计算机控制技术(最少拍、大林算法习题课专用)

大林算法
e 2 s G (s) 已知被控对象传递函数为： ， ， s ( s 1) T 1s 期望闭环传递函数的惯性时间常数 T 2 s ，试根据
大林算法，求数字控制器D(z)。
大林算法
e 2 s G (s) 已知被控对象传递函数为： ， ， s ( s 1) T 1s 期望闭环传递函数的惯性时间常数 T 2 s ，试根据
1 C1 1 (T1e T / T1 T2 e T / T2 ) T2 T1
C2 e
T (1/ T1 1/ T2 )
1 (T1e T / T2 T2 e T / T1 ) T2 T1
代入D(z)中，得：
(1 e T / T )(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / T2 z 1 ) D( z) K (C1 C 2 z 1 )[1 e T / T z 1 (1 e T / T ) z ( N 1) ]
F1 ( z ) 1 f11 z 1 F2 ( z ) f 21 z 1 f 22 z 2 f 23 z 3
U(z), Y(z), E(z)
离散控制系统如图所示，被控对象为Gc(s)，采用零阶 保持器，采样周期T=1s，试设计当输入信号为单位速 度信号时的最少拍有纹波控制器。
当被控对象为带有纯滞后的二阶惯性环节时：
1 e Ts C1 C2 z 1 Ke s N 1 G( z) Z Kz T / T1 1 T / T2 1 s ( T s 1)( T s 1) (1 e z )(1 e z ) 1 2
G’(z)：G(z)中不包含单位圆上和单位圆外的零极点。
u: G(z)中单位圆上和单位圆外的零点数。
v: G(z)中单位圆上和单位圆外的极点数。
1. 最少拍有纹波控制器设计的约束条件：
G(z)中有单位圆上和单位圆外的极点时：
选择：
e ( z ) (1 ai z 1 )F1 ( z )
Gc(s)
c (t)
数字控制器输出闭环脉冲传递函数为：
U ( z) D( z ) ( z ) U ( z ) R( z ) 1 D( z )G( z ) G( z )
若已知脉冲传递函数，可以计算出D(z)
已知Φ(z)，可计算出D(z)：
1 ( z) D( z) G( z) 1 ( z)
最少拍有纹波控制系统设计
计算机控制系统脉冲传函
典型的数字反馈系统：
R(z) r (t) e*(t) u*(t) Φ (z)
G(z)
C (z)
+ _ E(z) D(z) U(z) Ho(s)
Gc(s)
c (t)
G(z) 广义对象的脉冲传递函数：
1 e Ts G( z ) Z H 0 ( s )GC ( s ) Z GC ( s ) ; s
后时间等于被控对象的滞后时间，即： 期望的闭环传递函数为：
e s ( s ) , NT T s 1
大林算法闭环传递函数为：
1 e T s Y ( z) ( z ) Z ( s) R( z ) s 采用零阶保持器，采样周期为T。系统闭环传递函数为:
（3）根据控制系统的性能指标及其输入条件，确定出整个闭环 系统的脉冲传递函数 ( z )
（4）确定数字控制器的脉冲传递函数D(z):
1 e ( z) ( z ) ( z ) D( z ) G( z )[1 ( z )] G( z ) e ( z ) G( z ) e ( z )
Φ (z)
R(z) r (t) e*(t) u*(t) + _ E(z) D(z) U(z) Ho(s) G(z) C (z)
Gc(s)
c (t)
1 e Ts H0(s) 零阶保持器： H o ( s) s 开环冲传递函数： K ( z ) D ( z ) G ( z )
闭环脉冲传递函数： ( z )
m=u+d
v j i 1 i 1 v j
n=v–j+q
e ( z ) (1 ai z 1 )(1 z 1 ) j F1 ( z )
m=u+d n=v
最少拍控制器的设计过程： 0.63z 1 (1 0.368z 1 )(1 1.56z 1 ) G( z) 根据R(z)、G(z) (1 3.68z 1 )(1 0.718z 1 )(1 z 1 )
D(z)必须满足以下条件： ► 由此而得到的D(z)是物理可实现的 ► D(z)也必须是稳定的
数字控制器的设计步骤： （1）根据被控对象的传递函数，求出系统的广义对象的传递 函数: 1 e Ts
G( s) s Gc ( s)
（2）求出G(s)所对应的广义对象脉冲传递函数G(z)：
G ( s) 1 e Ts G( z ) Z [G( s)] Z [ Gc ( s)] (1 z 1 ) z[ c ] s s
⑤ 控制量的输出为：
Y ( z) U ( z) 1.068 0.512 z 1 0.523 z 2 0.281z 3 G( z)
可以看出，控制量出现大幅度衰减振荡。
大林算法
振铃现象产生的规律：
— 极点距离 z = -1越近，振铃现象越严重； — 单位圆内右半平面的零点会加剧振铃现象； — 单位圆内右半平面的极点会减弱振铃现象。
离散控制系统如图所示，被控对象为Gc(s)，采用零阶 保持器，采样周期T=0.5s，试设计当输入信号为单位 阶跃信号时的最少拍有纹波控制器。
离散控制系统如图所示，被控对象为Gc(s)，采用零阶 保持器，采样周期T=0.1s，试设计当输入信号为单位 阶跃信号时的最少拍有纹波控制器。
