a M(n∈R)．(2)对数的性质a log a N＝__N__；②log a a N＝__N__(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式log c blog a b＝log c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，性质y<0y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a>0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)互为反函数，它们的图象对于直线y ＝x 对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论1(1)log a b ＝；log a m bn ＝n log a b.m此中a>0且a ≠1，b>0且b ≠1，m ，n ∈R .2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可获得以下规律：在第一象限内从左到右底数渐渐增大．题组一思虑辨析1．判断以下结论能否正确(请在括号中打“√”或“×” )(1)若MN>0，则log a (MN)＝log a M ＋log a N.(× )(2)对数函数 y ＝log a x(a>0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )1＋x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域同样．(√)(3)函数y＝ln1－x1，－1，函数图象只在第(4)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，a一、四象限．(√)题组二教材改编2．[P68T4]log29·log34·log45·log52＝________.答案21113．[P82A组T6]已知a＝23，b＝log23，c＝log213，则a，b，c的大小关系为________．答案c>a>b分析∵0<a<1，b<0，c＝log 1213＝log23>1.c>a>b.4．[P74A组T7]函数y＝log2(2x1)的定义域是______．3答案1，1 2分析由log2(2x1)≥0，得0<2x－1≤1.31<x≤1.∴2∴函数y＝log2(2x1)的定义域是1，1.32题组三易错自纠5．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则以下等式必定建立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c答案B6．已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，此中a>0，a≠1)的图象如图，则以下结论建立的是()A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C ．0<a<1，c>1D ．0<a<1,0<c<1答案D分析由该函数的图象经过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x 轴的交点在区间 (0,1)之间，∴该函数的图象是由函数 y ＝log a x 的图象向左平移不到 1个单位后获得的，∴0<c<1.37．若log a 4<1(a>0且a ≠1)，则实数 a 的取值范围是 ______________．3∪(1，＋∞)答案 0，4分析当0<a<1时，log a 3<log a a ＝1，∴0<a< 3；4 43当a>1时，log a 4<log a a ＝1，∴a>1.3∴实数a 的取值范围是0，4∪(1，＋∞).题型一对数的运算1．设2a＝5b＝m ，且1＋1＝2，则m 等于()abA.10B ．10C ．20D ．100答案 A分析由已知，得 a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，1 1 1 1则a ＋b ＝log 2m ＋log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝ 10.1－lg251÷2＝________. 2．计算：lg 4100答案－2011分析原式＝(lg2－2－lg52)×1002 ＝lg 22×52×10＝ lg10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算： 1－log 632＋log62·log 618＝________.log 64答案 1分析原式2 61－2log 63＋log 63 ＋log 63·log 66×3＝log 641－2log 63＋log 632＋1－log 632＝log 64 21－log63＝log 66－log 63＝log 62＝1. 2log 62log 62log 62思想升华对数运算的一般思路(1)拆：第一利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，而后利用对数运算性质化简归并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，而后逆用对数的运算性质，转变成同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用典例 (1)若函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)的图象以下图，则以下函数图象正确的选项是()答案 B分析由题意y ＝log a x(a>0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝1 x ，3明显图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x)3＝－x 3，明显与所绘图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x)的图象与 y ＝log 3x 的图象对于 y 轴对称，明显不符，应选B.(2)当0<x≤1时，4x<log a x，则a的取值范围是() 222 A.0，2 B.2，1 C．(1，2)D．(2，2)答案B分析由题意得，当0<a<1时，要使得4x<log a x0<x≤1，即当0<x≤1时，函数y＝4x的图221时，1＝2，即函数y＝4x的图象过点1，2.把点象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝42221代入y＝log a x，得a＝2y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方，则需2，22.若函数22<a<1(以下图)．当a>1时，不切合题意，舍去．所以实数a的取值范围是2. 2，1引申研究若本例(2)变成方程4x＝log a x在0，1上有解，则实数a的取值范围为__________．2答案20，2分析若方程4x＝log a在0，1上有解，则函数y＝4x和函数y＝log a x在0，1上有交点，x220<a<1，21解得0<a≤由图象知2.log a≤2，2思想升华(1)对一些可经过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单一性(单一区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形联合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转变成相应的函数图象问题，利用数形联合法求解．