矢量场散度的定义与计算
矢量分析与场论课件-散度
S
D dS V
V 0
无穷小正六面方体的体积为 d x d y d z , 是三阶无穷小量。而 div D 是有限大小的量，所以 穿出无穷小正六面体表面的通量也是三阶无穷小量。 由于 D 是有限大小的量，无穷小正六面体每一个表 面的面积是二阶无穷小量，所以 D 穿出每一个表面 的通量也是二阶无穷小量。这六份二阶无穷小量的 总和是三阶无穷小量，所以计算它们中的每一份时
2.2 散度在直角坐标系中的表达式
divD lim
S
D dS V
直角坐标下 的无穷小正 六面体
V 0
散度其实也就是通量体密度。以点 A(x，y，z)为中心，作无限小正六 面体积元，其边长分别为dx、dy、 dz，且各自平行于坐标轴。
大理大学工程学院 罗凌霄编写
6
divD lim
2
例1 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场 中。求穿出过此三棱柱体表面的电场强度 通量。 y S P 解
2
Φe Φei
i 1
5
N
S1
o
R
Φe1 Φe2
大理大学工程学院 罗凌霄编写
x
z
M
Q
3
Φe1 E dS ES1 cos π ES1 s1 Φe2 E dS ES2 cos θ ES1 s2
大理大学工程学院 罗凌霄编写 18
圆柱坐标系中
e e e e e z e z e z 0 z z z
e e e e
B z
可以推出
1 ( f ) 1 f f z f z
长为 a 的正方体。试求从正方体内穿出的 f 的净通
场的概念—散度
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
求 A
例
ˆ （ A xy 2 x -10 x,y 10）
A
Ax Ay Az y2 x y z
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
对于静电场 E 而言： E r 正比于 r 点处 E 的通量源密度， 即 r 点处的电荷密度。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
7.有源(散)场和无源(散)场：
• 有源场（有散场）：
散度值不为零的矢量场，存在通量源，
矢量线有端点。 •无源场(无散场)：
正交曲线坐标系中：
( Fu2 h1h3 ) ( Fu3 h1h2 ) 1 Fu1 h 2 h 3 F h1h2 h3 u1 u2 u3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
6.散度的物理意义： Ar 正比于 r 点处 A 的通量源密度
Fx Fy Fz 直角坐标系中： F x y z
柱坐标系中： 球坐标系中：
1 ( Fr r ) 1 F Fz F r r r z
1 ( r 2 Fr ) 1 ( F sin ) 1 F F 2 r r r sin r sin
n2
F
n1
V2
F dS F dS F dS F dS F dS
S S1 S2 V1 V2
x
o y
对区域V=V1+V2的外闭合表面的 高斯积分等于对 V1 、 V2 的外闭 合表面高斯积分的代数和.
