高考数学总复习第1轮 第2讲 命题及其关系、充要条件课件 理 (广东专版)

(2)集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时， 有时可以从集合的角度来考虑， 记条件 p、 q 对应的集合分别为 A、 B，则： 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A B，则 p 是 q 的充分非必要条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A B，则 p 是 q 的必要非充分条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A B， 且A B， 则 p 是 q 的既非充分条件也非必要条件．
；
再证充分性： 当 p≠0 且 p≠1，q＝－1 时，Sn＝pn－1， 所以 S1＝p－1，即 a1＝p－1， 又当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)· pn－1， 又当 n＝1 时也满足，所以{an}是等比数列， 即{an}是等比数列的充要条件是 p≠0，p≠1，且 q＝－1.
1．充分条件、必要条件是高考重点考查的考点， 常与其他知识综合在一起．命题表达形式有：①“若 p， 则 q”为真；②p⇒q；③p 是 q 的充分条件；④q 是 p 的 必要条件，这四种表述实质意义相同． 2．充分条件、必要条件常用的判断方法： (1)定义法： 判断 B 是 A 的什么条件， 实际上就是判 断 B⇒A 或 A⇒B 是否成立， 只要把题目中所给条件按逻 辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．
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分别写出下列命题的逆命题、 否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
1 若b －4ac＝0，则方程ax ＋bx＋c＝0
2 2
(a 0)有两个相等的实根；
2 若A U B＝I，则A＝ðI B
解析： 1 逆命题：若方程ax ＋bx＋c＝0(a 0)
2
有两个相等的实根，则b －4ac＝0，为真命题． 否命题：若b －4ac 0，则方程ax ＋bx＋c＝0

解析：由x ＋y ＝0，得x＝0且y＝0，则xy＝0， 即必要条件成立．而xy＝0，取x＝0，y＝1， 则x ＋y ＝1 0，即充分条件不成立，故选B.
2 2
2
2
易错点：由xy＝0，得x＝0，y＝0，误认为 x＝0，y＝0同时成立，而得x 2＋y 2＝0，错选C.
4.命题： “若m 0，则x 2＋x－m＝0有实根?的 否定是 .
【点评】(1)已知原命题，写出它的其他三种命题，首 先把命题改写成“若 p，则 q”的形式，然后找出其 条件 p 和结论 q，再根据四种命题的定义写出其他命 题．对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的 命题，在改写命题形式时，大前提不要动． (2)判断命题的真假， 可直接判断， 如果不易判断， 可根据互为逆否命题的两个命题是等价命题来判断； 原命题与逆否命题是等价命题，否命题与逆命题是等 价命题．
解析：命题的否定只要求否定结论，从而 原命题的否定是“若m 0，则x 2＋x－m＝0 无实根”．
易错点：将命题的否定与否命题概念混淆．
5.(2012· 长沙月考)函数f(x)＝x2＋2mx＋3的 图象关于直线x＝1对称的充要条件是 .
【解析】 若 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，则 2m － 2 ＝1，所以 m＝－1. 若 m＝－1，则 f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其 图象关于直线 x＝1 对称， 所以函数 f(x)＝x2＋2mx＋3 的图象关于直线 x＝1 对称的充要条件是 m＝－1.
n
【解析】 先求必要性： 当 n＝1 时，a1＝S1＝p＋q； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)p 由于 p≠0 且 p≠1， 所以当 n≥2 时，{an}是等比数列． a2 要使{an}(n∈N＋)是等比数列，且a ＝p， 1 即(p－1)p＝p(p＋q)，所以 q＝－1.
n－1
【解析】 (1)由函数 y＝lgx 是增函数可知， lg(a2＋1)<lg(b2＋1)⇔a2＋1<b2＋1⇔a2<b2. 易知 a2<b2⇒/ a<b，且 a<b⇒/ a2<b2， 故“lg(a2＋1)<lg(b2＋1)”是“a<b”的既不充分也 不必要条件，故选 D.
(2)B＝{x|x≤－2 或 x≥4}，
注意：确定条件为不充分或不必要的条件时，常用 构造反例的方法来说明． 3． 探求充要条件可以先求充分条件， 再验证必要性； 或者先求必要条件， 再验证充分性； 或者等价转换条件．
已知 p：“x2＝x＋2”，q：“x x＋2＝x2”，则 p 是 q 的______________条件．
【错解】
1.有三个语句：(1)x<3；(2)x2－2x－3＝0；(3)x2＋ 1<0(x∈R)，其中是命题的为( A．(1)(2) C．(2) B．(1)(3) D．(3) )
【解析】 能判断真假的语句才叫命题，故只有(3) 是命题，所以选 D.
2.给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x) 的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆 否命题三个命题中，真命题的个数是( A．3 C．1 B．2 D．0 )
【点评】有关充要条件的判断问题的求解程序是：①辨明试 题表述的语句是“定义形式”还是“倒装形式”；②由充要 条件的定义确定命题推导的顺序；③依定义确定充要性．
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(1)设a、b是实数，则“lg(a2＋1)<lg(b2＋1)”是“a<b”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|(x＋2)(x－4) ≥0}，则A∩B＝∅的充要条件是( A．0≤a≤2 B．－2<a<2 C．0<a≤2 D．0<a<2 )
一
命题及其相互关系
【例 1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命
题，同时分别指出它们的真假． (1)末位数字是零的自然数能被5整除； (2)已知a，b，c，d是实数，若a＝b且c＝d，则a ＋c＝b＋d.