追踪训练(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大概是()C答案分析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，清除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单一递减，清除 D.应选C.log2x，x>0，且对于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一(2)(2017衡·水调研)已知函数f(x)＝3x，x≤0，个实根，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)分析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，此中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单一性典例(1)(2018届河南信阳高中大考)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a答案A分析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，log43>log53>log63，∴a>b>c.(2)(2017江·西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)答案D分析由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒建立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单一递减，则a≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，2应选D.命题点2和对数函数相关的复合函数典例已知函数f(x)＝log a(3－ax)(a>0且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒存心义，务实数a的取值范围；(2)能否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，而且最大值为1？假如存在，试求出a的值；假如不存在，请说明原因．解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒存心义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒建立．3∴3－2a>0.∴a<2.3又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪1，2.(2)假定存在这样的实数 a.t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log a t为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝log a(3－a)，33－2a>0，a<2，∴即log a3－a＝1，3a＝2.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，而且最大值为1.思想升华(1)利用对数函数单一性时要注意真数一定为正，明确底数对单一性的影响．(2)解决与对数函数相关的复合函数问题，第一要确立函数的定义域，依据“同增异减”原则判断函数的单一性，利用函数的最值解决恒建立问题．追踪训练(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案D分析a＝log32<log33＝1，b＝log52<log55＝1.12又c＝log23>log22＝1，所以c最大．3 1由1<log23<log25，得log23>log25，即a>b，所以c>a>b.(2)已知函数f(x)＝log a(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒建立，则实数a的取值范围是__________．答案81，3分析当a>1时，f(x)＝log a(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒建立，则f(x)min＝log a(8－2a)>1，且8－2a>0，8解得1<a<3.当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒建立，则f(x)min＝log a(8－a)>1，且8－2a>0.∴a>4，且a<4，故不存在．8综上可知，实数a的取值范围是1，3.比较指数式、对数式的大小考点剖析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，能够利用函数的单一性，引入中间量；有时也可用数形联合的方法．(2)解题时要依据实质状况来结构相应的函数，利用函数单一性进行比较，假如指数同样，而底数不一样则结构幂函数，若底数同样而指数不一样则结构指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例(1)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a答案A1分析由于a＝logπ>logb2log23＝(log23)23<log22＝1，所以a>b，又c＝1>1，333＝1，b＝log22log32 c>0，所以b>c，故a>b>c.(2)(2017新·乡二模)设a＝6，b＝log，c＝log8，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a1，b＝log∈(0,1)，c＝log80.4<0，∴a>b>c.应选B.(3)若实数a，b，c知足log a2<log b2<log c2，则以下关系中不行能建立的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案A分析由log a2<log b2<log c2的大小关系，可知a，b，c有以下四种可能：①1<c<b<a；0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.比较选项可知A中关系不行能建立．(4)(2017石·家庄一模)已知函数y＝f(x＋2)的图象对于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f 1，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是() 4A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b 答案B分析易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f 1＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，x1f(x)＝log2x单一递加，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f4＝f(4)，所以b>a>c.1．设a＝log37，b＝2，c＝，则()A．b<a<cB．c<a2.c＝，∴0<c<1.即c<a<b，应选B.2．(2017·义模拟孝)函数y＝lnsinx(0<x<π)的大概图象是()答案C分析由于0<x<π，所以0<sinx≤1，所以lnsinx≤0，应选C.3．已知函数log2x，x>0，则f(f(1))＋flog31的值是()－f(x)＝3x＋1，x≤0，2A．5B．37 C．