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
散度
散度编辑散度（divergence）的概念div F=▽·F 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的区域直径趋近于0时，比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F 描述了通量源的密度。
散度的重要性在于，可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div F=0，表示该点为无源场。
从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度。
物理上，散度的意义是场的有源性。
某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。
这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）。
举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。
散度等于零的区域称为无源场或管形场。
流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量。
高斯散度定理既然向量场某一处的散度是向量场在该处附近通量的体密度，那么对某一个体积内的散度进行积分，就应该得到这个体积内的总通量。
事实上可以证明这个推论是正确的，称为高斯散度定理。
高斯定理说明，如果在体积V内的向量场A拥有散度，那么散度的体积分等于向量场在V的表面S的面积分。
设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ是场内一有向曲面，n是Σ在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
通量和散度
1.3.3 散度定理（高斯定理）
表达式：
SA d S V A d V
式中S为V的外表面。 物理含义：
矢量A穿过任一封闭曲面S的总通量等于矢量散度在S 所包围体积V内的体积分。
散度定理的证明：
d iv A l V im 0 1 VS A d S d i v A V l i mA d S
【解】若使A成为一个无源场，即要求 A0
Aaz2xb2xy12zcx2xy (a2)z(2c)xb1 0 解得 a2,b1,c2
A ( 2 x z x 2 ) e x ( x y 2 y ) e y ( z z 2 2 x z 2 x y z ) e z
面，则：
内容小结 掌握通量、散度的物理意义
z h 围成的封闭曲面，求矢径r穿出S的柱面部分的通量。
【解】设s1和s2为闭合曲面S的顶部和底部的圆
z
面，则：
r ds r ds r ds
s
s1
s2
s1
rdv
v
s1 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
s2 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
通量指通过该曲面的矢线量，它代表曲面S内存在的通量源。
（3）在矢量场中，若
，称之为有源场， 称为(通量)源密度；
说明流出闭合面的通量小于流入曲面的通量，即闭合面内存在负源（沟）。
矢量场的通量-------通量源
矢量场的通量
1.矢量场的通量-------通量源 （2）散度代表矢量场的通量源的分布特性。
h
3 dv zdxdy zdxdy
v
s1
s2
3πa2h hdxdy 0dxdy
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
第6讲矢量场的通量及散度
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
面积分： Ands A dS
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s i1
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
已包含点M在内的任一闭曲线△l，设其所包围的平面
区域为△σ，以△S表示其面积，以△Φ表示从其内
穿出△l的通量，若当△σ以任意方式缩向点M时，比
式：
l Andl
S S
的极限存在，则称之为矢量场A(M)在点M处的散度。
即
div A
lim
lim
Andl
l
M S M S
数，（1）求场A穿出使divA=0的等值线的通量； （2）求divA在点M(2,-1)处的方向导数的最大值。
1.4矢量场的散度
圆柱和圆球坐标系中的散度公式
1 2 1 1 A A 2 (r Ar ) (sin A ) r r r sin r sin
一些常用的散度运算恒等式
1 1 A Az A ( A ) z
(CA) C A (A) A A
( A B) A B
例.求标量函数梯度的散度 解： ˆ ˆ ˆ x y z x y z
S
V 0
V
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
• A= 0 (无源）
• A= 0 (正源)
• A= 0 (负源)
由散度的定义可得
Ax Ay Az divA x y z
Ax Ay Az A x y z
2 2 2 x x y y z z x 2 y 2 z 2
2 2 2 2 2 2 x y z
2
Laplace 算子
