高等数学12_1数列的极限1
合集下载
高等数学_第一讲__极限与连续
如果 x 只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下 面的定义： 定义 2 如果当 x >0 且无限增大时，函数 f ( x) 无
限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当
x 趋向于正无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) A .
x 1, x 0 2 例 1 试求函数 f ( x) x , 0 x 1 在 x 0和 1, x 1
x 1处的极限.
解析： 因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1，而
; ( 2 ) lim
3n 2 2n 1
2
; ( 3 ) lim
2n 1
2
;
【解析】 （ 1 ） lim
2
( 1) n n
n
0;
（2） lim
3n 2n 1 n 1
2
n
lim
3
2 n
1 n2
1 n2
n
1
3;
（ 3 ） lim
n
2
2n 1 n 1
注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.
推论 1 常数可以提到极限号前，即
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA .
推论 2 若 m 为正整数，则lim[ f ( x)]m =[lim f ( x)]m = Am .
结论： 一般地， 多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处 的函数值，即 lim(an x n an1 x n1
高等数学 第二节 数列的极限
"" 表示"至少有一个" 或"存在".
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
高等数学 极限
有限个(至多只有 N个) 落在其外 .
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
高等数学12数列的极限
数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb，且
a b，那 N N , nN ,有 xn yn .
么
证明：
lni m xna,lni m ynb，且 a b.
取 a b , 由极限定义知：
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列，假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a ,
故
lim
n
xn
a
.
例： 证明 lim ( 1 1 1 )存在，
n n2 1 n22
高等数学 第二节 数列的极限
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↓ .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .
数列极限第一节
课题：数列的极限时间：2011年9月13日授课班级：高二（8）（5）班一、教学内容分析极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.五、教学过程设计一、引入1、创设情境，引出课题１．数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。
若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称:f N R+→或+∈Nnnf),(为数列。
若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
２．数列的例子：（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭； （2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭（3）{}2:1,4,9,16,25,n ； （4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、数列极限的概念：１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12，第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，…，第n 天截下1111222n n -⋅=，… 得到一个数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21： 231111,,,,,2222n不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于零。
高等数学教案(极限部分)1 数列极限
4
一、两个实例
例 割圆术 “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” 三世纪) ——刘 徽 (三世纪) 刘
5
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
LL
LL
R
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
1 Xn = 1 − n 2
1
7
( n → ∞ ).
二、数列的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x 2 ,L x n , L
称为数列. 简记为 {xn }, 其中 x n 称为数列 { x n }的 称为数列 通项, 或者一般项 通项 或者一般项. 一般项 如
1 1 1 1 , , ,L , n ,L ; 2 4 8 2
n→∞
使得 n > N, 有 xn与a 同号 同号.
25
证 不妨设a > 0, 因 lim xn = a, n→∞ a 对于 ε = > 0, ∃ N ∈Z + , 使得n > N, 2 a a xn − a < , ⇒ xn − a > − , 2 2 a a 因此有 xn > a − = > 0. 2 2
k→∞
证
由 lim xn = a,
n→∞
∀ε > 0, ∃ N ∈Z + ,
恒有 | xn − a | < ε ,
得 使 ∀n > N,
K k 取 = N, 则当 > K, 必有
nk > nK = nN ≥ N, 于是有 | xn − a | < ε ,
一、两个实例
例 割圆术 “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” 三世纪) ——刘 徽 (三世纪) 刘
5
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
LL
LL
R
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
1 Xn = 1 − n 2
1
7
( n → ∞ ).
二、数列的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x 2 ,L x n , L
称为数列. 简记为 {xn }, 其中 x n 称为数列 { x n }的 称为数列 通项, 或者一般项 通项 或者一般项. 一般项 如
1 1 1 1 , , ,L , n ,L ; 2 4 8 2
n→∞
使得 n > N, 有 xn与a 同号 同号.
