高中立体几何证明方法及例题

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系; 高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1.线线、线面、面面平行关系的转化:

面面平行性质 II

a,

a ,b

a II b

a b A a // b

II

(a//b,b//c a I Ic )

V

线线// 线面平行判定 线面// 面面平行判定1

面面// < --------------------------- < --------------------------- a II

面面平行性质 公理4 II a II , b //

a ,

b a II a II a II

II II II 成直二面角

a

b

a

b

a

a

a

//

b

a

a b

e o

X!

A

O 8

O

/ /

3.平行与垂直关系的转化:

a / /

b 线面垂直判定2 面面平行判定2

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：(1)找出或作出有关的角;

(3)指出所求作的角；

(2)证明其符合定义; (4)计算大小。

线面垂直性质2

面面平行性质3

4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。 5•唯一性结论：

① 过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行 ② 过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直 ③ 过空间一点，有且只有一个平画与已知直线垂直

应用中常用于反 证袪”或"同一法”

(2)直线与平面所成的角： 0°<0< 90°

(3)二面角：二面角的平面角0°<0< 180 °

(走义法)

(三垂蛭定理法)

(垂面法・江棱门

1.三类角的定义:

(1)异面直线所成的角B:

0°<0< 90 °

a / /b

面面

线面丄

线线

A.60 °

B.45 °

C.30 °

D.120 °

解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，贝U

1 1

EG // — PC , FG // — AB

2 2

•••/ EGF 为AB 与PC 所成的角 在厶EGF 中，由余弦定理，

/

EG 2 FG 2 EF 2 52 32 7 1 cos Z EGF

2 • EG • FG

2 5 3

2

• AB 与PC 所成的角为180° - 120°= 60° •••选 A

3

B. -

6

由题意：丄4 1

2

【典型例题】

（一）与角有关的问题 例1.

（1）如图，E 、F 分别为三棱锥 P — ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC = 10, AB = 6, EF = 7,则异

面直线AB 与PC 所成的角为（

）

设正四棱锥的高为

解：

斜高为h'

（2 ）已知正四棱锥以棱长为 1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正 四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（

）

① 点P 到平面QEF 的距离为定值；

② 直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值; ③ 二面角P — EF — Q 的大小为定值； ④ 三棱锥P — QEF 的体积为定值 其中正确命题的序号是

二A 1D 1上定点P 到面A 1B 1CD 的距离为定值

•••①对，②错

二面角P — EF — Q ,即面PDF 与面A 1B 1CD 所成的角，且平

面角/ PDA 1为定 值，.••③对

因为A 1B 1 // DC ,且EF 为定值，• S QEF 为定值

又P 点到平面QEF 的距离为定值，• V P QEF 为定值，•④对

综上，①③④正确。

例2.图①是一个正方体的表面展开图， MN 和PQ 是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将

PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：

(1 )求MN 和PQ 所成角的大小；

(2)求四面体 M — NPQ 的体积与正方体的体积之比；

1侧棱长PB . h 2

OB 2

6 2

<26 1

■ 2

2

2

• cos Z PBO OB

2 .13

PB

.26

13

2

选A

(3)如图，在正方体

ABCD A 1B 1C 1 D 1中，P 为A 1D 1上的一个定点， Q 为

2

E 、

F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，有下列命题:

A 1

B 1上的任意一点,

解:

平面QEF 即是平面A 1B 1CD

MN ，

O

5 6

A

B

2

3

(3)求二面角M — NQ — P 的大小。

N

z z

C

图①

•••/ MEO = 60°

即二面角M — NQ — P 的大小为60°。

解：(1)如图②，作出

MN 、PQ

•/ PQ // “6又厶MNC 为正三角形 •••/ MNC = 60°

••• PQ 与MN 成角为60

(2)

V M

NPQ

V Q PMN

1

3S PMN • MQ 3

1

6 2S PMN MQ

1

6S pMDN • MQ

正方体

即四面体M — NPQ 的体积与正方体的体积之比为 1: 6

(3)连结MA 交PQ 于0点，贝U MO 丄PQ

又NP 丄面PAQM ,• NP 丄MO ，贝U MO 丄面PNQ 过O 作OE 丄NQ ，连结 ME ，贝U ME 丄NQ •••/ MEO 为二面角 M — NQ — P 的平面角 在 Rt △ NMQ 中，ME • NQ = MN • MQ

设正方体的棱长为 a

ME

2a • a ..3a

在Rt MEO 中，sin / MEO

MO ME