1 2 2 ( ) 2 2 2 z
S
矢量穿过封闭面的通量
A(r ) dS
S
0 0 0 Biblioteka 有源，正源、负源通量源
= 0 (无源)
> 0 (有正源)
< 0 (有负源)
二、.散度(divergence)
空间某一点上是否有源？ 散度的定义：
divA lim
A dS
例：求
1 R
2
解：
R 1 2 1 R3 R R
矢量场的散度
主要内容： 一、矢量场散度的定义 二、矢量场散度的计算 三、矢量场散度的性质 四、例题
一、矢量场散度的定义
1、矢量场的平均散发量； 在直角指标系中， a( x, y, z ) a x ( x, y, z ) i a y ( x, y, z ) j a z ( x, y, z )k
lim
V M
a x a y a z 1 ( )dV lim[ a(M )] 0 V v x y z V M
a x a y a z diva a x y z
所以高斯定理还可以记 为： a x a y a z a ds ( )dV divadV x y z s v
称为矢量场 设流体的流速为 a，单位时间内流过 曲面s的的流量为 Q a ds
s
现设S是一个封闭曲面， V是所包围的体积 , a ds 则 s 就是单位时间从单位体 积发散出的量。 V 称为平均发散量。
2、散度的定义
在矢量场任意点处，作一闭合的曲面，当曲面包围的 体积趋于零时有；
如果有极限
lim
V M
s V M
a ds
s
V
。
就是矢量场a在M点的散度。
记为：diva ( M ) lim
a ds V
注意：（ 1 ）矢量场某点的散度是 标量； （2）当diva 0时，表示点是流出的源 ，
其值表示源强度。 (3)当小于零时，表示点是 吸收的洞，其值表示洞 的强度。 （4）当diva(M ) 0表示点为无源无洞。
f df r x f (r ) x dr x r
矢量场散度的定义与计算
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
第8讲矢量场的通量及散度2
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
散度div运算法则
散度div运算法则散度（div）是矢量场的一种性质，用于描述矢量场在某一点的流出或流入程度。
在三维空间中，矢量场可以用矢量函数表示，而散度则是这个矢量函数的一阶导数。
散度运算法则是一组用于计算散度的规则，它可以简化计算过程，提高效率。
下面将介绍几个常用的散度运算法则。
1. 散度的定义：散度表示矢量场在某一点的流出或流入程度，它可以通过对矢量场的各个分量求偏导数并求和得到。
在三维空间中，矢量场可以表示为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P、Q、R为矢量场的分量函数。
2. 散度的计算：对于矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，它的散度可以表示为div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。
这个式子表示了矢量场在三个坐标方向上的流量之和。
3. 散度的性质：散度具有一些重要的性质，其中最重要的是线性性质和乘积法则。
- 线性性质：若矢量场F和G的散度都存在，则有div (F + G) = div F + div G。
这个性质意味着散度运算满足加法规则，可以对矢量场进行分别计算再求和。
- 乘积法则：若矢量场F和标量函数φ的散度都存在，则有div (φF) = φ·div F + F·grad φ。
这个法则可以用于计算标量函数与矢量场的乘积的散度，它将散度运算与梯度运算联系起来。
4. 应用举例：散度运算在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在流体力学中，散度可以用来描述流体的流入和流出情况，从而研究流体的运动和变形。
在电磁学中，散度可以用来描述电场和磁场的分布情况，从而研究电荷和电流的作用规律。
5. 散度与其他运算的关系：散度运算与其他运算（如梯度、旋度）之间存在一些重要的关系。
例如，散度与梯度之间满足一个重要的定理，即散度定理（也称为高斯定理），它将散度运算与曲面积分联系起来，提供了一种计算散度的替代方法。
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
坡度、散度和旋转——定义及公式
坡度、散度和旋转——定义及公式
坡度
坡度是用于测量地面或物体上的直线上升或下降程度的术语。
它表示单位水平距离上的垂直变化。
在数学和物理中，坡度可以通
过计算高度差与水平距离之比来确定。
因此，坡度可以用以下公式
表示：
坡度 = 高度差 / 水平距离
散度
散度是描述一个区域内矢量场流出或流入的趋势的术语。
它可
以用来衡量场的源和排出量之间的差异。
在数学中，散度可以通过
计算矢量场的偏导数之和来确定。
因此，散度可以用以下公式表示：散度= (∂F/∂x) + (∂G/∂y) + (∂H/∂z)
其中F、G和H分别代表矢量场在x、y和z方向的分量。
旋转
旋转是描述一个区域内矢量场绕着某个中心点旋转的趋势的术语。
它可以用来衡量矢量场的环绕性质。
在数学中，旋转可以通过计算矢量场的旋度来确定。
因此，旋转可以用以下公式表示：
旋转= (∂H/∂y - ∂G/∂z)i + (∂F/∂z - ∂H/∂x)j + (∂G/∂x - ∂F/∂y)k
其中i、j和k分别代表坐标系的单位向量。
以上就是坡度、散度和旋转的定义以及相关公式的介绍。
散度,梯度,旋度.
