矢量和标量
矢量和标量
b C
D
图 1：矢量及其运算在直角坐标系中的表示图 2：正弦定理的辅助圆 正弦定理，sinA/a = sinB/b = sinC/c，利用图 2 证明。 和角公式，sin(������ ± ������ ) = sin ������ cos ������ ± cos ������ sin ������ , cos ������ ± ������ = cos ������ cos ������ ∓ sin ������ sin ������ 。 余弦定理，a² + b² - 2abcosC = c²，利用正弦定理证明。 矢量在坐标系里的表示： 自由矢量，起始点并不重要的矢量，其特征是平行且长度相等的两个矢量相等。自由矢量的 计算可以把其起点放到同一坐标点下（通常是坐标原点） ，许多物理学矢量都被认为是自由 矢量，如不考虑力矩情况下的力； 固定矢量， 和自由矢量相对的矢量， 起点的位置固定， 一部分物理学矢量被认为是固定矢量， 如位矢。 自由矢量在直角坐标系中起点默认为坐标原点( 0 , 0 )， 故而表示一个矢量即用其终点坐标( x , y )表示。 自由矢量在坐标表示下的四则运算： ������ ± ������ = ������������ ± ������������ , ������������ ± ������������ ������ ∙ ������ = ������������ ������������ + ������������ ������������ 注意：矢量的点积得到的是一个数，也就是标量，如力和位移的点积是功。 矢量的叉乘，利用矩阵，得到的还是一个矢量，如力和矢径的叉积是力矩。
矢量和标量
矢量和标量
矢量和标量
【三、比较矢量和标量】
标量可以用算术法则直接相加减，而矢量 的运算遵循平行四边形定则(后面的章ห้องสมุดไป่ตู้将 学到)。
矢量和标量
【四、特别提醒】
1、求某一矢量时，除求出其大小外，还要 指出它的方向。
2、矢量的“＋”、“－”号仅仅表示方向， 不表示矢量的大小。
知识点—— 矢量和标量
矢量和标量
【一、定义】
1、矢量：在物理学中，既有大小又有方向 的物理量叫矢量。
2、标量：在物理学中，只有大小而没有方 向的物理量叫标量。
矢量和标量
【二、性质】
1、矢量可用带箭头的有向线段表示，线段的长短表示矢量 的大小，箭头的指向表示矢量的方向。 2、同一直线上的矢量，可用正负号表示矢量的方向，当矢 量方向与规定的正方向相同时，用正号表示，当矢量方向 与规定的正方向相反时用负号表示。
【答案】C
矢量和标量
【六、变式训练】
对矢量和标量的表述正确的是( ) A、它们都有大小和方向 B、它们的运算法则相同 C、出租车的收费标准是1.20元/公里，其中 “公里”这一物理量是矢量 D、矢量相加时遵从平行四边形定则
矢量和标量
【解析】
既有大小、又有方向的物理量是矢量。只有大小、没有方向的物理量 是标量。位移、加速度、速度均是矢量。路程、时间是标量，速度变 化量是矢量。矢量相加时遵从平行四边形定则。 A、既有大小、又有方向的物理量是矢量。只有大小、没有方向的 物理量是标量。故A错误。 B、矢量运算时遵从平行四边形定则，标量是代数和。故B错误。 C、出租车按路程收费。故C错误。 D、矢量运算时遵从平行四边形定则或平行四边形定则。故D正确。
矢量和标量的运算法则
矢量和标量的运算法则矢量和标量是物理学中常用的两个概念，它们在运算法则上有一些不同之处。
在这篇文章中，我们将全面介绍矢量和标量的运算法则，并探讨它们的指导意义。
首先，让我们先了解一下矢量和标量的定义。
矢量是有大小和方向的物理量，比如力、速度和位移等；而标量是只有大小而没有方向的物理量，比如质量、时间和温度等。
在进行矢量的运算时，我们需要注意以下几个法则。
第一，矢量的加法法则。
矢量的加法遵循平行四边形法则，即将两个矢量的起点放在一起，将它们的长度和方向相加，然后将得到的向量作为结果的长度和方向。
这个法则适用于两个或多个矢量的相加。
第二，矢量的减法法则。
矢量的减法是通过将减去的矢量取反，然后与被减矢量进行相加来实现的。
即 a - b = a + (-b)。
第三，矢量与标量的乘法法则。
矢量与标量的乘法是将矢量的模长与标量相乘。
这个法则适用于矢量的伸缩或缩放运算，例如速度的倍增或缩小。
第四，矢量的数量积法则。
这个法则定义了两个矢量之间的数量积，也叫点积。