－1 D.2答案A分析由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，1－1log32＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，flog3＝321所以f(f(1))＋flog32＝5.4．(2017北·京)依据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观察宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则以下各数中与M最靠近的是()(参照数据：lg3≈0.48) NA．1033B．1053C．107393D．10答案D由题意，lg M336136180分析N＝lg1080＝lg3－lg10361lg3－80lg10≈361×－80×1＝93.28.又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，故与MN最靠近的是1093.应选D.exe 2e2012e 5．(2017江·西红色七校二模 )已知函数f(x)＝ln e －x ，若f2013 ＋f2013＋＋f2013 ＝503(a ＋b)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12答案 B分析 ∵f(x)＋f(e －x)＝2，e2e 2012e∴f 2013＋f2013＋＋f 2013 ＝2012，∴503(a ＋b)＝2012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥a ＋b 2＝8，2当且仅当 a ＝b ＝2时取等号．6．若函数23 1，＋∞内恒有f(x)>0，则f(x)的单一递加f(x)＝log a x＋x(a>0，a ≠1)在区间 22区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)1，＋∞D.2答案 A231分析令M ＝x ＋2x ，当x ∈ 2，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝x ＋32－ 9，416所以M 的单一递加区间为－3，＋∞.4233又x ＋ 2x>0，所以x>0或x<－2，所以函数 f(x)的单一递加区间为 (0，＋∞)．7．函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单一递加区间是__________．1答案－，＋∞1分析函数f(x)的定义域为－2，＋∞，令t ＝2x ＋1(t>0)．由于y ＝log 5t 在(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在－1，＋∞上为增函数，2所以函数y ＝log 5－1，＋∞.(2x ＋1)的单一递加区间是221－x ，x ≤1，8．设函数f(x)＝则知足f(x)≤2的x 的取值范围是__________．1－log 2x ，x>1，答案 [0，＋∞)分析当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；1当x>1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥2，所以x>1.综上可知 x ≥0.9．(2017·昌模拟南)设实数a ，b 是对于x 的方程|lgx|＝c 的两个不一样实数根，且a<b<10，则abc 的取值范围是________．答案(0,1)分析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lgx|的图象和直线y ＝c有两个不一样交点，∴ab ＝1,0<c<lg10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知a>b>1.若log a b ＋log b a ＝ 5，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.2答案 425 1 5 1分析令log a b ＝t ，∵a>b>1，∴0<t<1，由log a b ＋log b a ＝2，得t ＋t ＝2，解得t ＝ 2或t ＝2( 舍去)，即log a b ＝1，∴b ＝a ，又a ba，即a ＝a，解得a ＝＝b a ，∴a a ＝(a)a ，即aa＝a 24，22b ＝2.1 211．已知函数 f(x)＝log a (2x －a)在区间 2，3上恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是________．1答案3，1分析当0<a<1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以 4－a4，2 3 log a 3>0，即0<3－a<111 41又2×2－a>0 ，解得 3<a<3，且a<1 ，故 3<a<1；1 2当a>1时，函数f(x)在区间2，3上是增函数，1所以log a (1－a)>0，即1－a>1，且2×2－a>0，解得a<0，且a<1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是1，1 .312．(2018·沙模拟长)已知函数 f(x)是定义在R 上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝ log 1x .2(1)求函数f(x)的分析式；2(2)解不等式 f(x －1)>－2.解(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log 1( x)．2由于函数 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)．所以x<0时，f(x)＝log 1(x)，2所以函数f(x)的分析式为log 1x ，x>0，2f(x)＝0，x ＝0，log 1(x)，x<0.2(2)由于f(4)＝log 14＝－2，f(x)是偶函数， 2所以不等式 f(x 2－1)>－2可化为f(|x 2－1|)>f(4)．又由于函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－ 5<x<5且x ≠±1，而x 2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以－5<x<5.13．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则()A．(a－1)(b－1)＜0B．(a－1)(a－b)＞0C．(b－1)(b－a)＜0D．(b－1)(b－a)＞0答案D分析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a 1时，0＜b＜a＜1，代入考证只有D知足题意．14．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝1x－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，2则实数m的取值范围是()1，＋∞B.－∞，1A.441D.－∞，－1C.2，＋∞2答案A分析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝1－m，由题意可知原条4件等价于f(x)min≥g(x)min，11即0≥4－m，所以m≥4，应选A.x2＋115．对于函数f(x)＝lg|x|(x≠0，x∈R)有以下命题：①函数y＝f(x)的图象对于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．此中是真命题的序号为________．