泰勒公式练习题

1 f (b) + f ′(b)( x − b) + f ′′(ξ2 )( x − b)2 f (x) = 2! 1 ′′(ξ2 ) ⋅ ( x − b)2 , ( x < ξ2 < b) = f (b) + f 2! a+b x , 可得 在上面两式中令 = 2 a+b 1 (1) ′′(ξ1) ⋅ (b − a)2 f( ) = f (a) + f 2 8 a+b 1 (2) f( ) = f (b) + f ′′(ξ2 ) ⋅ (b − a)2 2 8 ( 用 2) − (1)得 1 2 f (b) − f (a) + (b − a) [ f ′′(ξ2 ) − f ′′(ξ1 )] = 0 8
证
(n)
(ξ ) = 0.
所以在 因为f ( x)在 a, b]上有n阶导数， [ 阶导数，
x = b处可以利用 ( x)的n − 1 f 阶泰勒公式
f ′′(b) f ( x) = f (b) + f ′(b)( x − b) + ( x − b)2+ L 2!
f (b) n−1 f (n) (b) n ( x − b) + + ( x − b) , (n − 1)! n!
有二阶导数， 有二阶导数，所以函数 ( x)在点x = c处有二阶 f
即 泰勒中值公式成立， 泰勒中值公式成立，
f ′′(ξ ) f ( x) = f (c) + f ′(c)( x − c) + ( x − c)2 2!
, 其中ξ在c与x之间 特别当x = 0和x = 1时，
f ′′(ξ0 ) f (0) = f (c) + f ′(c)(0 − c) + (0 − c)2 , 2! f ′′(ξ1 ) f (1) = f (c) + f ′(c)(1 − c) + (1 − c)2 , 2!
麦克劳林简介： 麦克劳林简介：
麦克劳林 (1698 – 1746)
英国数学家, 著作有: 英国数学家 著作有 流数论》 《流数论》(1742) 有机几何学》 《有机几何学》(1720) 代数论》 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 .
又f ′′′( x)在 ξ1,ξ2 ]上必有最小值 和最大值 ， [ m M
1 ′′ ′ 2 从而 m ≤ [ f ′1(ξ1) + f 2′′(ξ1)] ≤ M, 3 f ( x) = f (0) + f ′′(0) x + f ′′′(η) x 2 2 6 由介值性定理， 由介值性定理，∃ξ ∈xξ1,ξ21,1] (−1,1), 使得 [ ∈ [− ] ⊂ − 1 f ′′′(ξ ) = [ f ′′′(ξ1) + f ′′′(ξ2 )] = 3. 2
0 其中 < ξ0 < c, c < ξ1 < 1. 两式相减得
1 ′(c) + [ f ′′(ξ1 )(1 − c)2 − f ′′(ξ0 )c2 ] f (1) − f (0) = f 2!
1 f ′(c) = f (1) − f (0) − [| f ′′(ξ1) | (1 − c)2 − | f ′′(ξ0 ) | c2 ] 2!
1 2 并有| f (b) − f (a) |≤ (b − a) ⋅ | f ′′(ξ ) |, 4 即存在一点ξ ∈ (a, b), 使得 4 | f ′′(ξ ) |≥ | f (b) − f (a) | . 2 (b − a)
f (0 f 有二阶连续导数， 例5 设函数 (x)有二阶连续导数， ) = f (1)
0 又当 ≤ x ≤ 1时,
0 ≤ 2x − 2x + 1 = 2x( x − 1) + 1 ≤ 1,
2
故
A | f ′( x) |≤ . 2
例6 设f ( x)在 a, b]上有n阶导数， (a) = 0, f (b) = [ 阶导数， f
f ′(b) = f ′′(b) = L = f (n−1) (b) = 0, 则必存在 ∈ ξ (a, b), 使f
1 x)2
f [ 例2 设函数 ( x)在闭区间−1,1]上具有三阶连续
导数， 导数，且f (−1) = 0, f (1) = 1, f ′(0) = 0, 证明在开
( 区间 −1,1) 内至少存在一点 ，使f ′′′(ξ ) = 3. ξ
证 由麦克劳林公式有
′′(0) x2 f ′′′(η) x3 f f ( x) = f (0) + f ′(0) x + + 2! 3! 1 2 1 ′′(0) x + f ′′′(η) x3 = f (0) + f 2 6 之间， 其中η介于0和x之间， 从而
1 1 0 = f (−1) = f (0) + f ′′(0) − f ′′′(ξ1 ) (−1 < ξ1 < 0) 2 6 1 1 1 = f (1) = f (0) + f ′′(0) + f ′′′(ξ2 ) (0 < ξ2 < 1) 2 6 两式相减得 f ′′′(ξ1 ) + f ′′′(ξ2 ) = 6