两个矢量的数量积等于它们的模长相乘再乘以它们之间夹角的余弦值。
这个法则在计算工作和能量时非常有用。
接下来，我们来看一下标量的运算法则。
首先，标量之间的加法和减法法则与我们常规的数学运算法则相同。
也就是说，两个标量相加或相减得到的结果仍然是标量。
其次，标量与矢量之间的运算法则有一些特殊之处。
当标量乘以矢量时，结果是一个具有相同方向但模长不同的矢量。
而当标量除以矢量时，结果是一个具有相反方向但模长不同的矢量。
最后，我们来探讨矢量和标量的运算法则的指导意义。
矢量和标量的运算法则为我们提供了处理与方向相关的物理问题的有效工具。
通过正确运用这些法则，我们可以准确地描述和计算物体在空间中的运动、力的作用以及其他与方向有关的物理现象。
此外，矢量和标量的运算法则也为我们提供了解决实际问题的方法。
无论是在工程、建筑还是其他领域，这些法则都可以帮助我们分析和解决各种复杂问题，提高工作效率和准确性。
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量1.引言1.1 概述矢量和标量是物理学中常见的概念。
在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。
标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。
例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。
在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。
它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。
在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。
我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。
我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。
我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。
我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
第三部分将探讨矢量和标量在物理中的应用。
我们将以实际的例子来说明矢量和标量在物理学中的重要性和用途。
我们将讨论矢量和标量在运动学、力学和其他物理学领域中的应用，并解释它们如何帮助我们理解和描述物理现象。
最后，我们将在第三部分总结本文的主要内容和观点。
我们将强调矢量和标量在物理学中的作用，以及它们在解决物理问题时的重要性。
动力学中的矢量与标量的区别
动力学中的矢量与标量的区别动力学是研究物体运动规律的学科，而矢量和标量是描述物理量的两种不同方式。
在动力学中，矢量和标量有着重要的区别和应用。
本文将从定义、性质和应用等方面介绍动力学中矢量与标量的区别。
一、矢量的定义和性质矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示。
在运动学和动力学中，矢量用来描述物体的速度、加速度、力等。
矢量的定义包括以下几个要素：大小、方向和作用点。
首先，大小指的是矢量的数量，有时也被称为模或大小。
例如，如果我们用矢量表示物体的速度，那么它的大小就代表了物体运动的快慢。
其次，方向指的是矢量的指向或朝向。
在物理中，我们常使用方位角或坐标系来表示矢量的方向。
对于速度矢量来说，方向可以表示物体的运动方向。
最后，作用点是指矢量所指向的位置。
例如，如果我们用矢量表示力，那么作用点就代表了力的施加位置。
矢量具有以下几个性质：1. 矢量之间可以进行加法和减法运算。
当两个矢量的方向相同时，则它们相加时大小为向量和。
当两个矢量的方向相反时，则它们相减时大小为两个向量之差。
2. 矢量和标量之间可以进行乘法运算。
矢量与标量相乘时，矢量的大小会按照标量的大小进行缩放，而方向保持不变。
3. 矢量可以进行正负号的运算。
正负号的改变只会改变矢量的方向，而不会改变矢量的大小。
二、标量的定义和性质标量是只有大小而没有方向的物理量，可以用实数表示。