答案①③④分析x2＋1∵函数f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，明显f(－x)＝f(x)，|x|即函数f(x)为偶函数，图象对于y轴对称，故①正确；x 2＋1x 2＋1 1 1 1当x>0时，f(x)＝lg|x|＝lgx＝lgx ＋x ，令t(x)＝x ＋x ，x>0，则t ′(x)＝1－x 2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x)<0，t(x)单一递减，当 x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)>0，t(x)单一递加，即f(x)在x ＝1处获得最小值lg2.由偶函数的图象对于 y 轴对称及复合函数的单一性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.x ＋116．(2017厦·门月考)已知函数f(x)＝ln x －1.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；x ＋1m恒建立，务实数m 的取值范围．(2)对于x ∈[2,6]，f(x)＝ln x －1>ln x －17－x解(1)由x ＋1>0，解得x<－1或x>1，x －1∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln－x ＋1x －1＝ln－x －1x ＋1x ＋1 －1＝－lnx ＋1＝ln＝－f(x)， x －1x －1∴f(x)＝ln x ＋1是奇函数．x －1x ＋1 m x ＋1 m(2)∵x ∈[2,6]时，f(x)＝ln >lnx －17－x恒建立，∴>>0，x －1x －1x －17－xx ∈[2,6]，∴0<m<(x ＋1)(7－x)在[2,6]上恒建立．令g(x)＝(x ＋1)(7－x)＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知， x ∈[2,3]时函数g(x)单一递加，x ∈[3,6]时函数g(x)单一递减，∴当x ∈[2,6]时，g(x)min ＝g(6)＝7，∴ 0<m<7.。

对数函数含答案

一、对数函数的图像及性质①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：()0,+∞；值域：R ；过点()1,0，即当1x =时，0y =. 当0a >时，在()0,+∞上是增函数；当01a <<时，在()0,+∞上是减函数。

二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y x =对称.。

题型一对数函数的基本性质【例1】下面结论中，不正确的是A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】两个函数的定义域不同，2log a y x =的定义域为{}|0,x x x R ≠∈，而2l o g ay x =的定义域为{}|0,x x x R >∈.【答案】C【例2】图中的曲线是log a y x =的图象，已知a的值为43，310，15，则相应曲线典例分析板块二.对数函数1234,,,C C C C 的a 依次为（）.A. 43，15，310B. 43，310，15C. 15，310，43D. 43310，15【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例3】当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（）.A B C D 【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例4】设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（）.B. 2C. D. 4 【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】2007年,全国卷.高考【解析】【答案】D【例5】若23log 1a <，则a 的取值范围是A.203a <<B.23a >C.213a <<D.203a <<或a ＞1【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】显然答案中应该包括1，而只有B 选项包含1，故应选B. 【答案】B【例6】比较两个对数值的大小：ln 7 l n 12 ； 0.5log 0.7 0.5l o g 0.8. 【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】 <, > ；【例7】若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）.A. 1m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<< 【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【答案】C【例8】已知111222log log log b a c <<，则（）A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b >>【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】2005年，天津文，高考【解析】 ≧1012<<，111222log log log b a c <<∴b a c >>，又21>，∴222b a c >>【答案】A【例9】下列各式错误的是（）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【答案】B【例10】下列大小关系正确的是（）.A. 30.440.43log 0.3<<B. 30.440.4log 0.33<<C. 30.44log 0.30.43<<D. 0.434log 0.330.4<<【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】2005年，山东卷文，高考【解析】在同一坐标系中分别画出0.4x y =，3x y =，4log y x =的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【答案】C【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】做直线y =1，与三个图象分别交于横坐标为,,a b c 三点，显然b a c <<，故选A【答案】A【例12】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =.由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称.两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【答案】两个函数图象关于直线y x =对称.【例13】如果log 2log 20a b <<，那么a ，b 的关系及范围.【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由log 20log 1a a <=，可判断01a <<，同理可得01b <<；然后比较两个同真数的对数的大小，利用换底公式很快可找到大小关系.log 20a <即log 2log 1a a <，∴01a <<，同理可得01b <<. 又log 2log 20a b <<，∴110log 2log 2a b >>，即22log log b a <， ∴b a <.即01b a <<<【答案】01b a <<<【例14】若log 2log 20a b <<，则（）A.01a b <<<B.01b a <<<C.1a b >>D.1b a >>【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】法一≧log 2log 20a b <<，即22110log log a b<<，≨22log log 0b a <<，≨01b a <<<；法二由log 2log 20a b <<得01a b <<、，再由对数函数的图象得01b a <<<；【答案】B.【例15】若log 3log 3m n <，求m n 和的关系。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A版

