概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解

4.1甲、乙两台机床生产同一种零件，在一天内生产的次品数分别记为X和Y .已知

X,Y

如果两台机床的产量相同，问哪台机床生产的零件的质量较好？

解：E(X) =0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 =1

E(Y) = 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 = 0.9

因为E(X) ■ E(Y)，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。

4.2袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,现从中任意抽取3个球，用X表示取出的3个球中的最大编号，求E(X).

解：X的可能取值为3,4,5.

因为P(X =3)

C5 -0.1 ；

10 ，

P(X =4)

C5

--0.3 ；

10

所以 E(X) =3 0.1

4 0.3

5 0.

6 =4.5

易知幕级数的收敛半径为

R = 1，于是有

E(X

^(1 a)2

4.4某人每次射击命中目标的概率为 p ,现连续向目标射击，直到第一次命中目标为止，求

射击次数的期望.

解：因为X 的可能取值为1,2,……。依题意，知X 的分布律为

k 1 ...........

P(X =kHq P, q =1-p,k=1,2,山川

□O

oQ

oQ

所以 E(X)二' kq k 'p = p 二(q k

)二 p (二 q k

)二 p(—)

k#

k =1

k¥

—q 1

1

1 1 =P

2 = P 2 (1-q) p P

4.5在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹.规定4弹全未中得0分，只中1弹得15 分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分.某人每次射击的命中率为 0.6，此人期

望能得到多少分？

C 4 P(X =5)

6

0.6 C 5

3

10

4.3 设随机变量 的概率分布

a k

P{X

"(1a)

k1

(k =0,1, 2|,l| ),其中 a ■ 0是个常

数, 求 E(X)

E(X)八 k a k

QO

z (1 + 旷一(1+a)2 亍-

a k ‘

(1+a)k

」，下面求幂级数为kx 的和函致’

k =1

QO

OO

' kx kJ =C

k 4

珂二)、^

2

, x ::1,

根据已知条件，

a

a 0，因此0

1，所以有

解：设4次射击中命中目标的子弹数为

X ,得分为Y,则X ~B (4,0.6)

因为 P(X =0)二 c 4°0.60

0.4^0.0256

1

1

3

P(X =1) 90.6

0.4 =0.1536 2 2 2

P(X =2) =C 40.6

0.4 =0.3456

P(X =3) =C ：0.62 3 0.4—0.3456 P(X =4)二C ：0.64

0.4° = 0.1296

所以Y 的分布律为

Y 0 15 30 55 100 P

0.0256

0.1536

0.3456

0.3456

0.1296

故期望得分为

E(Y) =0 0.0256 15 0.1536

30 0.3456 55 0.3456 100 0.1296

=44.64

存在。

2

-发散，不符合离散型随机变量期望定义的要求

k

从而X 的期望不存在

2

k

(k =1,2,|1(,),说明X 的期望不

3k

4.6设随机变量

X 的概率分布为P{X=(-1)k1

X k oO

P k

o k

(_1)k

¥

km

k 解:级数

□0

k 丑

4.7设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其

概率均为04求途中遇到红灯次数的期望.

解：设遇到红灯次数为 X ,依题意，知X ~B (3,0.4)

故 E(X) =3 0.4 =1.2 4.8设随机变量X 的概率密度函数为 X, 0兰x 兰1, f (x) = 2 —x, 1 ex 兰2, 求 E(X).

© 其他

7~ 3 ” -be 1 2 2 X 12132 解：E(X)= J xf(x)dx = (x dx + [ x(2—x)dx = —0+(x —一x ) 1 =1.

-'' 3 3

4.9设随机变量X 的概率密度函数为 f (x)二 ax, 0 ■ x ：：

2, bx c, 2 三 x 三 4 0, 其他

又 E(X) =2,P{1 ：：： X ：：：3}=3,求常数

a,b,c 的值.

4

:: 2 4 由 f(x)dx =1 axdx 亠 i (bx c)dx ， 0 ■ 2

解: 得 2a 6b 2^ 1

因为 E

(X)二；xf(x)dx = 0

2

4

xaxdx 亠 i x(bx c)dx =

所以，由 E(X) =2，得 8a 56b 6^2

3 3

2 3

3 二 1 axdx 亠 i (bx c)dx a

3

3

5,

3

，得一 a b c =- 4 2 2 得 a = 1， b 二

4

P(1 ：： X :: 3)

P(1 ：： X :: 3)

解联立方程①②③, 4.10 设随机变量X 的概率密度函数为 1

f(x

"亍r :: *「

：：

，说明X 的期望不