在动力学中，标量常用来描述物体的质量、体积、时间等。
标量的定义只包括大小，不包括方向。
标量具有以下几个性质：1. 标量之间可以进行加法和减法运算。
当两个标量相加或相减时，结果仍然是一个标量。
2. 标量可以与矢量进行乘法运算。
标量与矢量相乘时，矢量的大小会按照标量的大小进行缩放，而方向保持不变。
3. 标量可以进行正负号的运算。
正负号的改变只会改变标量的值，而不会改变标量的性质。
三、矢量和标量的应用在动力学中，矢量和标量有着不同的应用。
1. 矢量的应用：矢量可以用来描述物体的速度、加速度和力等。
高中物理矢量和标量的总结
高中物理矢量和标量的总结
矢量
1. 定义：矢量是在方向和大小上都有特定确定的量。
是向量的抽象，它描述了物体在某一方向上的变化或者运动的特性。
2. 特点：（1）方向性：方向就是指位置、运动和力的变化情况。
一般说，矢量包含的都是某一方向的变化或运动，如速度、加速度、原力等。
（2）大小有限性：矢量它有一个明确的量值，即它的大小。
它的数值一定是某一方向上物体变化或运动的实际量值，如速度、加速度等。
（3）单位性：矢量都有特定的单位系统来表示，这里涉及到的常用单位有米、千米、公里、米每秒等。
3. 例子：矢量可以作为表示气体运动特性，或表示位置、速度等等。
还有某一物体在特定方向上施加力的大小也可以用矢量表示。
标量
1. 定义：标量是指在特定方向上的一种特定的物理量，不论它有多少方向上的变化，它的数值并不会改变。
2. 特点：（1）无方向性：它不仅表示某一方向上的变化，而且表示所有方向上的变化情况。
（2）大小无限性：标量的数值不会随着位置、运动和力的变化而变化，因此它的范围是无限的。
（3）单位无关性：标量可以用任何单位表示，它所表示的数值不随着单位变化而改变。
3. 例子：标量可以作为表示物体和空间的距离，可以用来表示物体的体积、质量等等。
它也可以表示时间的长短，如秒、分、小时等。
标量和矢量的例子
标量和矢量的例子
【标量例子】
1、压强：压强就是一个具有物理意义的标量，可以表示一个物体受到的压力大小，即任何给定体积内的物质的总力。
2、温度：温度是描述物质温度属性的标量，可以用摄氏度和华氏度来表示，一般
表示为0-100 °C。
3、电压：电压是描述电压大小的标量，用伏特(V)和千伏特(kV)来表示，它通常是指驱动电机时的动力大小。
4、风速：风速是一个标量，用来表示风的速度，是以公里/小时(km/h)表示的。
【矢量例子】
1、速度：速度是由速度大小和方向组成的矢量，一般用米/秒(m/s)或公里/小时(km/h)来表示，其格式为(vx,vy)。
2、加速度：加速度也是一种矢量，其格式为(ax,ay)，可以用米/秒方程来表示，其
表示的是某种物体的速度性能。
3、重力：重力是一个矢量，可以用米/秒方程来表示，其方向性表示物体与地心的距离。
4、电磁场：电磁场是一种矢量场，可以用米/秒方程来表示，它表示的是物体所处位置的电场强度大小，可以用来描述物体的磁性特性。
高一物理矢量和标量归纳知识点
高一物理矢量和标量归纳知识点在高一物理学习中，矢量和标量是重要的概念。
矢量是具有大小和方向的物理量，而标量只有大小没有方向。
深入理解和掌握这些概念对于学习物理非常关键。
下面将对高一物理矢量和标量的相关知识点进行归纳。
1. 矢量和标量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示，如力、速度、位移等。
它们在运算中需考虑方向和大小的综合作用。
而标量只有大小，没有方向，常用数字表示，如时间、温度、质量等。
标量在运算中只需考虑大小的计算。
2. 矢量的表示方法矢量可以使用多种表示方法，包括数值法、文字法和图示法。
数值法是指使用数值和单位来表示矢量，如10 m/s的速度矢量。
文字法是使用字母符号和单位来表示矢量，如V表示速度矢量。
图示法是通过箭头图示来表示矢量的大小和方向，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向。
3. 矢量的运算矢量的运算包括矢量相加和矢量相减。
矢量相加时，可以使用平行四边形法则或三角形法则。
平行四边形法则是将矢量按照顺序排列，然后把它们的起点连起来构成平行四边形，连接对角线得到结果矢量。
三角形法则是将矢量按照顺序排列，然后从第一个矢量的尾部画一条线到第二个矢量的尾部，再从第二个矢量的尾部画一条线到第三个矢量的尾部，连接第一个矢量的起点和第三个矢量的终点得到结果矢量。
