湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2019-2020学年高三年级4月联考理科数学试卷及答案

B．将函数 f (x) 的图象向左平移 5π 个单位长度后关于 y 轴对称 8
C． f (7π x) f ( 7π x)
8
8
D．当
x [π,
π] 时， 2
f
(x) [
2,
2]
11．在正方形 ABCD 中，已知 AB 2 ， BE BC (0 1) ， DF DC (0 1) ， | BE | + | DF || EF | ，
所对的边分别是 a,b, c
，且
2b c
1
2ab cos C b2 c2 a2
，a
2
7．
（1）求 △ABC 外接圆的面积；
（2）若 b c 8 ，求 △ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
如 图 ， 四 棱 锥 S ABCD 中 ， 二 面 角 S AB D 为 直 二 面 角 ， E 为 线 段 SB 的 中 点 ， DAB CBA 3ASB 3ABS 90 ， tan ASD 1 ， AB 4 .
面 ACC1 A1 ， 因 为 A1C 平 面 ACC1 A1 ， 所 以 AB A1C ． 当 异 面 直 线 BC1 与 A1C 相 互 垂 直 时 ， 由 AB BC1 B ，可得 A1C 平面 ABC1 ，因为 AC1 平面 ABC1 ，所以 A1C AC1 ，所以四边形 ACC1 A1 为 正方形，所以 A1CA 45 ，反之亦然，即当 A1CA 45 时，可得 BC1 A1C ，故选 A．
相互垂直的条件为
A． A1CA 45
B． ABC 45
C．四边形 ABB1 A1 为正方形
D．四边形 BCC1B1 为正方形
8．已知非零实数 m ， n 满足 m2 | m | n2 | n | ，则下列结论错误的是
A． ln | m | ln | n |
B．
|
1 m||Fra bibliotek1 n
|
C． | m | sin | m || n | sin | n |
6．B
【解析】令
f (x) 0 ，即 4mx
n ，则 mx log4 n ，即 x
1 m
log4
n
，由图可知，
1 m
log4
n
0
，故
m
0
时 n 1， m 0 时 0 n 1，排除 A、D；当 m 0 时，易知 y 4mx 是减函数，且当 x 时， y 0 ，
则 f (x) n2 ，C 明显不合题意，排除 C，故选 B． 7．A 【解析】如图，因为 AA1 平面 A1B1C1 ，所以 AA1 AB ，又 AB AC ， AA1 AC A ，所以 AB 平
果保留两位小数）
n
附：回归直线方程 y bx a 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b
( xi
i 1
n
x)( yi
y)
，$a
y $bx
；
(xi x)2
i 1
相关系数 r
n
(xi x)( yi y)
i 1
．
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
参考数据： 10 xi2 10x2 0.85 ， 10 yi2 10y2 1.04 ， $b 1.22 .
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步.问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步.问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是
A．问题[三三]中扇形的面积为 240 平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为 5049 平方步 4
环， S 12, a 2, k 4 ；第四次循环， S 20, a 2, k 5 ，此时输出 S 的值，观察可知，仅选项 C 符
合题意，故选 C．
5．C 【解析】依题意得，an2 1 3(n 1) 3n 2 ，故 an
3n 2 .令
3n
2
6
，得
3n
2
36
，解得
n
38 3
；
因为 n N* ，所以使得 an 6 成立的 n 的最小值为 13，故选 C．
A．11
B．12
C．13
D．14
6．若函数 f (x) (4mx n)2 的大致图象如下图所示，则
A． m 0, 0 n 1 B． m 0, n 1
C． m 0, 0 n 1 D． m 0, n 1
7．在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AB AC ， AA1 平面 A1B1C1 ，则下列选项中，能使异面直线 BC1 与 A1C
4 围．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目 计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x 2 t
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
2t
(t
为参数
)
，曲线
C1
的参数方程为
x 1 cos
y
sin
| PN | 的最小值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
（1）已知 x ， y ， z 均为正数，且 8xyz 1 ，求证： (8x 2)(8y 2)(8z 2) 27 ； 64
（2）已知实数
m
，
n
满足
m
1，
n
1 2
，求证：
2m2n
4mn2
1
4m2n2
m
2n
．
理科数学 第 5页（共 5页）
2
3
____________．
16．已知抛物线 C : y2 8x 的焦点为 F ，直线 l1,l2 过点 F 且与抛物线 C 分别交于点 M , N 和点 P,Q ，弦 MN 和
PQ 的中点分别为 D, E ，若 l1 l2 ，则下列结论正确的是____________．
① | MN | | PQ | 的最小值为 32
垂足为 A，直线 l 与另一条渐近线交于点 B.已知 O 为坐标原点，若 △OAB 的内切圆的半径为 3 1 a ， 2
则双曲线 C 的离心率为
A． 2 3 3
B． 3 1
C． 4 3 3
D． 2 3 或2 3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13． (2
x
1 x2
)6
C．问题[三三]中扇形的面积为 60 平方步
5049 D．问题[三四]中扇形的面积为 2 平方步
4．运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为 20 ，则判断框中可以填
A．k<3？
B．k<4？
C．k<5？
理科数学 第 1页（共 5页）
D．k<6？
5．已知正项数列{an} 的首项为 1，{an2} 是公差为 3 的等差数列，则使得 an 6 成立的 n 的最小值为
A． [1,13) 3
B． (0,1]
C． (1,13) 3
D． (0,1)
2．若复数 z 满足 z (4 2i) 3 i ，则在复平面内复数 z 所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？
江夏一中、汉阳一中 2020 年 4 月高三年级联考试卷
理科数学
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的）
1．已知全集U R ，集合 A {x | 3x2 13x 0} ， B {y|y 3x 1} ，则 A (ðU B)
3．B 【解析】依题意，问题[三三]中扇形的面积为 1 lr 1 30 16 120 平方步，问题[三四]中扇形的面积
22
2
为 1 lr 1 99 51 5049 平方步，故选 B．
22
24
4．C 【解析】运行该程序，第一次循环， S 2, a 2, k 2 ；第二次循环， S 6, a 2, k 3 ；第三次循
2 （1）求证：平面 DAE 平面 SBC ；
（2）求二面角 C AE D 的大小.
