《第十三章 轴对称复习》导学案(2020人教版)

《第十三章轴对称复习》导学案
一、学习目标
1.能够初步应用本章所学的知识解决简单的实际问题.
2.经历观察操作想象论证交流的过程,发展学生分析问题和解决问题的能力.
二、教学重、难点
1.重点：本章所学的知识解决简单的实际问题.
2.难点：选择合理的方法解决问题．
三、自主学习
1.知识网络结构：
2.知识要点剖析
（一）线段的垂直平分线
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
3.线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（二）轴对称和轴对称图形
1.轴对称和轴对称图形概念、区别与联系
2.轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
1.定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.性质: ①等边对等角定理:等腰三角形的两底角相等.
②三线合一定理: 等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合.
③是轴对称图形.底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

⑤等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
3.判定: ①两条边相等的三角形.②等角对等边定理:两角相等的三角形.③三线合一定理. （四）等边三角形
1.定义：三条边相等的三角形.
2.性质: ①三边相等,三角都等于600. ②具有等腰三角形的一切性质.
③是轴对称图形，共有三条对称轴.
3.判定: ①三条边相等的三角形.②三角都相等的三角形.③有一角等于600的等腰三角形.
（五）直角三角形
1.定义：有一个角是直角的三角形.
2.性质: ①直角三角形的两个锐角互余.
②直角三角形中,300的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
※③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.----勾股定理
※④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定: ①有一个角是直角的三角形. ②两个锐角互余的三角形. ③勾股定理的逆定理. 注意事项：
1.注意分类讨论思想，如等腰三角形的周长为20，有一边为8，这时就必须讨论所给的这条边是腰还是底。

再比如涉及三角形的高时，通常需要考虑高在三角形的外部还是内部。

2.应用“三线合一”性质作辅助线时，所作的辅助线不能同时满足两线的性质（如既作中线又作高）。

3.不要认为：有一个角等于300，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提条件是在直角三角形中。

四、合作探究
知识点一、轴对称和轴对称图形
1.如图所示，图中不是轴对称图形的是( )
2.下列说法中，正确的个数是（）
（1）轴对称图形只有一条对称轴；（2）轴对称图形的对称轴是一条线段；（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。

（6）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点二、尺规作图（根据轴对称及线段垂直平分线性质作图）
1.在下面图1中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等。

2.如下面图2，某地由于居民增多，要建一个公共汽车站，B为居民区，要求汽车站到两个
居民区的距离相等，请找出汽车站应该建在什么地方？
3.如图所示，一牧人带马群从A 点出发，到草地MN 放牧，在傍晚回到帐蓬B 之前，先带马群到河PQ 去给马饮水，试问：•牧人应走哪条路线才能使整个放牧的路程最短？
4.如图4,写出A 、B 、C 关于y 轴对称的点坐标,并作出与△ABC 关于x 轴对称的图形.
图1 图2 图3 图4
知识点三、点坐标对称
1.已知点M(1-a,2a+2)，若点M 关于x 轴的对称点在第三象限，求a 的取值范围。

2.已知点A(2a －b ，5＋a)，B(2b －1，－a ＋b)．
(1)若点A 、B 关于x 轴对称，求a 、b 的值；(2)若A 、B 关于y 轴对称，求(4a ＋b)2020的值． 知识点四、等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想与方程思想
1．已知等腰三角形的一个内角是800，则它的另外两个内角是 2．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是 3．已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两边的长是
4．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是
5．等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边的长分别为
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高为
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为
8．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是
9.已知等腰三角形的两边a ，b ，满足532+-b a +(2a +3b-13)2
=0，求此等腰三角形的周长。