矢量相减可以通过将被减矢量取反后再进行矢量相加来实现。
4. 矢量的分解矢量的分解是将一个矢量分解为数个分量，常用直角坐标系进行分解。
例如，将一个力矢量分解为水平和垂直方向上的分量。
分解后的矢量之和等于原矢量。
分解矢量使计算和分析更方便和准确。
5. 标量的运算标量的运算较为简单，只需考虑标量的大小即可。
标量相加时，只需将各个标量相加即可；标量相减时，只需用被减数减去减数即可。
标量的乘除法也是类似的，只需进行相应的数值计算即可。
6. 矢量和标量的关系矢量和标量之间有一种特殊的关系，即矢量可以表示为标量与方向的乘积。
例如，力可以表示为施力大小乘以施力方向的矢量。
矢量和标量运算
矢量和标量运算
矢量和标量是线性代数中的两个重要概念，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
在这里，我将简要介绍矢量和标量以及它们的运算。
1. 标量：标量是一个只有大小，没有方向的量。
在数学上，标量通常用一个实数或复数表示。
标量可以表示物理量的大小，比如质量、时间、温度等。
标量之间可以进行常规的算术运算，比如加减乘除等。
2. 矢量：矢量是一个既有大小又有方向的量。
在数学上，矢量通常用一个有序的数组或坐标来表示。
在物理学中，矢量可以表示力、速度、位移等具有方向的物理量。
矢量之间的运算包括矢量加法、数量乘法（标量与矢量相乘）、点积（内积）和叉积（外积）等。
矢量和标量的运算：
-矢量加法：两个矢量相加的结果是一个新的矢量，其大小由两个矢量的大小和夹角决定，方向由两个矢量的方向决定。
-数量乘法：一个标量与一个矢量相乘，结果是一个新的矢量，其大小等于标量与矢量的大小相乘，方向不变。
-点积（内积）：两个矢量的点积是一个标量，它等于两个矢量的大小乘积再乘以它们夹角的余弦值。
-叉积（外积）：两个矢量的叉积是一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小乘积再乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于这两个矢量所在的平面。
矢量和标量的运算在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用，它们是理解和描述自然现象以及进行科学计算和工程设计的重要工具。
矢量运算法则
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
(，R其,中,)均为 ,
h1 1, h2 R, h3 R sin
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量
不一(定u1都, u是2 ,长u度3 )，其线元必然
有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数
，就
可正确写出其线元、面元和体元。
h1, h2 , h3
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
五、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线
方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称
+
-
为矢线。
2. 通量：
h BC
A C
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
标量与矢量及其物理意义
标量与矢量及其物理意义标量和矢量是物理学中常用的概念，用于描述不同类型的物理量。
1.标量：标量是指只有大小没有方向的物理量。
简单来说，标量只需给出一个数值，而不需要指明方向。
例如，质量、温度、时间、功等就是标量。
标量之间可以进行加法和乘法运算。
标量在物理上的意义是描述物体的具体特征，数量的大小表示了其强度、大小或程度。
2.矢量：矢量是指既有大小又有方向的物理量。
与标量不同，矢量需要同时给出大小和方向。
例如，位移、速度、加速度、力等就是矢量。
矢量之间的运算包括加法、减法、数量乘法和矢量积等。
矢量在物理上的意义是描述物体的位置、方向以及引力、速度等特征。
物理量的标量和矢量性质直接决定了其在物理学中的应用和理解方式。