散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。
散度（divergence）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u为数性函数)在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 梯度的汉语词义，用法。
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
球坐标中的散度公式推导
球坐标中的散度公式推导在物理学和数学中，散度是一个很重要的概念，代表了矢量场的某些性质。
在球坐标系中，研究散度的推导过程可以更好地理解这一概念。
在球坐标系中，一个矢量场可以表示为(V r,Vθ,Vφ)，其中r是径向距离，θ是与z轴的夹角，φ是与x轴投影在xy平面上的夹角。
我们先来看一下一个矢量场在球坐标下的散度是如何定义的。
散度可以用公式表示为：$$ \ abla \\cdot \\mathbf{V} = \\frac{1}{h_1 \\cdot h_2 \\cdot h_3}\\left[ \\frac{\\partial}{\\partial u} \\left(h_2 h_3 V_u\\right) +\\frac{\\partial}{\\partial v} \\left(h_1 h_3 V_v\\right) +\\frac{\\partial}{\\partial w} \\left(h_1 h_2 V_w\\right) \\right] $$ 这里，V r是径向分量的矢量，Vθ是极角分量的矢量，Vφ是方位角分量的矢量。
ℎ1,ℎ2,ℎ3代表了单位法向量$\\mathbf{n}$分别沿着r,θ,φ方向的长度，可以计算为：$$ h_1 = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\frac{\\partial r}{\\partial θ})^2 + (\\frac{r\\sin θ}{\\partial φ})^2}} $$$$ h_2 = \\sqrt{1 + (\\frac{\\partial r}{\\pa rtial θ})^2} $$ℎ3=r下面我们将详细推导球坐标系下的散度公式。
推导过程我们先计算出换元时的梯度：$$ \\begin{aligned} \ abla &= \\frac{1}{h_1} \\frac{\\partial}{\\partial r} +\\frac{1}{h_2} \\frac{\\partial}{\\partial θ} + \\frac{1}{h_3} \\frac{1}{\\sin θ}\\frac{\\partial}{\\partial φ} \\\\ &= \\frac{1}{r^2} \\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{1}{r \\sin θ} \\frac{\\partial}{\\partial θ} + \\frac{1}{r \\sin θ}\\frac{\\partial}{\\partial φ} \\end{aligned} $$然后计算矢量场$\\mathbf{V} = (V_r, V_θ, V_φ)$的梯度：$$ \\begin{aligned} \ abla \\cdot \\mathbf{F} &= \\frac{1}{h_1 \\cdot h_2\\cdot h_3} \\left[ \\frac{\\partial}{\\partial r} \\left(h_2 h_3 V_r\\right) +\\frac{\\partial}{\\partial θ} \\left(h_1 h_3 V_θ\\right) +\\frac{\\partial}{\\partial φ} \\left(h_1 h_2 V_φ\\right) \\right] \\\\ &=\\frac{1}{r^2} \\frac{\\partial}{\\partial r} \\left(r^2 V_r\\right) + \\frac{1}{r\\sin θ} \\frac{\\partial}{\\partial θ} \\left(\\sin θ V_θ\\right) + \\frac{1}{r \\sin θ} \\frac{\\partial}{\\partial φ} V_φ \\\\ &= \\frac{1}{r^2} \\left[\\frac{\\partial(r^2 V_r)}{\\partial r} + \\frac{r^2 V_r}{r} \\right] + \\frac{1}{r \\sin θ}\\left[\\frac{1}{\\sin θ} \\frac{\\partial (\\sin θ V_θ)}{\\partial θ} \\right] +\\frac{1}{r \\sin θ} \\frac{\\partial V_φ}{\\partial φ} \\\\ &= \\frac{1}{r^2}\\left[\\frac{\\partial (r^2 V_r)}{\\partial r} + 2r V_r \\right] + \\frac{1}{r^2 \\sin θ} \\left[\\frac{\\partial V_θ}{\\partial θ} + \\cos θ V_θ \\right] + \\frac{1}{r^2 \\sin θ} \\frac{\\partial V_φ}{\\partial φ} \\end{aligned} $$我们将式子中的$\\frac{\\partial r}{\\partial θ}$和$\\frac{\\partialr}{\\partial φ}$作为0处理，代入ℎ1,ℎ2,ℎ3的表达式，化简上式，得到球坐标系下的散度公式。
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1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线）
2. 矢量场的通量
3. 散度的定义
4.散度的计算
5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