25
证 不妨设a > 0, 因 lim xn = a, n→∞ a 对于 ε = > 0, ∃ N ∈Z + , 使得n > N, 2 a a xn − a < , ⇒ xn − a > − , 2 2 a a 因此有 xn > a − = > 0. 2 2
k→∞
证
由 lim xn = a,
n→∞
∀ε > 0, ∃ N ∈Z + ,
恒有 | xn − a | < ε ,
得 使 ∀n > N,
K k 取 = N, 则当 > K, 必有
nk > nK = nN ≥ N, 于是有 | xn − a | < ε ,
高等数学上册 1.2 数列的极限
ln
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
高等数学-第七版-课件-12-1 级数的收敛性
则结果是1. 两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能
简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定义1
给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号连接 起来的表达式 u1 u2 un (1) 称为常数项级数或数项级数(常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也 常记为
n
(iii) 当 q 1 时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,
S2 k 0, S2 k 1 a , k 0, 1, 2,, 级数发散.
1aq 时n , 级数 q 1 时, 级 综合起来得到 a aq aq2: q (3)收敛; (3) 数(3)发散.
k
k
注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号 时也收敛. 例如
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 0,
收敛, 但级数 1 1 1 1
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
却是发散的.
§1 级数的收敛性
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
为此令 p = m, 则有
um 1 um 2 u2 m
1 1 1 m 1 m 2 2m
1 1 1 1 , 2m 2m 2m 2
1 故取 0 , 对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 2 1 因此调和级数 发散. 就有(7)式成立， n 1 n
高等数学第六版第一章第二节数列的极限
32
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
《高等数学》第一章函数与极限第二节 数列的极限
所失矣”
——(魏晋)刘徽
5
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
n 1
R
正62
形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽从圆内接正六边形开始，逐次边数加倍到 正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
6
第1 章 函数与极限
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
三、数列极限的定义
定义 已知数列 xn , A是一个常数. 如果当n无限增大时,
也称数列 xn收敛于A.
记作
n
xn无限接近于A, 则称当n 时, 数列 xn的极限为A,
lim xn A 或 xn A (n )
说明 这是数列极限的描述性定义。按照定义，通过观察
n n
证
任给 0,
lim xn a ,
n
N 使得当n N时, 恒有 xn a ,
从而有
n
xn a
xn a xn a
xn a a
a
故 lim xn a .
23
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
四、极限存在的两个准则 准则Ⅰ 夹逼准则
如果数列 xn, yn , zn 满足条件：
(1) xn yn zn ( n 1, 2, 3 ) (2) lim xn A, lim zn A
n n
yn A 那么数列 yn 收敛, 且 lim n
24
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
1 1 1 1 1 1 xn 2 2 1 2 2 3 nn 1 2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
《高等数学》极限
特别地，当C = 1时，则称β与α是等价无穷小，记作 β= ~α。
由定义知，在 x→0 时，x 与2x是同阶无穷小； 是同阶无穷小； 是同阶无穷小 x²是比 高阶无穷小； 2x是比 低阶无穷小。 是比2x高阶无穷小 是比x²低阶无穷小 是比 高阶无穷小； 是比 低阶无穷小。
极限的运算 极限的四则运算法则
x →1 x →1 x →1
x <1 x ≥1
解： Q lim f ( x) = lim (2 x + 1) = 3 + + lim f ( x) = lim ( x + 2) = 3 − −
x →1 x →1
于是 ∴
x →1
lim f ( x) = lim f ( x) = 3 − + lim f ( x) = 3
x → x0 x → x0
1.如果
β lim α= 0 ， x → x0
则称β是比α高阶无穷小
（或α是比β低阶无穷小）记作 β= o(α)； β 2.如果 lim α= ∞ , 则称β是比α低阶无穷小（或α是
x → x0
比β高阶无穷小）； 3.如果
β lim α= C ≠ 0 , x → x0
则称β与α是同阶无穷小。
n →∞
lim u n = A , 或 u n → A ( n → ∞ ).