标量的物理意义：标量描述了具体特征的大小，它只需要一个数值来描述物体的强度、大小或程度，不需要指明方向。
标量可以用于描述物体的质量、体积、温度、容量等特征。
例如，物体的质量越大，意味着具有更大的惯性和惯性力，而温度越高表示物体的热量越大。
标量的物理意义是用来描述物体的具体特征的数量大小。
矢量的物理意义：矢量除了具有大小，还具有方向。
矢量描述了物体的位置、方向以及引力、速度等特征。
例如，位移矢量描述了物体从初始位置到结束位置的位移方向和位移大小。
速度矢量描述了物体的移动方向和速度大小。
力矢量描述了物体受到的外力的方向和大小。
矢量的物理意义是用来描述物体的位置、方向和引力等特征，进而帮助我们理解物体的运动和相互作用。
总结起来，标量和矢量都是物理学中常用的概念，用于描述不同类型的物理量。
标量只有大小，没有方向，描述物体的具体特征的数量大小。
矢量既有大小又有方向，描述物体的位置、方向和引力等特征。
标量和矢量在物理学中的意义不同，标量描述了物体的具体特征的数量大小，而矢量描述了物体的位置、方向和引力等特征，帮助我们理解物体的运动和相互作用。
高中物理量矢量标量
高中物理量矢量标量
在物理学中，物理量可分为矢量和标量。
矢量（Vector）：
1.定义：矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头或向量来表示，箭头的
长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
2.例子：位移、速度、加速度、力等都是矢量量。
3.表示方法：通常用粗体字母表示，如位移用r、速度用v表示。
标量（Scalar）：
1.定义：标量是只有大小而没有方向的量。
它们可以通过一个数值来描述。
2.例子：质量、时间、温度、电荷等都是标量量。
3.表示方法：通常用普通字母表示，例如质量用m、时间用t表示。
区别：
1.方向性：矢量有方向，标量没有方向。
2.表示方法：矢量通常用箭头或向量表示，标量用单个数值表示。
3.运算：矢量在运算中需要考虑方向性，例如矢量的相加需考虑方向，而标
量的运算仅仅涉及数值的加减乘除。
在物理学中，矢量和标量的概念是非常重要的。
例如，当描述运动时，速度是一个矢量，因为它不仅有大小（即速度的大小），还有方向（即速度的方向）。
而时间则是一个标量，因为它只有数值上的大小而没有方向。
理解这些概念对于物理学、工程学和许多其他科学领域的问题建模和解决非常重要，因为矢量和标量有不同的数学性质和行为。
第一章 矢量
矢量用坐标分量表示
z
A ex Ax ey Ay ez Az
Ax A cos Ay A cos
Az
A
Ay
y
Ax O
x Az A cos A A(ex cos ey cos ez cos )
P
(1,1,1)
而该点的梯度值为
P (2 x)2 (2 y) 2 (1) 2
3
(1,1,1)
显然，梯度 P 描述了P点处标量函数 的最大变化率， 即最大的方向导数，故 恒成立。 P l P
1.4 矢量场的通量与散度
1. 矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场
M
的方向。 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分
布状态。 矢量线方程：
dr r r dr
O
矢量线
F
dx dy dz Fx ( x, y, z ) Fy ( x, y, z ) Fz ( x, y, z )
2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念
1. 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 等值面方程： u ( x, y, z ) C 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
概念： u el u | ，其中 el l max
u 取得最大值的方向 l
高中物理矢量标量大全
高中物理矢量标量大全一、位移矢量位移矢量是指物体从一个位置到另一个位置的位移量，它具有大小和方向。
在物理学中，位移矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示物体的移动方向，箭头的长度表示物体的移动距离。
