数学分析2014-2015 期中考试卷及答案

上海师范大学标准试卷

2014~ 2015 学年 第一学期 考试日期 2014年 11月19 日

（考试时间：120分钟）

科目：数学分析I （期中卷）

专业 本、专科 年级 班 姓名 学号

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分

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得得分

一. 判断题(对的打√, 错的打×, ''21020⨯=)

1. ( × ) 设a 为有理数，x 为无理数，则ax 一定是无理数.

2. ( × ) 设数列{},{}n n a b 满足：对任何自然数n , 有n n a b >, 且n n a ∞

→lim 和n n b ∞

→lim 都

存在，则lim lim n n n n a b →∞

→∞

>.

3. ( √ ) 单调数列{}n a 如果含有一个收敛的子列, 则{}n a 本身一定也收敛.

4. ( × ) 设{}n a 是无穷小数列, n ｛b ｝是无穷大数列, 则n n ｛a b ｝是无穷大数列.

5. ( × ) 任何数列都存在收敛的子列.

6. ( × ) 设{},{}n n a b 均为无界数列, 则{}n n b a 一定为无界数列.

7. ( √ ) 设函数()f x 在某00()U x 内有定义, 且()f x 在0x 点的左右极限都存在

且相等, 则()f x 在0x 极限存在.

8. ( × ) 设0

,lim ()lim ()x x x x f x g x b →→∞==, 则0

lim ()()x x f x g x →=∞.

9. ( √ ) 如果对任何以0x 为极限的递减数列00{}()n x U x +⊂, 都有lim ()n n f x A ∞

→=,

则有0

lim ()x x f x A +→=.

10. ( × ) 若00,0,εδ∃>∃> 总可找到00',''(,),x x U x δ∈使得0|(')('')|f x f x ε-≥, 则0

lim ()x x f x →不存在.

得得分

二．叙述题（''842=⨯）

1. 叙述极限0

lim ()x f x →存在的柯西准则.

答: 设函数()f x 在0(0,)U δ内有定义. 0

lim ()x f x →存在的充要条件是：

0ε∀>,0δ∃>,(2分) 使得对0),,'(0U x x δ∀∈有()(')f x f x ε-<.(2分)

2. 叙述集合S 上确界的分析定义.

设S 是R 中的一个数集，若数η满足以下两条：

（1） 对一切x S ∈ 有x η≤，即η是数集S 的上界；(2分) （2） 对任何αη<存在0x S ∈使得（即η是S 的最小上界）(2分) 则称数η为数集S 的上确界. 得得分

三．计算题（本大题满分24', 每小题'4）

1. 求⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++⋅⋅⋅+⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n n 2. 求042

lim x x x →+- 解: 111lim()1223(1)n n n →∞+++⋅⋅⋅+ 解: 00421

lim lim 4(42)x x x x x x x →→+-==++

=11111

lim(1)223(1)n n n →∞-+-++-

+ =1

lim(1)1

n n →∞

-+=1 3. 求0sin 2lim ln(1)x x x →+ 4. x

x x cos 11

1lim 20--+→

解: 00sin 22lim lim 2ln(1)x x x x

x x →→==+ 解：)

11(2

sin )2

(2)11(2sin 21

1lim

222

222

++=

++-+→x x

x x x x x

1=

5. 设82lim =⎪⎭

⎫

⎝⎛-+∞

→x

x a x a x , 求数a 的值.

解: 2ln 831lim 2lim 333=⇒==⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎭⎫

⎝⎛-+--∞→∞→a e a x a a x a x a a

x ax a

a

x x x x

6. 求,a b , 使得21

lim (

)01x x ax b x

→∞++--=+. 解: 21

lim 1(1)

x x a x x ∞→++==+,（2分）

22211lim ()lim ()111x x x x x x

b x x x

∞→+→∞+++--=-==-++．(2分)

得得分

四．用分析定义证明（本大题满分'15, 每小题'5） 1. 证明：lim 1,n n a →∞

=其中(1)a >.

证明: 设1,(1)1

1n n a a nh h n

h a h -≥+⇒≤

-==+,(2分) 对10,[]a N εε-∀>∃=, 当n N >时, |1|1

n n

a a ε-≤-<.(3分) 所以lim 1,n n a →∞

=

2. 证明：2)32(lim 21

=++-→x x x

证明：()2

21232+=-++x x x （2分）．故对0ε∀>，εδ=∃，当δ

<+<10x 时，ε<-++2322x x ．（3分）

3. 证明：2

lim cos cos 2x x →=.

证明: 对0ε∀>,δε∃=,当0|2|x δ<-<时,(2分)

22

|cos cos 2|2|sin si |22|2n |x x x x ε+≤--=<-, 所以2lim cos cos 2x x →=.(3分)