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A 版第六节对数对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。

②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N＝log a M －log a N 。

③log a M n＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

对数函数(讲解)复习含答案

对数函数（讲解）复习1．定义一般地，对于指数式ba N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作，即log a bN （0a且1a）其中，数a叫做对数底数，N 叫做真数． 2．对数运算（1）对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：i.log log log ()a a a M N M N +=⋅；（对数的和等于积的对数）推广1212log (...)log log ...log a k a a a kN N N N N N ⋅=+++ii.log log log a a aM M N N-=；（商的对数等于对数的差）iii.log log (R)a a M M ααα=∈iv.1log log aa Nn= （2）换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>）（3）关于对数的恒等式例题【例1】求值：（1）2572lg3lg7lglg 94++-；（2）3；（4）32516log 4log 9log 5⋅⋅．【例2】25log ()a -（0a ≠）化简得结果是（）．A ．a -B ．2aC ．aD ．a【例3】化简4839(log 3log 3)(log 2log 2)＝________．【例4】公式推导（1）log n a a n =；（2）log log log a a aMM N N-=．（3）log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．【例5】若0a，2349a，则23log a ＝________．二、对数函数1. 定义：函数log a y x =（0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2. 对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：3. 根据图像比较对数函数底数的大小曲线1234C C C C ，，，log log log log a b c d yx yx yx yx ，，，的图像．（1）由图像得01ab dc ．（2）当底数大于1时，底数越大图像越靠近x 轴，当底数小于1时，底数越小于靠近x 轴．（3）指数函数log a yx 与1log ayx（0a >且1a ≠）的图像关于x 轴对称．（4）函数值的大小比较①底数相同真数不同当底数大于1时，真数越大函数值越大．当底数小于1时真数越大函数值越小．②指数相同真数不同可采用函数图像法，底数大于1时，真数相同底数越大函数值越小，底数小于1时，真数相同底数越小函数值越小．③底数不同真数不同找中间值（一般为1），用原来的两个值与中间值比较．例题【例1】若函数1()104()401x x x f x x，，，，，则4(log 3)f （）A ．13B ．3C ．14 D ．4【例2】解下列方程（1）22313(log )log 30x x （2）4log (26)xx【例3】已知函数()()()lg 10x xf x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的解集是__________【例4】已知0,1a a >≠，函数x y a =与log ()a y x =-在同一坐标系中的图象可以是（）【例5】设3log 6a，5log 10b，7log 14c，则（）A ．cb a B ．bc a C ．a c b D ．a b c【例6】图中的曲线是log a y x =的图象，已知a12，2，则相应曲线1234C C CC ，，，的a 依次为（）．A12，2 B2，12Ｃ．Ｂ．C ．212 D ．2，12 【例7】函数3()|log |f x x 在区间[]a b ，上的值域为[01]，，则b a 的最小值为________．【例8】函数2lg(20)y x x =-的值域是___________A ．0y >B ．R y ∈C ．0y >且1y ≠D ．2y ≤【例9】设01a ，函数2()log (22)xx a f x a a ，则使()0f x 的x 的取值范围是( )A ．(0)， B ．(0)，C ．(log 3)a ， D ．3(log )，【例10】已知()log 2xa y a =-在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.对数函数（讲解）复习参考答案一、对数例题【例1】求值：（1）2572lg3lg7lglg 94++-；（2）3；（4）32516log 4log 9log 5⋅⋅．【解析】（1）2572542lg3lg7lglg lg(97)lg10029497++-=⨯⨯⨯==；（2）1lg55313lg55==；（35111log 322453⨯===；（4）32516lg 4lg9lg52lg 22lg3lg51log 4log 9log 5lg3lg 25lg16lg32lg54lg 22⨯⨯⋅⋅=⨯⨯==⨯⨯．【答案】（1）2，（2）53，（34）12．【例2】25log ()a -（0a ≠）化简得结果是（）．A ．a -B ．2aC ．aD ．a【答案】C 【例3】化简4839(log 3log 3)(log 2log 2)＝________．【答案】54【例4】公式推导（1）log n a a n =；（2）log log log a a aM M N N-=．（3）log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．【解析】（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =．所以log n a a n =．（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =．因为pp q q M a a N a -==，则log log log aa a M p q M N N=-=-．所以，log log log a a aMM N N-=．（3）设log c b m =，log c a n =，log a b p =，则m c b =，n c a =，p a b =．从而()n p m c b c ==，即np m =．由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=．