二、速度矢量速度矢量是指物体在单位时间内移动的距离和方向，它也具有大小和方向。
在物理学中，速度矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示物体的运动方向，箭头的长度表示物体的速度大小。
三、加速度矢量加速度矢量是指物体在单位时间内速度的变化量和方向，它也具有大小和方向。
在物理学中，加速度矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示物体加速度的方向，箭头的长度表示物体加速度的大小。
四、力矢量力矢量是指物体受到的作用力的大小和方向，它也具有大小和方向。
在物理学中，力矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示作用力的方向，箭头的长度表示作用力的大小。
五、动量矢量动量矢量是指物体的质量和速度的乘积，它也具有大小和方向。
在物理学中，动量矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示物体的运动方向，箭头的长度表示物体的动量大小。
六、角动量矢量角动量矢量是指物体的转动惯量和角速度的乘积，它也具有大小和方向。
在物理学中，角动量矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示物体的转动方向，箭头的长度表示物体的角动量大小。
七、力矩矢量力矩矢量是指物体受到的力矩的大小和方向，它也具有大小和方向。
在物理学中，力矩矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示力矩的方向，箭头的长度表示力矩的大小。
八、磁场强度矢量磁场强度矢量是指磁场对单位电荷的作用力的大小和方向，它也具有大小和方向。
在物理学中，磁场强度矢量通常用箭头表示，箭头的方向表示磁场的方向，箭头的长度表示磁场的强度。
九、标量路程，速率，功，功率，机械能，势能，动能，密度，温度，质量，体积，面积，电量，电流，电压，电容，电感，磁通量，电通量。
矢量和标量的定义50517
2.减法：换成加法运算
D A B A (B)
逆矢量：B 和 (B) 旳模相等，方向相反，互为逆矢量。
D
A
AD
B
B
B
C
推论：
B
ABC 0
A
任意多种矢量首尾相连构成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量旳减法运算：
A B ( Ax Bx )aˆx ( Ay By )aˆy ( Az Bz ) aˆz
aˆ
|
A A
|
Ax | A|
aˆx
Ay | A|
aˆ y
|
Az A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz 方向角与方向余弦： , ,
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C ( Ax Bx Cx )aˆx ( Ay By Cy )aˆy ( Az Bz Cz ) aˆz
z
Az
A
根据矢量加法运算：
其中：
A Ax Ay Az
o
Ax
x
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
z
模旳计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
单位矢量：
第0章 矢量分析基础
一、矢量和标量旳定义
1.标量：只有大小，没有方向旳物理量。 如：温度 T、长度 L 等
物理学中的矢量与标量
矢量[1]（vector quantity）和标量（scalar quantity）的定义简单的理解：“矢量和标量的定义如下：（到大学物理中会详细研究）（1）定义或解释：有些物理量，既要有数值大小(包括有关的单位)，又要有方向才能完全确定。
这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。
比如说位移这样的物理量，这样的量叫做物理矢量。
有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。
这些量之间的运算遵循一般的代数法则。
例如温度、质量这些物理量，这样的量叫做物理标量。
