等腰三角形分类讨论示范课课件
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（1）.中线 例. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和 12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
2.重要线段（直线）问题
（2）高 例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角 为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
*（3）中垂线 例6.在Δ ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线 相交所得的锐角为50°，则底角∠B=______°
细品等腰
顶 角
底角 底角
是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行， 还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤 完整.
随堂演练，巩固提升
1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格
点．已知A 、B 是两格点，如果C也是图中的格点，
且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6 B．7
C．8
D．9
条件不确定（AB具体什么边不确定） 按边分（① AB是腰 ② AB是底边 ） ①以A 为圆心以AB长为半径画圆（2个） ②以B 为圆心以AB长为半径画圆 （2 个） ③做AB的垂直平分线（4个）
思维驿站
1.解分类讨论问题的步骤： (1)分类的原因（为何分类）： 条件不确定. (2)分类的标准（如何分类）： 对不确定的条件进行合理分类． (3)逐类讨论： 即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)检验总结： 将各类情况总结归纳.
2.分类讨论解题的实质？
是将整体问题化为部分问题来解决.
3.分类讨论的原则？
思维驿站
1.以上题目的答案有什么共同特点？
2.为什么会如此？
亲历实践，因边而分
1.周长问题
例题：已知等腰三角形的一边等于5，另一边等 于6，则它的周长等于_________。
简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的 长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是 等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6， 则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个 三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等 腰三角形的周长等于16或17。
2.在平面直角坐标系中，已知P（2，2），在y轴上 确定点Q，使△AOQ为等腰三角形，求点A的坐标.
点Q、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。 若点A为顶点，则点Q坐标为（0，-4）； 若点O为顶点，则点Q坐标为（0， ）， 或（0， ）； 若点P为顶点，此时，OQ为底边，点P在线段OQ 的中垂线上， 则点P坐标为（0，-2）. 所以，点P的坐标 为（0，-4）， （0， ）， （0， ），（0，-2）。
变式1:已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶
角为
。
简析：（1） 若外角与顶角相邻，则其顶角 为80° ； （2）若外角与底角相邻，则其顶角为20°。
变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，
那么它的底角是__________°
简析：（1）若底角是顶角的2倍，则其底角为72° ； （2）若顶角是底角的2倍，则其底角为45°。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变式1：等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么
它的腰长为
。
简析： 当底边为6时，则腰长为4； 当腰长为6时，则底边为2；
变式2：等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么
它的腰长为
。
简析： 当底边为2时，则腰长为3； 当腰长为2时，则底边为4，但此时不能构成三 角形，所以腰长只为3.
2.重要线段（直线）问题
例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为
（）
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或75°
简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。 当75°是底角时，则顶角的度数为180°－ 75°×2=30°； 当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以 这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。
小专题：等腰三角形中的分类讨论
贵阳二十三中数学组 冉昆
评一评
如果：全中国的各族代表去国外参观学习，接待 方热情地用地道的重庆火锅招待他们！
你认为这样的安排妥当吗？
情景引入，初识分类
在手中三角形的边上找出一点，使得该点 与三角形的两顶点构成一个等腰三角形！
并向大家展示和表述其做法！
牛刀小试，因角而分
2.重要线段（直线）问题
（2）高 例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角 为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
*（3）中垂线 例6.在Δ ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线 相交所得的锐角为50°，则底角∠B=______°
细品等腰
顶 角
底角 底角
是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行， 还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤 完整.
随堂演练，巩固提升
1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格
点．已知A 、B 是两格点，如果C也是图中的格点，
且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6 B．7
C．8
D．9
条件不确定（AB具体什么边不确定） 按边分（① AB是腰 ② AB是底边 ） ①以A 为圆心以AB长为半径画圆（2个） ②以B 为圆心以AB长为半径画圆 （2 个） ③做AB的垂直平分线（4个）
思维驿站
1.解分类讨论问题的步骤： (1)分类的原因（为何分类）： 条件不确定. (2)分类的标准（如何分类）： 对不确定的条件进行合理分类． (3)逐类讨论： 即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)检验总结： 将各类情况总结归纳.
2.分类讨论解题的实质？
是将整体问题化为部分问题来解决.
3.分类讨论的原则？
思维驿站
1.以上题目的答案有什么共同特点？
2.为什么会如此？
亲历实践，因边而分
1.周长问题
例题：已知等腰三角形的一边等于5，另一边等 于6，则它的周长等于_________。
简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的 长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是 等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6， 则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个 三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等 腰三角形的周长等于16或17。
2.在平面直角坐标系中，已知P（2，2），在y轴上 确定点Q，使△AOQ为等腰三角形，求点A的坐标.
点Q、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。 若点A为顶点，则点Q坐标为（0，-4）； 若点O为顶点，则点Q坐标为（0， ）， 或（0， ）； 若点P为顶点，此时，OQ为底边，点P在线段OQ 的中垂线上， 则点P坐标为（0，-2）. 所以，点P的坐标 为（0，-4）， （0， ）， （0， ），（0，-2）。
变式1:已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶
角为
。
简析：（1） 若外角与顶角相邻，则其顶角 为80° ； （2）若外角与底角相邻，则其顶角为20°。
变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，
那么它的底角是__________°
简析：（1）若底角是顶角的2倍，则其底角为72° ； （2）若顶角是底角的2倍，则其底角为45°。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变式1：等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么
它的腰长为
。
简析： 当底边为6时，则腰长为4； 当腰长为6时，则底边为2；
变式2：等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么
它的腰长为
。
简析： 当底边为2时，则腰长为3； 当腰长为2时，则底边为4，但此时不能构成三 角形，所以腰长只为3.
2.重要线段（直线）问题
例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为
（）
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或75°
简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。 当75°是底角时，则顶角的度数为180°－ 75°×2=30°； 当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以 这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。
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贵阳二十三中数学组 冉昆
评一评
如果：全中国的各族代表去国外参观学习，接待 方热情地用地道的重庆火锅招待他们！
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在手中三角形的边上找出一点，使得该点 与三角形的两顶点构成一个等腰三角形！
并向大家展示和表述其做法！
牛刀小试，因角而分