所以，log log log c a c bb a=．【例5】若0a ，2349a，则23log a ＝________．【答案】3 【解析】∵2349a，∴，2322334log log 29a ∴232log 23a，∴23log 2a．二、对数函数例题【例11】若函数1()104()401x x x f x x，，，，，则4(log 3)f （）A ．13B ．3C ．14 D ．4【答案】B【例12】解下列方程（1）22313(log )log 30x x （2）4log (26)x x 【解析】（1）2223133333(log )log 3(log )2log 3(log 3)(log 1)x x x xxx3log 3x或3log 1x，解得27x 或13x．（2）由4log (26)x x 得44log (26)log 4xx ，即2(2)26(23)(22)0x xxx23x或22x（舍去）所以2log 3x【例13】已知函数()()()lg 10x xf x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的解集是__________【答案】{|2}x x【解析】()()lg 0x xf x a b =->，得1xx a b ，令()x x g x a b （10a b ），所以()g x 为R 上的增函数，由221a b -=，所以2x ．【例14】已知0,1a a >≠，函数x y a =与log ()a y x =-在同一坐标系中的图象可以是（）【答案】B 【例15】设3log 6a，5log 10b ，7log 14c ，则（）A ．cb a B ．bc a C ．a c b D ．a b c【答案】D【例16】图中的曲线是log a y x =的图象，已知a12，2，则相应曲线1234C C C C ，，，的a 依次为（）．A12，2B2，12C ．212D ．2，12 【答案】B【例17】函数3()|log |f x x 在区间[]a b ，上的值域为[01]，，则b a 的最小值为________．【答案】23【解析】如图所示为3()|log |f x x 的图象，当()0f x 时，1x，Ｄ．Ｂ．当()1f x 时，3x或13，故要使值域为[01]，则定义域为1[3]3，或1[1]3，或[13]，，所以b a 的最小值为23．【例18】函数2lg(20)y x x =-的值域是___________A ．0y >B ．R y ∈C ．0y >且1y ≠D ．2y ≤【答案】D【解析】由于2020100x x <-≤，∴2lg(20)2y x x =-≤．【例19】设01a ，函数2()log (22)xx a f x a a ，则使()0f x 的x 的取值范围是( )A ．(0)， B ．(0)，C ．(log 3)a ， D ．3(log )，【答案】C 【解析】()f x 2log (22)log 1xx a a a a ，因为01a ，所以2221x xa a ，即2()214x x a a 即12xa 或12x a ，所以3x a 或1xa (舍去)，因此log 3a x ，故选C ．【例20】已知()log 2xa y a =-在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【答案】01a <<或12a << 【解析】∵0a >且1a ≠当1a >时，函数2x l a =->0是减函数由()log 2x a y a =-在［0，1］上x 的减函数，知2log y l =增函数，∴1a > 由x ∈［0，1］时，220x a a ->->,得2a <, ∴12a <<当01a <<时，函数2x l a =->0是增函数由()log 2x a y a =-在［0，1］上x 的减函数，知2log y l =是减函数，∴0a <<由x ∈［0，1］时，2210x a ->->, ∴01a << 综上述，01a <<或1a <<。

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第6节对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，
1
2的对数函数的
图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且
a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.
知识梳理
1.对数的概念
如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N
＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；
④log a m M n＝n
m log a
M (m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：log b N＝log a N
log a b
(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
1
(1)log a b
＝
1 log b
a；(2)log a m
b n＝
n
m log a
b.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
1
a，－1，函数图象只在第一、四象限.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )
(3)函数y＝ln
1＋x
1－x
与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b.( )
解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错.
(2)形如y＝log a x(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.
(4)当x＞1时，log a x＞log b x，但a与b的大小不确定，故(4)错.
答案(1)×(2)×(3)√(4)×
2.(必修1P73T3改编)已知a＝2－
1
3
，b＝log2
1
3
，c＝log1
2
1
3
，则( )
A.a>b>c
B.a>c>b
1
1
C.c >b >a
D.c >a >b
解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 121
3＝log 23>1.
∴c >a >b . 答案 D
3.(必修1P74A7改编)函数y ＝
log 2
3
（2x －1）的定义域是________.
解析由log 23
(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1. ∴1
2<x ≤1. ∴函数y ＝log 2
3（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦
⎥⎥
⎤
12，1.
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤12，1
4.(2018·嘉兴调研)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0
B.2
C.4
D.6
解析原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25)＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D
5.(2019·武汉月考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )。