球体积公式的求法

球体积公式的发现和证明，是度量几何发展进程 中具有标志意义的成果。
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
西方数学史
阿阿基基米米德德突这破一希成腊果古， 被典古时代期传几记何作定家性普研鲁究塔的 克传说统：，“重几视何定学量中研不究可，
能发找现到了更球难、做球的缺问、题椭，球
牟合方盖
开立圆术的分解
(1)
正方体内切正交圆柱图
(２)
牟合方盖图
（３）
１／８牟合方盖
（１）
牟合方盖内切半球图
（２）
正方形内切圆
牟合方盖“内棋” 图
合盖“外棋”分解图
合盖“外棋”截面图
倒立阳马图
（１）
等轴圆柱及内切球
（２）
球体切割图
力学原理与球体积计算
1. 数学研究中的算法倾向与演绎倾向 2. “以棋验术”的直觉方法与“数学物理”方
法 3. “截面原理”与“有限迭加” 4. 问题求解与因果论证 5. 几何代数化与微积分的应用
谢 谢！
xiangZ@gznu.edu.cn
球体积公式的发现与证明
数学与计算机科学学院 项 昭
怎样计算球的体积 发现球体积公式的过程和方法 证明球体积公式的思路和方法
图1 用祖暅原理证明球体积公式
wenku.baidu.com
图2 用切割法证明球体积公式
图3 用定积分计算球体积
数学是人类文化的重要组成部分。运用数学史材 料进行数学教育是国际数学教育界共同关注的问题。
也体不体可积能公找式到及更抛简物练线、弓
更形清面楚积的公陈式述，和并证给明予。严”
格证明。
阿基米德（Archimedes. 约公元前287—212年）
研究中算史的日本专家三上义夫指出，从刘徽到祖 冲之父子通过“合盖”（即牟合方盖）得出球体积“可 谓中算史上几何处理方法之最高发达，荀与希腊阿基米 德之积分方法及其所言与外接圆柱之关系，一比较研究 之，亦一趣事也”
思考问题：刘徽、祖冲之父子、阿基米德都是蜚声中外的数 学家，他们如何解决球体的计算问题呢？
一、刘徽的“牟合方盖”与祖暅的“幂势既同，则积不容 异”
——中算家对球体积的探求 二、阿基米德的“力学原理”与“穷竭法”
——古希腊学者对球体积公式的发现与证明 三、异曲同工、弹奏千古名篇
——球体积公式与古代数学研究传统