关于高斯投影及其长度变形处理方法的探讨
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
综合信息
关于高斯投影及其长度变形处理方法的探讨
田东坡 河北省地矿局第九地质队
摘 要：本文对高斯 - 克吕格投影的定义、变形情况进行简要说明，并对在工程测量中减小投影变形的常用方法进行 了探讨。
关键词：高斯 - 克吕格；投影变形
时常工作中我们通常用平面图纸来开展作业，由于地球是 一个不规则的椭球体，故其表面是一个不可展平的曲面，所以 运用任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形。我们通 常会通过高斯 - 克吕格投影通过各种技术手段来减小这种误 差和变形。
ym——高斯平面直角坐标系中测边两端横坐标（自然值） 的平均值；
R——测区的平均曲率半径； S——测边投影到参考椭球面上的边长。 由于式中 对计算结果影响极小，在日常工程测绘工作 中可以忽略。故上式可以简化为：
通过上式可以看出参考椭球面上边长投影到高斯平面上 的改正数为正值也就是参考椭球面上边长投影到高斯平面上 后长度变长，且改正数即变形值总体上与 ym2 成正比，距离中 央子午线越远，变形值越大。
一、投影变形的产生以及常用的投影分类
众所周知地球是一个赤道略宽两极略扁的不规则的梨形 球体，但我们日常中经常使用的地图是绘在平面上，为了解决这 个问题，我们通常利用一定的数学法则把地球表面的经、维度 以及其他地物的空间位置转换到平面上，这种转换的理论和方 法就是地图投影。地图投影的实质就是将地球椭球面上的地 理坐标转化为平面直角坐标。地图投影虽然可以图形的完整性 和连续性但是由于球面不可展的特性，势必会使地面事物的几 何特性（长度、方向、面积）受到破坏产生变形。
由于式中
对计算结果影响极小，在日常工程测绘工
作中可以忽略。故上式可以简化为：
通过上式可以看出观测边归化到参考椭球面上的改正数 为负值也就是实测边长归算到参考椭球面上后长度变短，且改 正数即变形值总体上与高程成正比，随高程的增大而增大。
（2）参考椭球面上边长投影到高斯平面上的改正式
式中 ΔSp—— 归化到参考椭球面上的边长，再投影到高 斯平面上的改正数；
此种方法计算简单，基本继承了原坐标系的绝大多数参数， 在海拔较低地区，多使用此种方法解决投影变形问题。
２、投影于抵偿高程面上高斯正形投影 ３°带的平面直 角坐标系。
由上文可知实测边长归算到参考椭球面时的改正数随着
2018/25 CHENGSHIZHOUKAN 城市周刊 95
综合信息
高程的增加而逐渐加大，在海拔较高地区使 4.1 中方法以无法 满足规范要求，此时可采用投影与抵偿高程面的方法有效的解 决这个问题。
１． 投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直 角坐标系。
由上文可知，实测边长归算到参考椭球面时和参考椭球 面上边长投影到高斯平面上两者变形相反，可以相互抵偿。所 以在海拔较地的地区，可以采用任意投影带的方法，通过来调 整中央子午线位置，改变测边两端横坐标（自然值）的平均值， 进而调整参考椭球面上边长投影到高斯平面上两者改正数，进 而降低整体长度变形，使之符合规范要求。
三、高斯 - 克吕格投影长度变形分析
高斯 - 克吕格投影没有角度变形，只有面积变形和长度 变形。日常测绘工作中多对长度变形有所要求，故本文重点研 究长度变形问题。长度变形主要由实测边长归算到参考椭球面 及参考椭球面上边长归算到高程投影面两部分构成。
（1）实测边长归算到参考椭球面的改正式如下
式中 ΔSH——观测边归化到参考椭球面上的改正数； Hm——观测边两端高程平均值； hg——大地水准面相对于参考椭球面差距； Rn——参考椭球体在基线方向的法截弧曲率半径； So——观测边长。
四、投影变形问题的解决方法
由于 长 度 变 形 不能消除，只能 通 过 选 择 合 适的 投 影带和 投影面来对长度变形进行控制。《城市测量规范》、《工程测量 规范》等相关规范均要求投影长度变形值不大于 2.5cm/km。 因此实际工作中，常根据工程区域所处的地理位置和平均高程， 按以下方法选择坐标系：（1）当长度形变值不大于 2.5cm/km 时， 应用高斯正形投影统一 3°带平面直角坐标系。（2）当长度形 变值大于 2.5cm/km 时，可依次采用：①投影于抵偿高程面上 高斯正形投影 3°带的平面直角坐标系；②投影于参考椭球面 上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。