（2）说明：①矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
A-B=A+(-B)。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
②物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是学习物理学的有用工具。
”（3）矢量有两种，一种为只有大小与方向的物理量，譬如速度，我们称之为“奇矢量”；另外一种不但有大小与方向的物理量，而且还在矢量间作用产生效果所需时间的一个量，譬如力，我们称之为“偶矢量”或“极限矢量（即时、有上限）”，因为它们在矢量间作用产生效果所需的时间是即时与光速的。
矢量的大小比较一般来说，矢量只有在同方向上才可比较大小，不同方向上的矢量一般不能比较大小。
个人的理解：矢量规律的总结，基于人们对空间广义的对称性的理解。
标量和矢量
标量和矢量
标量和矢量（scalar and vector）只有大小的量，即可用一个数完全确定的量，叫标量。
国际单位制中的七个基本量都是标量。
物理学中的标量可归为两类：一类是恒正的标量，如长度、质量、动能、热力学温度等；另一类是可以取负值的标量，如功、重力势能、热量、电流、电荷量、电势、电动势等以及一切标量的增量。
标量间的运算遵循一般的代数法则。
矢量是一种既有大小又有方向的量，它的合成遵循平行四边形定则。
物理学中的位移、力、力矩、电场强度等都是矢量。
矢量的大小（绝对值）又叫矢量的模。
与某一给定矢量同方向而它的模等于1的矢量叫给定矢量的单位矢量。
所有的矢量都可以表示为它的模和单位矢量的乘积。
矢量可用有向线段来表示。
在直角坐标系O-xyz中，表示矢量a的有向线段的方向余弦l，m，n之间存在l2+m2+n2=1的关系，因此矢量的方向可由两个数来决定，再加上模的数值，所以矢量又可定义为能用三个数完全确定的量。
物理学中的矢量可分为三类：①自由矢量：指向固定、起点任意的矢量，如平动刚体的位移，作用在刚体上的力偶矩等；②滑移矢量：指向固定、起点可在矢量作用线上任意移动的矢量，如作用在刚体上的力，做定轴转动刚体的角速度等；③固定矢量：指向、起点都固定的矢量，如运动质点的速度，非匀强电场中点电荷受到的电场力等。
物理学中有些物理量也规定了方向，但它们不是矢量，这可从它们的合成是否遵从平行四边形定则来判断。
例如，非无限小的角位移，可根据右手螺旋定则定出它的方向，但它的合成不遵从平行四边形定则，相加的顺序不可互易，所以它不是矢量。
矢量&标量
矢量（1）定义或解释：有些物理量，既要有数值大小(包括有关的单位)，又要有方向才能完全确定。
这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。
这样的量叫做物理矢量。
有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。
这些量之间的运算遵循一般的代数法则。
这样的量叫做物理标量。
（2）说明：①矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
A-B=A+(-B)。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
②物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是学习物理学的有用工具。
”补充:矢量的大小比较.一般来说,矢量只有在同方向上才可比较大小,不同方向上的矢量一般不能比较大小.个人的理解：矢量规律的总结，基于人们对空间广义的对称性的理解。
矢量所根据的对平移与转动的对称性（不变性）。
对迄今发现的所有规律均有效。
使用矢量分析方法，较数学分析，相当于知道结论推过程，十分方便。
这种方法具有极大的创造性，对物理研究或许有所启发。
物理学上常见的矢量、标量举例：①矢量：力(包括力学中的"力"和电学中的"力"),力矩、线速度,角速度,位移,加速度,动量,冲量,角动量,场强等②标量：质量、密度、温度、功、功率、动能、势能、引力势能、电势能、路程、速率、体积、时间、热量、电阻、路程等标量亦称“无向量”。
高中物理量标量矢量分类
高中物理量标量矢量分类
物理量是研究物理现象时描述物体状态和运动的概念，包括质量、速度、能量等。
