2021届新高考数学一轮课件：专题四+函数、不等式中的恒成立问题

∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2) ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min
注：上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最 值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值，那么上述结果 可以用函数值域相应的端点值表述.
例 1：已知两个函数 f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋ 4x，x∈[－3,3]，k∈R.
【名师点评】已知不等式恒成立(或有解)求参数问题的解 法(转化为最值问题)
(1) 分离参数法：化为 a>f(x)(或a<f(x)) 恒成立或有解 ⇔ a>f(x)max(或 a<f(x)min)或 a>f(x)min(或 a<f(x)max)
(2)直接求最值法：①f(x)>0 恒成立(或有解)⇔f(x)min>0(或 f(x)max>0)②解不等式，求参数的取值范围.
专题四 函数、不等式中的恒成立问题
纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重 点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、 渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等 数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除了这类 题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和 套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段 出现的这类问题进行总结和探讨.
(1)求曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程； (2)讨论函数 g(x)的极小值； (3)若对任意的 x1∈[－1,0]，总存在x2∈[e,3]，使得f(x1)>g(x2) 成立，求实数 a 的取值范围.
当 a≤0 时，由 g′(x)>0 得 x>1，由 g′(x)<0 得 0<x<1，即 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值， 各类不等式与函数最值关系如下：
不等式类型
与最值的关系
∀x∈D，f(x)＞M
∀x∈D，f(x)min＞M
∀x∈D，f(x)＜M
∀x∈D，f(x)max＜M
∃x0∈D，f(x0)＞M
∀x∈D，f(x)max＞M
∃x0∈D，f(x0)＜M
∀x∈D，f(x)min＜M
∀x∈D，f(x)＞g(x)
∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0
∀x∈D，f(x)＜g(x)
∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0
∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2) ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max
∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2) ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min ∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2) ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max
令 h′(x)＝6x2－6x－12＝0，得 x＝2 或 x＝－1，
∵h(－3)＝k－45，h(－1)＝k＋7，h(2)＝k－20，h(3)＝k－9， ∴h(x)min＝k－45≥0，得 k≥45.
(2)据题意：∃x∈[－3,3]，使 f(x)≤g(x)成立， 即为 h(x)＝g(x)－f(x)≥0 在 x∈[－3,3]上能成立， ∴h(x)max≥0. ∴h(x)max＝k＋7≥0，即 k≥－7. (3)据题意：f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]， 易得 f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－3)＝－21， ∴120－k≤－21，得 k≥141.
(2)设函数 g(x)在区间[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 使 f(x1)－g(x2)＝0，
【规律方法】(1)求 f(x)的值域可以利用导数，也可以利用 基本不等式求解.
(2)若对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)＝g(x2)的 本质就是函数 f(x)的值域是函数 g(x)值域的子集.
g(x)极小值＝g(1)＝1－a. 综上，g(x)极小值＝1－a. (3)对任意的 x1∈[－1,0]，总存在 x2∈[e,3]，使得 f(x1)>g(x2) 成立，等价于 f(x)在[－1,0]上的最小值大于 g(x)在[e,3]上最小值. 当 x1∈[－1,0]时，f′(x)＝x(1－ex)≤0， f(x)在[－1,0]上递减，f(x)min＝f(0)＝1.
【跟踪训练】 已知函数 f(x)＝x2eax(a<0). (1)若 a＝－1，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
a 的取值范围.
当 x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
Leabharlann Baidu
x
(－∞，－1)
(－1,1)
(1，＋∞)
g′(x)
－
＋
－
g(x)
单调递减
单调递增
单调递减
思维点拨：(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的 解析式确定函数的单调区间即可.
(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范 围，然后证明所得的范围满足题意即可.
【方法点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有 效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用 的考查主要从以下几个角度进行：①考查导数的几何意义，往 往与解析几何、微积分相联系；②利用导数求函数的单调区间， 判断单调性；已知单调性，求参数；③利用导数求函数的最值(极 值)，解决生活中的优化问题；④考查数形结合思想的应用.
(1)若对∀x∈[－3,3]，都有 f(x)≤g(x)成立，求实数 k 的取 值范围；
(2)若∃x∈[－3,3]，使得 f(x)≤g(x)成立，求实数 k 的取值 范围；
(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有 f(x1)≤g(x2)，求实数 k 的取 值范围.
解：(1)设 h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k， 问题转化为 x∈[－3,3]时，h(x)≥0 恒成立，即 h(x)min≥0， x∈[－3,3].