| 0 = 0, 且当x ∈ (0,1)时，f ′′( x) |≤ A, 证明当 ≤ x
A | ≤ 1时，f ′( x) |≤ . 2
证 由泰勒公式， 由泰勒公式，得
f ′( x) f ′′(ξ1 ) f (0) = f ( x) + (0 − x) + (0 − x)2 , 1! 2! (0 < ξ1 < x ≤ 1)
因为| f ′′( x) |≤ A，所以
1 | f ′( x) |≤ [| f ′′(ξ1 ) x2 | + | f ′′(ξ2 )(1 − x)2 |] 2
1 | f ′( x) |≤ [| f ′′(ξ1) x2 | + | f ′′(ξ2 )(1 − x)2 |] 2 1 ≤ A[ x2 + (1 − x)2 ] 2 1 = A(2x2 − 2x + 1). 2
用近似公式
的近似值, 计算 cos x的近似值 的近似值
的适用范围. 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围 解 近似公式的误差为
x x . R3( x) = cos(θ x) ≤ 24 4! x ≤ 0.005, 解得 x ≤ 0.588, 令 24
即当 x ≤ 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 .
于是
| f ′(c) |≤| f (1) | + | f (0) |
1 + [| f ′′(ξ1 ) | (1 − c)2 + | f ′′(ξ0 ) | c2 ] 2!
b b 2 2 ≤ a + a + [(1 − c) + c ] ≤ 2a + . 2 2
例4
且 f [ 上二阶可导， 设函数 ( x)在 a, b]上二阶可导，f ′(a) =
f ′(b) = 0, 试证明存在一点 ∈ (a, b), 使得 ξ
4 | f ′′(ξ ) |≥ ⋅ | f (b) − f (a) | . 2 (b − a)
证 分别在 点与b点应用泰勒公式 有 a ,
1 2 f (x) = f (a) + f ′(a)( x − a) + f ′′(ξ1 )( x − a) 2! 1 = f (a) + f ′′(ξ1 ) ⋅ ( x − a)2 , (a < ξ1 < x) 2!
(n−1)
. 其中ξ在x与b之间
因为 f (b) = f ′(b) = f ′′(b) = L = f (n−1) (b) = 0, 所以
f ( x) =
f
(n)
(ξ ) (ξ ) n f (a) = f (a − b)n , ( x − b) , n! n!
(n)
又f (a) = 0, (a − b)n ≠ 0, 故f (n) (ξ ) = 0,ξ ∈ (a, b).
泰勒公式的应用 例1 证明 证 Q 1 + x = (1 + x 1 1 1 = 1 + + ⋅ ( − 1) x2 2 2! 2 2 −5 3 1 1 1 1 + ⋅ ( − 1)( − 2)(1 + θ x) 2 x 3! 2 2 2 −5 3 x x2 1 (0 < θ < 1) = 1 + − + (1 + θ x) 2 x 2 8 16 xn) x2 α(1 −x)L(α − α 1 1 (0 <θ <1) ∴ + > + − (1+θ ( x > n−1xn+1 + x)α − 0). (n +1) ! 2 8
f ′( x) f ′′(ξ2 ) f (1) = f ( x) + (1 − x) + (1 − x)2 , 1! 2!
(0 < x < ξ2 ≤ 1)
两式相减， 两式相减，注意到f (0) = f (1) = 0, 得
1 f ′( x) = [ f ′′(ξ1) x2 − f ′′(ξ2 )(1 − x)2 ] 2
泰勒简介： 泰勒简介：
泰勒 (1685 – 1731)
英国数学家, 英国数学家 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有 重要著作有: 正的和反的增量方法》 《正的和反的增量方法》(1715) 线性透视论》 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他在 他是有限差分理论的奠基人 .
从而得
1 2 | f (b) − f (a) |= (b − a) | f ′′(ξ2 ) − f ′′(ξ1 ) | 8 1 ≤ (b − a)2 ⋅ [ f ′′(ξ2 ) + f ′′(ξ1 ] 8 取 | f ′′(ξ ) |= max{| f ′′(ξ1), f ′′(ξ2 ) |}, 则ξ ∈ (a, b),