首先我们假定实测边长归算到参考椭球面时和参考椭球 面上边长投影到高斯平面上两者变形值完全抵消及得出下式：
经推导上式可简化为：
理论上在测区任意选择一条边，取其两端横坐标（自然值） 的平均值，即可按上式计算出一个投影变形值为 0 的高程。通 过这个高程值和这个边所在的高程面就可以求出这条边的抵 偿高程面。但是实际作业时在一个测区通过一条边求取的抵偿 高程，基本上不可能抵偿所有边的高斯投影变形值。通常实际 作业时可分别应用测区东西两端的 y 和地区的平均曲率半径求 得两个抵偿高程面，以这两个高程面为参考值，并充分考虑项 目区的实际情况、发展远景和已有成果的利用，综合取舍进而 确定最终抵偿高程面。
五、结语
对应上述变形地图投影可以分为等角投影、等积投影和 任意投影等三类。
二、高斯 - 克吕格投影及其变形情况
我国日常测绘项目中多采用高斯 - 克吕格投影。高斯 - 克 吕格投影，又称横轴墨卡托投影是一种等角横轴切椭圆柱投影， 这种投影的中央经线无变形，是一条与球面实际长度相等的直 线，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经 线的曲线。这种投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小， 中央经线无任何变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加， 变形最大处在投影带内赤道的两端。通常采用分带法控制变形， 即按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带。分带时既要控 制长度变形使其不大于ຫໍສະໝຸດ Baidu图误差，又要使带数不致过多以减少 换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相 等的瓜瓣形地带 , 以便分带投影。我国各种大、中比例尺地形 图采用了不同的分带方法，例如大于 1:1 万的地形图多采用 3° 间隔分带；1:1 万到 1:50 万的地形图多采用 6°间隔分带。
关于高斯投影及其长度变形处理方法的探讨
田东坡 河北省地矿局第九地质队
摘 要：本文对高斯 - 克吕格投影的定义、变形情况进行简要说明，并对在工程测量中减小投影变形的常用方法进行 了探讨。
关键词：高斯 - 克吕格；投影变形
时常工作中我们通常用平面图纸来开展作业，由于地球是 一个不规则的椭球体，故其表面是一个不可展平的曲面，所以 运用任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形。我们通 常会通过高斯 - 克吕格投影通过各种技术手段来减小这种误 差和变形。
ym——高斯平面直角坐标系中测边两端横坐标（自然值） 的平均值；
R——测区的平均曲率半径； S——测边投影到参考椭球面上的边长。 由于式中 对计算结果影响极小，在日常工程测绘工作 中可以忽略。故上式可以简化为：
通过上式可以看出参考椭球面上边长投影到高斯平面上 的改正数为正值也就是参考椭球面上边长投影到高斯平面上 后长度变长，且改正数即变形值总体上与 ym2 成正比，距离中 央子午线越远，变形值越大。
一、投影变形的产生以及常用的投影分类
众所周知地球是一个赤道略宽两极略扁的不规则的梨形 球体，但我们日常中经常使用的地图是绘在平面上，为了解决这 个问题，我们通常利用一定的数学法则把地球表面的经、维度 以及其他地物的空间位置转换到平面上，这种转换的理论和方 法就是地图投影。地图投影的实质就是将地球椭球面上的地 理坐标转化为平面直角坐标。地图投影虽然可以图形的完整性 和连续性但是由于球面不可展的特性，势必会使地面事物的几 何特性（长度、方向、面积）受到破坏产生变形。
由于式中
对计算结果影响极小，在日常工程测绘工
作中可以忽略。故上式可以简化为：
通过上式可以看出观测边归化到参考椭球面上的改正数 为负值也就是实测边长归算到参考椭球面上后长度变短，且改 正数即变形值总体上与高程成正比，随高程的增大而增大。
（2）参考椭球面上边长投影到高斯平面上的改正式
式中 ΔSp—— 归化到参考椭球面上的边长，再投影到高 斯平面上的改正数；