大林算法
i 1
v
G(z)中有单位圆上和单位圆外的零点时： 选择：
( z ) z d (1 bi z 1 )F2 ( z )
i 1
u
2. F1(z), F2(z)的确定：
如果G(z)有 j 个极点在单位圆上(z=1), 则：
j q: j q: e ( z ) (1 ai z 1 )(1 z 1 ) q F1 ( z )
v, u, d, j , q
Tz 1 R( z ) (1 z 1 ) 2
m, n
F1(z), F2(z)
Φe(z) Φ(z)
( z ) D( z ) G ( z ) e ( z )
f11 , f21 Φ(z)=1-Φe(z)
v=2, (圆上圆外极点数) u=1, (圆上圆外零点数) d=0, (z-1重数) j=1, (单位圆上极点数) q=2, ( R(z)中(1-z-1)q ) j ≤ q, m = u + d = 1, n=v–j+q=3
（5）对最少拍无波纹系统，验证是否有波纹存在；对于带 纯滞后的惯性环节，还要看其是否出现振铃现象。 （6）根据采用周期、时间常数及其他条件求出相应的系数， 并将其转换成计算机能够接受的数据形式。
最少拍系统设计中必须满足准确性、快速性、稳定性和 物理可实现性的要求，下面讨论最少拍有纹波控制系统的 设计方法。
Φ (z)
R(z) r (t) e*(t) u*(t) + _ E(z) D(z) U(z) Ho(s) G(z) C (z)
Gc(s)
c (t)
已知Φe(z)，可计算出D(z)：
1 1 e ( z) D( z) G( z) e ( z)
U ( z ) U ( z ) D ( z ) 已知ΦU(z)，可计算出D(z)： 1 U ( z )G( z ) 1 ( z )
1 e T s e τ s 1 e T s Y ( z) ( z ) Z ( s) Z R( z ) s s T s 1 1 e T s e 2 s Z s 2 s 1 -3 0.393z -1 1 - 0.607z
es ( s ) , NT T s 1 1 eTs e NTs (1 eT / T ) z N 1 z[ ] s T s 1 1 eT / T z 1
控制器的传递函数为：
1 ( z ) 1 z N 1 (1 e T / T ) D( z ) G( z ) 1 - ( z ) G( z ) 1 e T / T z 1 (1 e T / T ) z N 1
K ( z) D ( z )G ( z ) 1 K ( z ) 1 D ( z )G ( z )
E( z) 1 1 (z) 误差脉冲传递函数： e ( z ) R ( z ) 1 D ( z )G ( z )
Φ (z)
R(z) r (t) e*(t) u*(t) + _ E(z) D(z) U(z) Ho(s) G(z) C (z)
振铃现象的消除：
方法：找出D(z)中引起振铃的因子（z = -1附近的极点），令
其中的z = 1。
大林算法
对前例
1.068(1 z 1 )(1 0.368 z 1 ) D( z) (1 0.718 z 1 )(1 0.607 z 1 0.393 z 3 )
⑥ 显然 z = -0.718是一个接近 z = -1的极点，它是引起振 铃现象的主要原因。在因子 (1+0.718z-1)中令 z = 1，得 到新的D(z)为： 1.068(1 z 1 )(1 0.368 z 1 ) D( z) 1.718(1 0.607 z 1 0.393 z 3 ) 因此
大林算法
1.068(1 z 1 )(1 0.368 z 1 ) ③ 数字控制器D(z)为 D ( z ) (1 0.718 z 1 )(1 0.607 z 1 0.393 z 3 ) ④ 单位阶跃输入下闭环系统的输出为：
Y ( z ) R ( z ) ( z ) 0.393 z 3 0.632 z 4 0.775 z 5
大林算法，求数字控制器D(z)。
解：
系统的广义对象脉冲传函为： ①
1 1 e s e 2 s 3 0.368(1 0.718 z ) G( z) Z z 1 1 s s ( s 1) (1 z )(1 0.368 z )
大林算法
根据大林算法： 期望闭环传递函数的惯性时间常数 T 2 s ， 因此，系统的闭环脉冲传递函数为： ②
大林算法

在控制系统设计中，纯滞后往往是影响系统动态特
性的不利因素，这种系统如果控制器设计不当，常 常会引起系统产生大的超调或振荡。

大林算法是一种专门针对工业生产过程中含有纯滞 后控制对象的直接数字设计算法。
大林算法

大林算法的设计目标是：
设计数字控制器，Biblioteka Baidu系统的闭环传函为具有纯
滞后的一阶惯性环节，而且要求闭环系统的纯滞
当被控对象为带有纯滞后的一阶惯性环节时：
T / T 1 1 e T s Ke NT s 1 e - N -1 G( z) Z K z T / T 1 1 s T s 1 1 e z 1
代入D(z)中，得：
D( z )
(1 e T / T )(1 e T / T1 z 1 ) K (1 e T / T1 )[1 e T / T z 1 (1 e T / T ) z N 1
Y ( z ) R ( z ) ( z ) 0.229 z 3 0.532 z 4 0.716 z 5