高中数学必修四第一章知识点(精华集锦)

高中数学必修4第一章三角函数知识点总结

文献编辑者——周俞江

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限

对应的标号即为n

α终边所落在的区域．

“唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持”

等分角所在象限的判断方法，在解决这类问题时，我们既可以采用常规的代数法，也可以利用数形结合思想，采用图示法巧妙对n

α角所在的象限做出正确判断。 一、代数法

就是利用已知条件写出α的范围，由此确定n α角的范围，再根据n

α角的范围确定所在的象限；

【例1】已知α为第一象限角，求2

α角所在的象限。 解：∵ α为第一项限角

∴

90360360+⨯⨯k k ＜＜α )(Z k ∈

451802

180+⨯⨯k k ＜＜α

)(Z k ∈

若k 为偶数时：

则)(2Z n n k ∈=,则

453602

360+⨯⨯n n ＜＜α

)(Z n ∈

∴ 2

α角是第一象限角；

若k 为奇数时： 则)(12Z n n k

∈+=，则)(2253602

180360Z n n n ∈+⨯+⨯ ＜＜α

∴ 2

α角是第三象限角； 因此，2

α角是第一象限或第三象限角

【例2】已知α为第二项限角，求2

α角所在的象限。 解：∵ α为第二项限角

∴

180********+⨯<<+⨯k k α )(Z k ∈

901802

45180+⨯<<

+⨯k k α

)(Z k ∈

若k 为偶数时：)(2Z n n k

∈=,则

903602

45360+⨯<<

+⨯n n α

)(Z n ∈

∴ 2

α角是第一象限角； 若k 为奇数时：

)(12Z n n k ∈+=，则)(2703602

225360Z n n n ∈+⨯<<+⨯ α

∴ 2

α角是第三象限角； 因此，2

α

角是第一象限或第三象限角 二、图示法

就是在平面直角坐标系中，将坐标系的每个象限n 等分，通过“标号”、“选号”

α角所在的象限；

和“定象限”几个步骤最后确定

n

α

【例3】已知α为第三项限角，求

3

1

（图1）

α角所在的象限，所以画出直角坐标系，如图1所示，把每个解：第一步：因为要求

3

象限等分三等份；

第二步：标号，如图所示，从靠近x轴非负半轴的第一项限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4；

第三步：因为α为第三项限角，所以在图中将数字3的范围画出，可用阴影表示；

α角的终边就在那个象限；

第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，

3

α角为第一、第三或第四象限角。

由以上步骤可知，α为第三项限角，

3

α

【例4】已知α为第四项限角，求

2

3 2

4 1

2 3

解：第一步：因为要求2

α角所在的象限，所以画出直角坐标系， （图2） 如图2所示，把每个象限等分二等份；

第二步：标号，如图所示，从靠近x 轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1,2,3,4,1,2,3,4；

第三步：因为α为第四项限角，所以在图中将数字4的范围画出，可用阴影表示； 第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，2

α角的终边就在那个象限；

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=．

7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180

π

=

，180157.3π⎛⎫

=≈

⎪⎝⎭

． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，

2C r l =+，211

22

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()

220r r x y =+>，则sin y

r α=，cos x r α=，()tan 0y x x

α=≠．若在单位圆中，则有y =αsin ，

x =αcos ，x

y =

αtan 。 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=

()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭

． 13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．