二次函数ppt课件演示文稿

判别式 Δ＝b2－4ac
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的 解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解 集
Δ>0
Δ＝0 Δ<0
{x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1}
{x|x∈R}
{x|x1<x<x2}
∅ ∅
3. 二次函数在闭区间上的最值问题 y＝f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在[m，n]上的最值问题． k ， (1)h∈[m，n]时，ymin＝____ ymax＝max{f(m)，f(n)}； (2)h∉[m，n]时，当h<m时，f(x)在[m，n]上 f(m) ，y f(n) 单调______ 递增 ，ymin＝______ max＝______； 递减 ， 当h>n时，f(x)在[m，n]上单调______ f(n) f(m) ymin＝______ ，ymax＝______.
第五节 二次函数
基础梳理 1.二次函数的性质与图像 y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数，它的 (1)函数_______________ 定义域是______ . R (2)二次函数有如下性质： 一条抛物线 ①函数的图象是__________ ，抛物线顶点的坐 b b 4ac b , x 标是________ ； 4a ，抛物线的对称轴是________ 2a 2a b ②当a>0时，抛物线开口______ ，函数在x＝ 2a 向上 b b f , 处取____ 最小 值________ 2a 上是减 2a ；在区间________ b 函数，在________ 上是增函数； 2a 向下，函数在 ③当a <0 时，抛物线开口 ______ b b f x 2a ________ 处取最大值________ ；在区间 2a b b , 2a ________ 上是增函数，在_______ 2a 上是减函数； (0，c ) ④与y轴的交点是______ ；
3. f(x)＝x2＋2(2－a)x＋2在(－∞，2]上是减函数 ，则a的取值范围是________．
4, 解析：
要使f(x)在(-∞，2]上是减函数，只要对称轴 2 2 a x 2 ≥2即可，解得a≥4.
4. (教材改编题)函数y＝x2＋4x＋3在[－1,0]上 的最大值是________，最小值是________． 3 0 解析：
y=x2+4x+3=(x+2)2-1，对称轴x=-2在[-1,0]的 左侧，所以函数在[-1,0]上单调递增． 故当x=0时，f(x)取最大值f(0)=3； 当x=-1时，f(x)取最小值f(-1)=0.
经典例题
题型一 二次函数的解析式 【例2】 已知二次函数f(x)对任意实数t满足关系 f(2＋t)＝f(2－t)，且f(x)有最小值－9，又知函数 f(x)的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6， 求函数f(x)的解析式． 分析：由f(2+t)=f(2－t)知函数有对称轴x=2，又最小 值为－9，故二次函数可设顶点式y=a(x-2)2-9，再根 据另一个条件求出a即可．另外，也可以根据第二 个条件设解析式的形式，由两根之间的距离为6及 对称轴为x=2可知f(x)=0的两根x1=－1，x2=5，据此设 二次函数为y=a(x+1)(x-5)．
方法二： 利用二次函数的两根式． 由题意知f(x)=0的两根：x1=－1，x2=5， 故设f(x)=a(x+1)(x－5)， 又顶点坐标为(2，－9)， 代入解析式得－9=a(2+1)(2－5)， ∴a=1，∴f(x)=(x+1)(x－5)=x2－4x－5.
变式1－1
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1， 且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．
2. 二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式三者之间的关系
判别式Δ＝ b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0) 的图象
一元二次 方程ax2＋ bx＋c＝ 0(a>0) 的根
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
有两相异 实根x1两相等 没有实数 实数根 b 根 x1 ＝x2 ＝ 2 a
解：方法一： 利用二次函数的顶点式． 由f(2+t)=f(2－t)知函数对称轴为x=2，又最小值 为-9，故设f(x)=a(x-2)2-9， 由题意得：f(x)的图象与x轴的两个交点关于x=2 对称，又因为距离为6，所以两交点为(-1,0)，(5,0)． 将点(－1,0)代入函数解析式：0=a×(－1－2)2－9， ∴a=1，∴f(x)=(x－2)2－9=x2－4x－5.
基础达标
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c， 且a＋b＋c＝0，那么它的图象是图中的( )
A 解析： ∵a＞b＞c且a+b+c=0， ∴a＞0，c＜0，b2－4ac＞0，f(1)=a+b+c=0， ∴图象开口向上，与y轴的截距为负，且过(1,0)点．
2. 若函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是定义在R上的 偶函数，则f(x)在(0，＋∞)上( ) A. 为增函数 B. 为减函数 C. 先减后增 D. 先增后减 B 解析： ≧f(x)为R上的偶函数， ≨m=0，≨f(x)=－x2+3. 由二次函数的图象易知f(x)=－x2+3在(0，+≦)上为减函 数．
2
⑤当Δ＝b2－4ac>0时，与x轴两交点的 横坐标x1、x2分别是方程______________ ax2+bx+c=0(a≠0) 的 两根； b 0 ； 当Δ＝0时，与x轴切于一点________ 2a 没有交点 当Δ<0时，与x轴________ ； ⑥当b≠0时，是非奇非偶函数；当b＝0时， 是________ 偶函数 ； ⑦对于函数f(x)，若对任意自变量x的值， 都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于 x=a 对称． 直线______