否则，称数列 { u n }发散。 观察以上数列的极限 1 n lim 3n = 0 , lim n + 1 = 1 , n →∞ n →∞
2 n 不存在 lim
n →∞
函数的极限
将自变量变化过程用下列方式表 示
：
x → ∞ 表示“当 x 无限增大时” ； x → +∞表示“当 x 无限增大时” ； ； x → −∞表示“当 x 无限减少时” x → x0 表示“当 x 从 x0 的左右两侧无限接近于 x0 时” ； x → x 表示“当 x 从 x0 的右侧无限接近于 x0 时” ； x → x 表示“当 x 从 x0 的左侧无限接近于 x0 时” ；
高数讲稿(数列极限)1
∃N ∀ε > 0， ∃N 1 ∈ N, ∀n > N1, 有
xn − a <
ε
2M
,
同时 ∃N 2 ∈ N, ∀n > N2 , 有
yn − b <
证明：对任意的 G>0, |xn|=|2n|>G , nlog22 >log2G, 即 n> log2G, 取 N=[ log2G]+1 所以 当 n>N 时，有 2n>G
lim 2 n = +∞ 故
n→∞
∴ n>N=[ log2G]+1, ∵ 2n>2N>2[logG]>G
数列极限的性质 定理 1（唯一性）若数列 {xn } 的极限存在，则极限值是唯一的。 证 设数列 {xn } 有两个不相等的极限值 a、b，则对应于
1 1 a − , a + 内。但这是不可能的，因为 n 3 3
→ ∞ 时， xn 无休
止地一再反复取得 1 和-1 这两个数， 而这两个数不可能同时属
2 1 1 a − , a + 内。因此这数列发散。 于长度为 3 的开区间 3 3
定理 2（有界性）若数列 {x n } 有极限，则 {xn } 有界。即
xn 落在以 a 为中心ε为半径的开区间(a-ε, a+ε) 内, 这就意味着 a-ε< xn < a+ε，即不等式|xn-a|<ε成立. 因此 |xn-a|<ε〈≡〉 xn 落在以 a 为中心ε为半径的 开区间(a-ε, a+ε)内
我们先从最简单的例子入手，从中找出它们共有的 特性，然后引出数列{xn}极限的严格描述。 请看下面的例子 设数列的一般项为
xn − a <
ε
2M
,
同时 ∃N 2 ∈ N, ∀n > N2 , 有
yn − b <
证明：对任意的 G>0, |xn|=|2n|>G , nlog22 >log2G, 即 n> log2G, 取 N=[ log2G]+1 所以 当 n>N 时，有 2n>G
lim 2 n = +∞ 故
n→∞
∴ n>N=[ log2G]+1, ∵ 2n>2N>2[logG]>G
数列极限的性质 定理 1（唯一性）若数列 {xn } 的极限存在，则极限值是唯一的。 证 设数列 {xn } 有两个不相等的极限值 a、b，则对应于
1 1 a − , a + 内。但这是不可能的，因为 n 3 3
→ ∞ 时， xn 无休
止地一再反复取得 1 和-1 这两个数， 而这两个数不可能同时属
2 1 1 a − , a + 内。因此这数列发散。 于长度为 3 的开区间 3 3
定理 2（有界性）若数列 {x n } 有极限，则 {xn } 有界。即
xn 落在以 a 为中心ε为半径的开区间(a-ε, a+ε) 内, 这就意味着 a-ε< xn < a+ε，即不等式|xn-a|<ε成立. 因此 |xn-a|<ε〈≡〉 xn 落在以 a 为中心ε为半径的 开区间(a-ε, a+ε)内
我们先从最简单的例子入手，从中找出它们共有的 特性，然后引出数列{xn}极限的严格描述。 请看下面的例子 设数列的一般项为
高等数学-数列的极限
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
π
n
如图所示 , 可知
rR
当 n 无限增大时, 无限逼近 S .