在
物理学中，物理量可以被分为标量和矢量两大类。
标量是指仅有大小没有方向的物理量，例如温度、时间、电阻等。
标量物理量可用一
个数表示，并采用相应的单位计量，如温度以摄氏度或华氏度表示，时间以秒表示等等。
标量物理量间可以进行简单的加减乘除等数学运算。
例如，在一堆物品中，总的物品数量
可以被描述为一个标量，即物品数量。
矢量是指既有大小又有方向的物理量，例如位移、速度、加速度等。
该类物理量可用
一个有方向的向量表示。
在物理学中，向量通常使用箭头来表示方向。
例如，一辆汽车往
东方向行驶，速度与运动方向一致，因此可用一个向东的箭头来表示它的速度矢量。
我们
可以用向量的长度（或大小）来表示其数值，用向量方向来表示其方向并采用相应的单位
计量。
与标量不同，矢量的加减法是矢量学中的基本运算。
加减法的结果还是一个矢量，与
原来的矢量有不同的方向和大小。
例如，在行驶中的车辆上再施加一个向前的力，将会导
致车辆的前进加速度增加，并因此产生新的速度和方向。
在物理学中，常常需要比较和计算物理量，因此将物理量分为标量和矢量是非常有意
义的。
理解和应用这些物理量是解决物理问题的重要基础。
此外，还有一些特殊的物理量，如张量，它既有大小又有方向，但是它的方向是由物
体的坐标系决定的，不具有固定的方向。
例如，压力张量可以表示固体体内的力分布情况，需要知道一个固定坐标系下所有的单位面积上的压力分量才能完整描述。
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三、矢量和标量
师：像位移这样的物理量，既有大小又有方向，我们以前学过的物理量很多都只有大小，没有方向，请同学们回忆并说给大家听听．学生讨论后回答
生：温度、质量、体积、长度、时间、路程．
对于讨论中学生可能提出这样的问题，像电流、压强这两个学生学过的物理量，它们是有方向的，但它们仍然是标量．这在以后的学习中会更进一步加深对矢量和标量的认识．
学生阅读课文后，说说矢量和标量的算法有什么不同．
生：两个标量相加遵从算术加法的法则．
[讨论与思考]
一位同学从操场中心A出发，向北走了40 m，到达C点，然后又向东走了30 m，到达B点．用有向线段表明他第一次、第二次的位移和两次行走的合位移(即代表他的位置变化的最后结果的位移)．三个位移的大小各是多少?你能通过这个实例总结出矢量相加的法则吗? 解析：画图如图1—2—4所示．矢量相加的法则是平行四边形法则．
[讨论与思考]
气球升到离地面80m高空时，从气球上掉下一物体，物体又上升了10 m高后才开始下落，规定向上方向为正方向．讨论并回答下列问
题，体会矢量的表示方向．
(1)物体从离开气球开始到落到地面时的位移大小是多少米?方向如何?
(2)表示物体的位移有几种方式?其他矢量是否都能这样表示?注意体会“+”“－”号在表示方向上的作用．
解析：(1)一80m，方向竖直向下；(2)到现在有三种：语言表述法，如“位移的大小为80m，方向竖直向下”；矢量图法；“+”“一”号法，如“规定竖直向上为正方向，则物体的位移为一80m”．[课堂训练]
(播放1 500m比赛的录像片断)
在标准的运动场上将要进行1 500米赛跑，上午9
时20分50秒，发令枪响，某运动员从跑道上最内圈
的起跑点出发，绕运动场跑了3圈多，到达终点，成绩是4分38秒．请根据上面的信息讨论以下问题，并注意题中有关时间、时刻、路程、位置变化的准确含义．
(1)该运动员从起跑点到达终点所花的时间是多少?(4分38秒)起跑和到达的时刻分别是多少?(上午9时20分50秒、上午9时25分28秒) (2)该运动员跑过的路程是多少?(1 500米)他的位置变化如何?(起跑点到终点的连线)
四、直线运动的位置和位移
提出问题：我们怎样用数学的方法描述直线运动的位置和位移?
如果物体做的是直线运动，运动中的某一时刻对应的是物体处在某一位置，如果是一段时间，对应的是这段时间内物体的位
移．
如图1—2—6所示，物体在时刻t1处于“位置”x1，在时刻t2运动到“位置”x2
那么(x2－x1)就是物体的“位移”，记为Δx ＝x2－x1 可见，要描述直线运动的位置和位移，只需建立一维坐标系，用坐标表示位置，用位置坐标的变化量表示物体位移．
在一维坐标系中，用正、负表示运动物体位移的方向．如图1—2—7所示汽车A的位移为负值，B的位移则为正值．表明汽车B的位移方向为x轴正向，汽车A的位移方向为x轴负向．。