知识点五、等腰、等边、直角三角形性质与判定 1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 和BE 交于H ，且BE ＝AE. 求证：AH ＝2BD.
证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠BEC ＝∠ADB ＝90°.∴∠EBC ＝∠EAH.
∵BE ＝AE ，∴△AHE ≌△BCE.∴AH ＝BC.
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BD.∴AH ＝2BD.
2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，AD 平分∠BAC ，求证：AB ＋BD ＝AC.
证明：延长CB 至E ，使BE ＝BA ，则∠BAE ＝∠E.
又∵∠ABC ＝2∠C ＝2∠E ，∴∠E ＝∠C.∴AE ＝AC.
∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.
∵∠BAE ＝∠E ，∠E ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C.
又∵∠EAD ＝∠BAE ＋∠BAD ，∠EDA ＝∠C ＋∠DAC ，∴∠EAD ＝∠EDA.∴AE ＝DE.
∴AC ＝DE ＝BE ＋BD ＝AB ＋BD.
3.如图，点C 是线段AB 上任意一点(点C 与点A ，B 不重合)，分别以AC ，BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ，连接MN.求证：(1)△ACM ≌△DCN ；(2)MN ∥AB.
证明：(1)∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，
∴AC ＝DC ，BC ＝EC ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°.
∵∠ACD ＋∠DCE ＋∠ECB ＝180°，∴∠DCE ＝60°.∴∠ACE ＝∠DCB ＝120°.
在△ACE 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DC ，∠ACE ＝∠DCB ，CE ＝CB ，
∴△ACE ≌△DCB(SAS )．∴∠EAC ＝∠BDC.
在△ACM 和△DCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAC ＝∠NDC ，AC ＝DC ，∠ACM ＝∠DCN ＝60°，
∴△ACM ≌△DCN(ASA )．
(2)由(1)知△ACM ≌△DCN ，∴CM ＝CN.
又∵∠MCN ＝60°，∴△CNM 为等边三角形，∠NMC ＝60°.
∴∠NMC ＝∠ACM ＝60°.∴MN ∥AB.
知识点六、角平分线与线段的垂直平分线性质应用
1.如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG 垂直平分BC 交BC 于点G ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．(1)求证：AE ＝AF,BE ＝CF ；(2)如果AB ＝a ，AC ＝b ，求AE ，BE 的长．
2.如图2，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△ABC 的外角平分线AD 于点D ，点F 为垂足，DE ⊥AB 于点E ，且AB ＞AC ，求证：BE －AC ＝AE.
3.如图3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线交AB 于点E ，交AD 于点F ，连接DE ．(1)求证：∠ADC ＝∠BDF ． (2)若BG ∥AC 交CE 的延长线于点G. 求证：①DB ＝BG ．②AB 垂直平分DG.
图1 图2 图3
F
G
知识点七、图形变换（综合应用）
1.直线MA 、NB 交于点P ，点A 、B 分别是MA 、NB 上的两点。

AC 、BC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，DE 经过点C 且DE ∥AB 交AM 、BN 于D 、E ，
（1）图中有哪几个等腰三角形？（2）求证：AD+BE=DE 。

变式：上题中条件改为“MA 、NB 平行”，其它条件不变。

如图：
（1）上题的结论AD+BE=DE 还成立吗？AD+BE 还与那条线段相等？（不用证明）
（2）如图②，当直线DE 与MA 垂直时，猜想AD+BE 与AB 之间的数量关系。

（3）如图③，当直线DE 与MA 不垂直且交点D 、E 在AB 同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（4）如图④、⑤，当直线l 与MA 不垂直且交点D 、E 在AB 两侧时，（2）中结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，AD 、BE 、AB 之间还存在什么样的数量关系？请写出它们之间的数量关系。

2.如图，点D 是等边△ABC 外一点，且DB=DC ，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D 上，三角尺的两边DP 、DQ 分别与射线AB 、CA 相交于E 、F 两点．
（1）当EF ∥BC 时，如图①，证明：EF=BE+CF ；
（2）当三角尺绕点D 旋转到如图②的位置时，线段EF 、BE 、CF 之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，写出EF 、BE 、CF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）当三角尺绕点D 继续旋转到如图③的位置时，（1）中的结论是否发生变化？如果不变
化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF 、BE 、CF 之间的数量关系．
N
M E D
C B A
P (2)(1)
(3)
(5)N。