刘徽
1、数列
定义
如果按照某一法则，对每个 n N ，对应着一个
确定的实数 xn，这些实数 xn按照下标n从小到大排列
得到的一个序列
x1, x2 , x3 , , xn ,
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
二、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
=
a,
lim
n
zn
=
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
= a.
注意: (1)利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1 xn =
n
n 1
1
(n )
收
敛
xn
=
n
(1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn = 2n (n ) 发
散
xn = (1)n1 趋势不定
● ●
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
=11
21!(1 1n)
南开大学高等数学课件12极限
0.98 0.96 0.94 0.92
20
40
60
80
100
上页 下页 返回 结束
2.2 极限
数列极限的定义
给定数列{xn}，当项数n无限增大时（记作
n），通项xn无限地接近常数A，则称常数
A为数列{xn}的极限，记作
,同时
说数列{xn}收敛到A．否则称数列{xn}发散．
注:“
”读作“n趋于无穷大时xn的极
分母的公因子x-1后再计算：
原式=
上页 下页 返回 结束
2.2极限
思考题：约去分子分母中的公因子，改变了函数的
定义域，是否影响极限的计算？
考察：lim f (x) lim x2 x 2 lim (x 1)(x 2) 与lim g(x) lim (x 2)
x1
x1 x 1
2.2极限
函数极限的朴素定义.设y=f(x)是给定函数,如果自 变量x在定义域内按照某种趋势(记作x→□)变化 时,函数值f(x)相应地变化而无限地逼近常数A, 则称A为函数y=f(x) 在该变化过程中的极限,或 说y收敛到A(简称y有极限或y收敛),记作:
读作：x 趋于□时函数y的极限是A.
理解“朴素定义”：描述性的而非严格的定义
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
-0.2
0.5
1
上页 下页 返回 结束
极限的性质
设
，
性质1．
性质2．
性质3．
性质4．
性质5．
性质6．
性质7．
2.2极限
均存在，c为常数，则有
，此处
0．
上页 下页 返回 结束
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例如, 数列 (1 )n1
虽有界但不收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 数列极限的 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 3. 极限存在准则:
xn 1
n (1)n 1 n
→0
故
lim
n
xn
lim
n
n
(1)n n
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 已知
解: xn 0
观察
lim
n
xn
(n
1 1) 2
1 n 1
xn 0 0 n
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 收敛数列一定有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 .
第一章
第一节 （一）数列的极限
一、数列极限的定义
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或定义: 称为通项(一般项) .
夹逼准则 ; 单调有界准则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,),
求 lim
n
xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim
n
xn
a
,
由递推式两边取极限得
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
例如,2
,
2 3
,
3 4
,
,
n
n
1
,
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
散
xn (1)n1 趋势不定
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 已知
讨论数列 的极限为1.
解: 当n→∞ 时, 就有
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n 无限增大, 即n→∞总有
xn a 0
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
n 此时也称数列收敛
,
否则称数列发散
.
a
xn
a
(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
虽有界但不收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 数列极限的 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 3. 极限存在准则:
xn 1
n (1)n 1 n
→0
故
lim
n
xn
lim
n
n
(1)n n
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 已知
解: xn 0
观察
lim
n
xn
(n
1 1) 2
1 n 1
xn 0 0 n
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 收敛数列一定有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 .
第一章
第一节 （一）数列的极限
一、数列极限的定义
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或定义: 称为通项(一般项) .
夹逼准则 ; 单调有界准则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,),
求 lim
n
xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim
n
xn
a
,
由递推式两边取极限得
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
例如,2
,
2 3
,
3 4
,
,
n
n
1
,
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
散
xn (1)n1 趋势不定
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 已知
讨论数列 的极限为1.
解: 当n→∞ 时, 就有
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n 无限增大, 即n→∞总有
xn a 0
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
n 此时也称数列收敛
,
否则称数列发散
.
a
xn
a
(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
机动 目录 上页 下页 返回 结束