此种方法计算简单，基本继承了原坐标系的绝大多数参数， 在海拔较低地区，多使用此种方法解决投影变形问题。
２、投影于抵偿高程面上高斯正形投影 ３°带的平面直 角坐标系。
由上文可知实测边长归算到参考椭球面时的改正数随着
2018/25 CHENGSHIZHOUKAN 城市周刊 95
综合信息
高程的增加而逐渐加大，在海拔较高地区使 4.1 中方法以无法 满足规范要求，此时可采用投影与抵偿高程面的方法有效的解 决这个问题。
１． 投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直 角坐标系。
由上文可知，实测边长归算到参考椭球面时和参考椭球 面上边长投影到高斯平面上两者变形相反，可以相互抵偿。所 以在海拔较地的地区，可以采用任意投影带的方法，通过来调 整中央子午线位置，改变测边两端横坐标（自然值）的平均值， 进而调整参考椭球面上边长投影到高斯平面上两者改正数，进 而降低整体长度变形，使之符合规范要求。
三、高斯 - 克吕格投影长度变形分析
高斯 - 克吕格投影没有角度变形，只有面积变形和长度 变形。日常测绘工作中多对长度变形有所要求，故本文重点研 究长度变形问题。长度变形主要由实测边长归算到参考椭球面 及参考椭球面上边长归算到高程投影面两部分构成。
（1）实测边长归算到参考椭球面的改正式如下
式中 ΔSH——观测边归化到参考椭球面上的改正数； Hm——观测边两端高程平均值； hg——大地水准面相对于参考椭球面差距； Rn——参考椭球体在基线方向的法截弧曲率半径； So——观测边长。
四、投影变形问题的解决方法
由于 长 度 变 形 不能消除，只能 通 过 选 择 合 适的 投 影带和 投影面来对长度变形进行控制。《城市测量规范》、《工程测量 规范》等相关规范均要求投影长度变形值不大于 2.5cm/km。 因此实际工作中，常根据工程区域所处的地理位置和平均高程， 按以下方法选择坐标系：（1）当长度形变值不大于 2.5cm/km 时， 应用高斯正形投影统一 3°带平面直角坐标系。（2）当长度形 变值大于 2.5cm/km 时，可依次采用：①投影于抵偿高程面上 高斯正形投影 3°带的平面直角坐标系；②投影于参考椭球面 上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。
首先我们假定实测边长归算到参考椭球面时和参考椭球 面上边长投影到高斯平面上两者变形值完全抵消及得出下式：
经推导上式可简化为：
理论上在测区任意选择一条边，取其两端横坐标（自然值） 的平均值，即可按上式计算出一个投影变形值为 0 的高程。通 过这个高程值和这个边所在的高程面就可以求出这条边的抵 偿高程面。但是实际作业时在一个测区通过一条边求取的抵偿 高程，基本上不可能抵偿所有边的高斯投影变形值。通常实际 作业时可分别应用测区东西两端的 y 和地区的平均曲率半径求 得两个抵偿高程面，以这两个高程面为参考值，并充分考虑项 目区的实际情况、发展远景和已有成果的利用，综合取舍进而 确定最终抵偿高程面。
五、结语
对应上述变形地图投影可以分为等角投影、等积投影和 任意投影等三类。
二、高斯 - 克吕格投影及其变形情况
我国日常测绘项目中多采用高斯 - 克吕格投影。高斯 - 克 吕格投影，又称横轴墨卡托投影是一种等角横轴切椭圆柱投影， 这种投影的中央经线无变形，是一条与球面实际长度相等的直 线，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经 线的曲线。这种投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小， 中央经线无任何变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加， 变形最大处在投影带内赤道的两端。通常采用分带法控制变形， 即按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带。分带时既要控 制长度变形使其不大于ຫໍສະໝຸດ Baidu图误差，又要使带数不致过多以减少 换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相 等的瓜瓣形地带 , 以便分带投影。我国各种大、中比例尺地形 图采用了不同的分带方法，例如大于 1:1 万的地形图多采用 3° 间隔分带；1:1 万到 1:50 万的地形图多采用 6°间隔分带。