+-一点的切线方向与场矢量在该点的
方向重合，则该曲线称为矢线。
定义：如果在该矢量场中取一曲面S ，
通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式：
d S
v S
ψ=⋅⎰若曲面为闭合曲面：
d S
v S
ψ=
⋅⎰
2. 通量：
讨论：
a.如果闭合曲面上的总通量0
>ψ说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。
b.如果闭合曲面上的总通量0
<ψ说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c.如果闭合曲面上的总通量
=ψ说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
表达式：
d div lim
S
V F S F V
∆→⋅=∆⎰
3. 散度的定义：
4.散度的计算：
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
1
2
3
4
5
6
123456
d d d d d d d S
S S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
4.散度的计算：
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
矢量场表示为：
ˆˆˆx x y y z z F F a
F a F a =++1
S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S 1
2
3
4
5
6
123456
d d d d d d d S
S S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1ˆd d d ()x S y z a
=-z
y x F x ∆∆-=)(1在x 方向上：计算穿过
和面的通量
2S 1S 1
S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S 1
11ˆˆd ()()x x x S F S F x a
y z a ⋅=⋅∆∆-⎰
2ˆd d d x S y za
=1()x F x x y z
∆∆∆=+2
22ˆˆd ()x x x S F S F x a
y za ⋅=⋅∆∆⎰
21x x x
=+∆其中：
ˆˆˆx x y y z z F F a F a F a =++
11()()x
x x F F x x F x x
x
∂+∆=+∆∂因为：
221d ()x
x S F F S F x y z x y z x
∂⋅=∆∆+
∆∆∆∂⎰则：在x 方向上的总通量：
12
12d d x S S F F S F S x y z x
∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰1
S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S 1
11d ()x S
F S F x y z ⋅=-∆∆⎰已知：
在z 方向上,穿过和面的总通量：
5S 6S 5656d d Z
S S F F S F S x y z
z ∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰整个封闭曲面的总通量：
d y x z S F F F F S x y z x
y z ∂⎡⎤
∂∂⋅=++∆∆∆⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰3
4
34d d y S S F F S F S x y z
y
∂⋅+⋅=
∆∆∆∂⎰
⎰同理：在y 方向上,穿过和面的总通量
3S 4S 1S z
y
x
6
S 5
S 4
S 3
S 2
S
该闭合曲面所包围的体积：z y x V ∆∆∆=∆0
d div lim
S
V F S F V
∆→⋅=∆⎰
z
F y F x F z y x ∂∂+∂∂+∂∂=通常散度表示为：div F F
=∇⋅散度： 5.散度定理：
d d S
V
F S F V
⋅=∇⋅⎰
⎰物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
圆柱坐标系中：1()1r z F F r F F r r r z ϕϕ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂球坐标系中：22(sin )()111sin sin R F F R F F R R R R φθθθθθφ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂()
132231213123123()()1u u u F h h F h h F h h F h h h u u u ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇⋅=++∂∂∂⎢⎥⎣⎦正交曲线坐标系中：直角坐标系中：y x z F F F F x y z
∂∂∂∇⋅=++∂∂∂常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中：坐标变量拉梅系数（1,1,1）(,,)
x y z 常用坐标系中，坐标变量和拉梅系数圆柱坐标系中：坐标变量拉梅系数(,,)
r z ϕ(1,,1)r 球坐标系中：坐标变量拉梅系数(,,)R θϕ(1,,sin )R R θ正交曲线坐标系中：坐标变量拉梅系数123(,,)u u u 123(,,)
h h h
小结：
1. 矢量场的矢线（场线）
2. 矢量场的通量
d S v S ψ=⋅⎰3. 散度的定义
0d div lim S V F S F V ∆→⋅=∆⎰ 5.散度定理d d S V F S F V ⋅=∇⋅⎰⎰4.散度的计算
()132231213123123()()1u u u F h h F h h F h h F h h h u u u ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇⋅=++∂∂∂⎢⎥⎣⎦。