平板波导理论

1/ 2 2 1/2
因此 , 时延 LO 可求 cz P
另 : 精确值为
1
Q
n(x)ds
1
z n2 (x)dz
cP
c 0
15
n(x) n1
n2 -a 0 a x
•折射率渐变的波导有利于减小时延差
x a
z 0
-a
x a
z 0 -a
16
n(x) n1
n2 -a 0 a x
3.2.3 举例
x
n(x) n1
n2
带状波导
a
❖ 按折射率分布分类
0
-a
均匀介质光波导
x
n(x) n1
n2
渐变折射率介质光波导
a
0
-a
z
z
2
•光波导的几何光学分析方法
❖ 传播路径
❖ 光线分类
❖ 传播时延
❖ 时延差
❖ 数值孔径
n2
n0
z
n1
ric N
P’ T
a
P
P’
N
T
n1
n2
P
Q
N 折射光线
z
c
z 束缚光线
n
(
x
)
d d
x s
d n1( x ) dx
d ds
n
(
x
)
dz ds
0
x
ds dx
z(x) dz
z(0) z
积分上面第二式得
n ( x ) d z const ds
由几何关系得
dz ds
cos
z
故
n(x) dz ds
n 1 ( x ) cos
z(x)
n 1 ( 0 ) cos
z(0)
x
a z
0
-a
xa xa
9
3.2.1 传播路径及光线分类
由于 n ( x ) 只与 x 有关 , 所以
纤芯中光线方程可具体
化为
d ds
n
(
x
)
d d
r s
d
n1 d
( x
x
)
e x
又由于波导在 r x ex z ez
y 方向上的平移对称性
d r ds
dx ds
e x
dz ds
e z
代入得
d d s
n2
c12
sin 1
n2 n1
,c13
sin 1
n3 n1
若n2 n3, 则
束缚光线: 只存在衬底辐射: 同时存在衬底辐射和敷层辐射:
0 z zc12 zc12 z zc13 zc13 z / 2
其中 zc
2
c
5
•光线的分类
t
n3
i r
z
n1
n2
束缚光线: 只存在衬底辐射 :
1 2
d
n
2 1
(
x
)
dx
令
t
dx dz
,则
d2x dz2
dt dz
dt dx
dx dz
1 2
dt2 dx
得
2
dt2
d
n
2 1
(
x
)
dx dx
ds dx
z(x) dz
z(0) z
13
积分得
2t 2
n
2 1
(
x
)
A
当
x
x
时
tp
,
z
(
x
tp
)
0,t
dx dz
tan
z ( x tp )
0
所以
A
n
2 1
z2(0) z1(0) zp2
P
c
T
漏泄光线
z
zp1
3
3.1 均匀介质薄膜波导中光线的传播 方程
n0
d
n1
n2
❖ 厚度d很薄，约为数微米； ❖ 芯层折射率（n1）大于衬底折射率（n2）和敷层折
射率（n3）； ❖ y方向比x方向尺度大得多。
4
3.1.1 光线的传播路径及光线的分类
t
n3
i r
z
n1
max
n1 n1 n 2
c
n2
若定义相对折射率差
n
2 1
n
2 2
n1 n 2
n1 n 2
1
2
n
2 1
n1
n2
则 max n 1 / c
❖ 多径色散是主要因素
❖ 材料色散与之相比要小得多
8
3.2 芯层折射率渐变的介质薄膜波导 中光线的传播
n(x) n1
n2 -a 0 a x
n(x) nn21(x)n1 (xn1 ( xa))
0 z cos1(n2 / n1) cos1(n2 / n1) z cos1(n3 / n1)
同时存在衬底辐射和层敷辐射: cos1(n3 / n1) z / 2
由于ni coszi cons,t
定义光线不变(量归一化相位常)数 / k0 ncosz,则
束缚光线: 只存在衬底辐射 :
n2 n1 n3 n2
(
x
x tp ) cos
2 2 z ( x tp )
2
即
dx dz
n
2 1
(
x
)
2
1/2
再次积分得
z(x)
x 0
n
2 1
(
x
)
2
1/2 d x
即 x 0时 , z 0的前提下 ,
给定 n1 ( x )和 z ( 0 ), 即可确定传播路径
14
3.2.2 传播时延及时延差 n2
10
•折返点
x
n2
a
n1(x)
若芯层中某点满足
z(x) 0,
xtp
则称此点为折返点
, 记作 x tp
满足
n 1 ( x tp ) n 1 ( 0 ) cos z ( 0 )
0 x tp a d / 2
束缚光线与折射光线的
分界面为
z(0)
0
x a
n2 f
z
x tp a
即束缚光线的起始倾斜
第三章 平板波导理论
❖3.1 均匀介质薄膜波导中光线的传播 ❖3.2 芯层折射率渐变的介质薄膜波导中
光线的传播 ❖3.3 均匀薄膜波导 ❖3.4 渐变薄膜波导 ❖3.5 条形光波导
1
•光波导的分类 n0
d
n1
n2
-a 0 a x -a 0 a x
❖ 按光波导形状分类
光纤（柱形波导）
薄膜波导
条形波导
12
•束缚光线的传播路径 n2
P n1(x)
z(0)
Q
由几何关系
dx ds
sin
z (x)
n2
dz ds
cos
z (x)
x
得
cos
z (x)
d dz
n
1
(
x
)
co
s
z (x)
dx d z
d n1 ( x ) dx
又由于 n1 ( x ) cos z ( x )
故
2
d2x dz2
同时存在衬底辐射和层敷辐射: 0 n3
6
3.1.2 传播时延及时延差
❖ 时延：沿z轴传播单位距离所用的时间。
L
z
z
L z / cos z t L / v n1z
c cos z t / z n1
c cos z
7
•时延差与最大时延差
1 2
n1 c
1
1
cos z 1
cos z 2
临界角为
n1(x)
zc ( 0 ) cos
1 n 1 ( a ) cos n1 (0 )
1 n 2 n1
z(0)
0
z
11
•光线分类
束缚光线 折射光线
:
0
z
(0)
cos
1
n2 n1
: cos 1
n2 n1
z (0)
2
若用光线不变量 n(x) cos z (x)表示 , 则
束缚光线 : n2 n1 折射光线 : 0 n2
P n1(x)
z(0)
Q
光程 LO
Q
n
(
x
)
d
s
,
n2
其中 d
s
P
cos
dz z (x)
n1 ( x)
dz dx
dx
由于
dz dx
n12 ( x )
2
1/ 2
, 所以
LO
z
P
wk.baidu.com
x tp
n12 ( x)dx
xtp n12 ( x ) 2
xtp
dx
xtp n12 ( x )