矢量场散度的定义与计算
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1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线）
2. 矢量场的通量
3. 散度的定义
4.散度的计算
5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
+-一点的切线方向与场矢量在该点的
方向重合，则该曲线称为矢线。
定义：如果在该矢量场中取一曲面S ，
通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式：
d S
v S
ψ=⋅⎰若曲面为闭合曲面：
d S
v S
ψ=
⋅⎰
2. 通量：
讨论：
a.如果闭合曲面上的总通量0
>ψ说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。
b.如果闭合曲面上的总通量0
<ψ说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c.如果闭合曲面上的总通量
=ψ说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。表达式：
d div lim
S
V F S F V
∆→⋅=∆⎰
3. 散度的定义：
4.散度的计算：
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
1
2
3
4
5
6
123456
d d d d d d d S
S S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
4.散度的计算：
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场表示为：
ˆˆˆx x y y z z F F a
F a F a =++1
S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S 1
2
3
4
5
6
123456
d d d d d d d S
S S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1ˆd d d ()x S y z a
=-z
y x F x ∆∆-=)(1在x 方向上：计算穿过
和面的通量
2S 1S 1
S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S 1
11ˆˆd ()()x x x S F S F x a
y z a ⋅=⋅∆∆-⎰
2ˆd d d x S y za
=1()x F x x y z
∆∆∆=+2
22ˆˆd ()x x x S F S F x a
y za ⋅=⋅∆∆⎰
21x x x
=+∆其中：
ˆˆˆx x y y z z F F a F a F a =++
11()()x
x x F F x x F x x
x
∂+∆=+∆∂因为：
221d ()x
x S F F S F x y z x y z x
∂⋅=∆∆+
∆∆∆∂⎰则：在x 方向上的总通量：
12
12d d x S S F F S F S x y z x
∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰1
S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S 1
11d ()x S
F S F x y z ⋅=-∆∆⎰已知：
在z 方向上,穿过和面的总通量：
5S 6S 5656d d Z
S S F F S F S x y z
z ∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰整个封闭曲面的总通量：
d y x z S F F F F S x y z x
y z ∂⎡⎤
∂∂⋅=++∆∆∆⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰3
4
34d d y S S F F S F S x y z
y
∂⋅+⋅=
∆∆∆∂⎰
⎰同理：在y 方向上,穿过和面的总通量
3S 4S 1S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S
该闭合曲面所包围的体积：z y x V ∆∆∆=∆0
d div lim
S
V F S F V
∆→⋅=∆⎰
z
F y F x F z y x ∂∂+∂∂+∂∂=通常散度表示为：div F F
=∇⋅散度： 5.散度定理：
d d S
V
F S F V
⋅=∇⋅⎰
⎰物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
圆柱坐标系中：1()1r z F F r F F r r r z ϕϕ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂球坐标系中：22(sin )()111sin sin R F F R F F R R R R φθθθθθφ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂()
132231213123123()()1u u u F h h F h h F h h F h h h u u u ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇⋅=++∂∂∂⎢⎥⎣⎦正交曲线坐标系中：直角坐标系中：y x z F F F F x y z
∂∂∂∇⋅=++∂∂∂常用坐标系中，散度的计算公式