2020年全国高考理科数学全国Ⅲ卷预测卷答案

（2）由题意可知 X 的可能取值有 1，2，3，4．……………………………………7 分
P( X
1)
C51 C33 C84
1 14
， P(X
2)
C52 C32 C84
3 7
，
P( X
3)
C52 C31 C84
3 ， P(X 7
4)
C54 C84
1 14
．
…………………………………11 分
y1 y2
(m2
1) y1 y2
m3 2
( y1
y2 )
m4 4
(m2
1)
m4 16 4(m2 4)
m3 2
(
m3 m2
理科数学参考答案 第 2页（共 6 页）
OE 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设 AB=AE=2． ∵ 在菱形 ABCD 中，∠BAD=60º，
∴ AO= 3 ，BO=1．
在 Rt△EAO 中，EO= EA2 AO2 =1．
于是 O(0，0，0)，A( 3 ，0，0)，B(0，1，0)，E(0，0，1)，C(- 3 ，0，0)，
y1
z1
0，
令 y1=1，则 x1=
3 ， z1=1，即 n1=(
3 ，1，1)．…………10 分
3x1 y1 0，
3
3
同理可得平面 BCF 的法向量 n2=( 3 ，-1，1)． 3
∴
cos<n1，n2>=
n1 n2 n1 n2
=1 7
故二面角 E-BC-F 的平面角的余弦值为 1 ．…………………………………………12 分 7
联立①②及 q>1 解得 a1=1，q=2， ∴ an 2n1 ．……………………………………………………………………………5 分
（2）Tn=
1 20
2 21
3 22
n 2n1
，
1 2
Tn=
1 21
2 22
3 23
n 1 2n1
n 2n
，
两式作差得
1 2
Tn=
1 20
1 21
1 22
1 2n1
n 2n
由已知联立方程
x my m2 ， 2 消去
x2 y2 1， 4
x，得 (m2
4) y2
m3 y
m4 4
4
0
，
由 0 可得 m4 4m2 16 0 ，解得 m2< 2 2 5 ．
理科数学参考答案 第 3页（共 6 页）
且
y1
y2
m3 m2 4
，y1
y2
wk.baidu.com
m4 16 4(m2 4)
∴ AB =(- 3 ，1，0)， BE =(0，-1，1)， BC =(- 3 ，-1，0)．…………………7 分
又由 EF AB ， 可解得 F(- 3 ，1，1)，于是 BF =(- 3 ，0，1)． ……………8 分
设平面 BCE 的法向量为 n1=(x1，y1，z1)，
则由 n1• BE =0，n1• BC =0 得
=
1 1
1
2n 1
n 2n
2
n 2n
2
，
2
于是 Tn
4
n2 2n1
．……………………………………………………………………8
分
∵
n≥2
时， Tn
Tn1
4
n2 2n1
4
n 1 2n2
n 2n1
0，
∴ {Tn}(n∈N*)单调递增．……………………………………………………………10 分
而 T1=1<3，T2=2<3，T3= 11 <3，T4= 13 >3，
，………………………………………………7
分
由题意得△MF1F2，△NF1F2 的重心 G( x1 ，y1 )，H ( x2 ，y2 )，……………………8 分
33
33
∵ 原点 O 在以 GH 为直径的圆内，
∴
OG OH
0
，即
x1x2
y1 y2
0
．………………………………………………9
分
9
∵
x1 x2
4
4
∴ 当 n=1，2，3 时，Tn<3．…………………………………………………………12 分
理科数学参考答案 第 1页（共 6 页）
n
18．解：（1）由已知有 x 45 ， y 36 ， bˆ
xi yi n.x.y
i 1
n
xi2 n.x 2
16310 8 45 36 20400 8 452
20．解：（1）设椭圆的半焦距为 c，由题意有 A(-a，0)，B(0，b)，
于是 c 3 ，且 b 1 ，
a2
22
结合 a2=b2+c2，解得 a=2，b=1，
∴ 椭圆 E 的方程为 x2 y2 1．………………………………………………………4 分 4
（2）设 M (x1，y1) ， N (x2，y2 ) ，
z
E
F
而 EO∩BD=O，且 EO，BD 面 BED， ∴ AC⊥面 BED． ∴ AC⊥ED．
A x
D
C
O B
y
∵ CF//ED，
∴ AC⊥CF．……………………………………………………………………………5 分
（2）解：由（1）知 AO⊥BO，OE⊥AO，OE⊥BO，于是以 O 为坐标原点，OA，OB，
2020 年全国高考理科数学全国Ⅲ卷预测卷
理科数学（全国Ⅲ卷）参考答案及评分标准
一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．
1．C
2．D
3．A
4．A
5．B
6．C
7．C
8．D
9．B
10．B
11．B
12．D
二、填空题：每小题 5 分，共 20 分．
13．2
14．2 5
15．126
16． 3 4
三、解答题：共 70 分．
所以 X 的分布列为
X
1
2
3
4
P
1
3
3
1
14
7
7
14
E(X)=1 1 2 3 3 3 4 1 5 ． ……………………………………………12 分 14 7 7 14 2
19．（1）证明：如图，连接 AC，易知 AC∩BD=O．
∵ 侧面 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD． 又由题知 EO⊥面 ABCD，AC 面 ABCD， ∴ EO⊥AC，
0.80 ，
i 1
aˆ 36 0.80 45 0 ，…………………………………………………………………4 分
故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为 y=0.80x，……………………………………5 分
所以当 x=2500 时，y=2500×0.80=2000． ………………………………………… 6 分
17．解：（1）∵ a1+2，2a2，a3+1 成等差数列，
∴ 4a2=a1+2+a3+1= a1+a3+3， 即 4a1q=a1+a1q2+3，①…………………………………………………………………2 分 由 S3=4a2-1 可得 a1+a1q+a1q2=4a1q-1，即 a1-3a1q+a1q2+1=0，②…………………3 分