【解析】(1)原命题可改写为：若一个自然数的末 位数字是零，则它能被 5 整除． 其逆命题为：若一个自然数能被 5 整除，则它的 末位数字是零，为假命题． 否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它 不能被 5 整除，为假命题． 逆否命题：若一个自然数不能被 5 整除，则它的 末位数字不是零，为真命题．
又 a，b，c，d∈Q，d－b∈Q，而 π 是无理数， 所以 a－c＝0，d－b＝0，即 a＝c 且 b＝d， 所以“a＝c 且 b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充 要条件．
【点评】 (1) 有关充要条件的证明必须分 “ 充分 性”和“必要性”两个环节分别进行推理论证． (2) 证明时易出现充分性与必要性概念混淆的情 形，因此论证时必须依“定义”弄清．
a－2≥－2 由 A∩B＝∅⇔ ⇔0≤a≤2，故选 A. a＋2≤4
三
充要条件的证明与探究
【例 3】 π是圆周率，a，b，c，d∈Q，则“a＝c且b＝d”是 “aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？证明你的结论．
【解析】 若 π 是圆周率，a，b，c，d∈Q，则“a ＝c 且 b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件，证明 如下： 充分性：若 a＝c，则 aπ＝cπ， 又 b＝d，所以 aπ＋b＝cπ＋d. 必要性：若 aπ＋b＝cπ＋d， 则(a－c)π＝d－b.
(2)逆命题：已知 a，b，c，d 为实数，若 a＋c ＝b＋d，则 a＝b 且 c＝d，为假命题． 否命题： 已知 a， b， c， d 为实数， 若 a≠b 或 c≠d， 则 a＋c≠b＋d，为假命题． 逆否命题：已知 a，b，c，d 为实数，若 a＋c≠b ＋d，则 a≠b 或 c≠d，为真命题．
【解析】 根据幂函数定义及其性质可知原命题是真 命题， 所以其等价命题逆否命题为真ห้องสมุดไป่ตู้题； 其逆命 题：若函数 y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数 y ＝f(x)是幂函数，为假命题(如 f(x)＝2x)，所以其否 命题亦为假命题，故真命题个数为 1，选 C.
3.对于x，y R，则“xy＝0”是“x 2＋y 2＝0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
(3)用命题的等价性判断：判断 p 是 q 的什么条件， 其实质是判断“若 p，则 q”及其逆命题“若 q，则 p” 是真还是假，原命题为真而逆命题为假，p 是 q 的充分 不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则 p 是 q 的必 要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则 p 是 q 的 充要条件；原命题为假，逆命题为假，则 p 是 q 的既不 充分也不必要条件．同时要注意反例法的运用．
因为綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件， 1 所以 p 是 q 的充分而不必要条件，即[2，1] [a，a＋1]， 1 a ≤ 所以 2 a＋1≥1 1 ，解得 0≤a≤2.
1 故所求的实数 a 的取值范围是[0，2]．
【备选例题】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝p ＋q(p≠0 且 p≠1)， 求数列{an}是等比数列的充要条件．
【解析】 (1)若 y＝3，则 a＝(4,3)， 所以|a|＝ 42＋32＝5. 若|a|＝5，则 42＋y2＝5，所以 y2＝9，y＝± 3. 故“y＝3”是“|a|＝5”的充分不必要条件，选 A.
(2)因为{an}是等差数列， 若 a1<a2，则 d＝a2－a1>0， 所以{an}是递增数列； 若{an}是递增数列，则 a1<a2， 故“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的充要条件，选 C.
因为 x2＝x＋2⇒x＝ x＋2⇒x2＝x x＋2， 所以 p 是 q 的充分条件； 又因为 x x＋2＝x2⇒ x＋2＝x⇒x＋2＝x2， 所以 p 是 q 的必要条件； 故 p 是 q 的充要条件．
二
充分条件、必要条件的判断
【例 2】 (1)若向量a＝(4，y)(y∈R)，则“y＝3”是“|a|＝5”的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
(2)设{an}是等差数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增 数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x －(2a＋1)x＋ a(a＋1)≤0.若綈 p是綈 q的必要而不充分条件， 求实数a的取值范围．
2
1 【解析】 由|4x－3|≤1 得－1≤4x－3≤1，故2≤x≤1. 由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得(x－a)(x－a－1)≤0， 故 a≤x≤a＋1.
3四种命题的关系：
3四种命题的关系：
⑧ __________ 的命题互为等价命题，它们 同真同假．
2．充分条件与必要条件 1 若p q，则称 p为q的⑨ ______ ，同时q是p的⑩ ______ ；
2 若⑪_______ 且⑫______ ，则称p是q的充要条件．
【要点指南】 ①题设和结论；②q；③p；④p；⑤q；⑥q； ⑦p；⑧互为逆否；⑨充分条件； ⑩必要条件； p q； q p
理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的
命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析 四种命题的相互关系，理解必要条件、充分条 件与充要条件的意义．
1. 命题及四种命题的相互关系
1 可以判断真假的语句叫命题，由① ______
两部分构成．
2 命题的四种形式：
原命题：若p，则q； 逆命题：若② _______ ，则③ ________ ； 否命题：若④ _______ ，则⑤ ________ ； 逆否命题：若⑥ _____ ，则⑦ ________ .
2 2
2
(a 0)没有两个相等实根，为真命题． 逆否命题：若方程ax ＋bx＋c＝0(a 0)没有两个
2
相等实根，则b －4ac 0，为真命题．
2
2 逆命题：若A＝ðI B，则A
B＝I，为真命题．
否命题：若A B I，则A ðI B，为真命题． 逆否命题：若A ðI B，则A B I，为假命题．