理科数学 第 3页（共 5页）
19．（本小题满分 12 分） 2019 年 11 月份，全国工业生产者出厂价格同比下降 1.4%，环比下降 0.1%.某企业在了解市场动态之后， 决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了 2019 年 1~10 月份产品的生产数量 x（单位：万件）以及销售总额 y（单位：十万元）之间的关系如下表：
( 为参数 ) ，曲线 C1 与 x 轴交于 O ， A 两点．以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系．
（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C1 的极坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C2 : y2 4x 在第一象限交于点 M ，且线段 MA 的中点为 N ，点 P 在曲线 C1 上，求
②以 M , N , P,Q 四点为顶点的四边形的面积的最小值为128
③直线 DE 过定点 (6,0)
④焦点 F 可以同时为弦 MN 和 PQ 的三等分点
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
在 △ABC
中，角
A, B,C
则 ðU B {y | y 1} ，所以 A (ðU B) (0,1] ，故选 B．
2．A
【解析】依题意得，
z
3i 4 2i
(3 i)(4 2i) (4 2i)(4 2i)
12 6i 4i 20
2
1 2
1 2
i ，故在复平面内复数 z
所对应
的点为 (1 , 1) ，该点位于第一象限，故选 A． 22
D． m2 n2
9．若首项为
2 3
的数列{an} 满足
2(2n
1)anan1
an 1
an
，则
a1
a2
a3
a2020
A．
8080 4041
B．
4078 4040
C．
4040 4041
D．
4039 4040
10．已知函数 f (x) 2 sin 2x 2 cos 2x ，则下列说法正确的是
A．函数 f (x) 在[3π , π] 上单调递减 4
x=3
于点
M
,
N
，且
MR
RN
，记直线
AB，RD
的斜率分别为
k
,
k
.探究：
k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
理科数学 第 4页（共 5页）
21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) ex (x2 8x 4) ．
（1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）若关于 x 的不等式 ex (x2 8x 4) m m sin x 在 [0, ) 上恒成立，且 m 0 ，求实数 m 的取值范
x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26
（1）计算 x, y 的值； （2）计算相关系数 r ，并通过 r 的大小说明 y 与 x 之间的相关程度； （3）求 y 与 x 的线性回归方程 y bx a ，并推测当产量为 3.2 万件时销售额为多少．（该问中运算结
若 AE AF x ，则 x 的取值范围为
理科数学 第 2页（共 5页）
A． (,8( 2 1)] B． (,8( 2 1)) C． (,8( 2 1)]
D． (,8( 2 1))
12．过双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1 (a＞0，b＞0)的右焦点
F
作直线
l，且直线
l
与双曲线
C
的一条渐近线垂直，
的展开式中，
1 x2
项的系数为____________．
14．若直线 y 9x a 与曲线 y x3 3x 相切，则 a ____________．
15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为 1 ，乙完成任务的概率 4
为 1 ，丙、丁完成任务的概率均为 2 ，若四人完成任务与否相互独立，则至少 2 人完成任务的概率为
江夏一中、汉阳一中 2020 年 4 月高三年级联考试卷
理科数学 全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
B
C
C
B
A
C
C
C
A
D
1．B【解析】依题意得，A {x | 3x2 13x 0} {x | x(3x 13) 0} {x | 0 x 13} ，B { y|y 3x 1} { y | y 1} ， 3
i 1
i 1
20．（本小题满分 12 分）
已知斜率存在且不为 0 的直线 l 过点 D(1, 0) ，设直线 l 与椭圆 C : x2 y2 1 交于 A, B 两点，椭圆 C 的左 42
顶点为 P ．
（1）若 △PAB 的面积为 3 30 ，求直线 l 的方程；
8
（2）若直线
PA,
PB
分别交直线