2012东城二模理科数学带详细答案

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）
数学 （理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列命题中，真命题是
（A ）x ∀∈R ,2
10x --< （B ）0x ∃∈R ,2001x x +=-
（C ）2
1
,04
x x x ∀∈-+
>R （D ）2000,220x x x ∃∈++<R （2）将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三
组数据的频数之和等于27，则n 的值为
（A ）70 （B ）60 （C ）50 （D ）40
（3）41(2)x x
-的展开式中的常数项为
（A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）24
（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为
（A （B ）2
（C ）
（D ）4
（5）若向量a ，b 满足1=a
，=
b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为
（A ）
2π （B ）23π （C ）34π （D ）56
π （6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出
m ⊥β 的是
（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β
（7）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2
2
1y x m
+=的离心率为 （
A ）
2
（B
（C ）
2或2
（D ）
2
（8）定义：()00>>=y ,x y
)y ,x (F x
，已知数列{}n a 满足：()()
n ,F ,n F a n
22=
()n *∈N ，若对任意正整数
n ，都有k n a a ≥()k *
∈N 成立，则k a 的值为
（A ）
12 （B ）2 （C ）89 （D ）98
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(11)在平面直角坐标系xOy 中，将点A 绕原点O 逆时针旋转
90到点B ，那么点B 的坐标为____， 若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 ．
(12) 如图，直线PC 与 O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE = ．
(13) 已知函数sin 1()1
x x f x x -+=
+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为__.
(14) 已知点(,)A a b 与点(1,0)B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法： ①34100
a b -+>；
②当0a >时,a b +有最小值，无最大值； 2>；
④当0a >且1a ≠，0b >时，
1b a -的取值范围为53
(,)(,)24
-∞-+∞ . 其中，所有正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ
0,22
ωϕ>-<<）的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）已知在函数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为1,1,5-，求sin MNP ∠的值.
（16）（本小题共13分）
某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、 乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2
141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4
121，；两人租车时间都不会超过三小时. （Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .
（17）（本小题共13分）
如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ,MN MB ⊥， 且MC CB ⊥，2BC =，4MB =，3DN =．
（Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ； （Ⅱ）求二面角D BC N --的余弦值.
（18）（本小题共14分）
已知抛物线C ：24x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线
,MA MB ，切点分别为A ,B .
（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M . （19）（本小题共13分）
已知函数11
()()ln f x a x x a x
=++
-（1a >）．
（Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；
（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线
()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265
x x +>
. （20）(本小题共14分)
对于数列{}n a (1,2,,)n m = ，令k b 为1a ，2a ， ，k a 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7.
定义数列{}n c ：123,,,,m c c c c 是自然数1，2，3， ，(3)m m >的一个排列. （Ⅰ）当5m =时，写出创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c ；
（Ⅱ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说
明理由.
北京市东城区2011-2012学年度高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）B （3）D （4）A （5）C （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）1- （10）(1,0) 2 （11）)3,1(-
（12）
12
5
（13）2 （14）③④ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =⨯=.
由2π
8T =
=ω，得4
π
=
ω. ……………3分
又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ
22
ϕ-<<，
所以ππ42+=ϕ， 即4
π
=ϕ . ………………5分
所以π
()sin()sin (1)444
f x x x =+=+ππ. ………………6分
（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π
(5)sin (51)1,4
f =+=-
所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --. …………………7分 所以MN PN MP ==
=由余弦定理得3
cos 5MNP ∠==-. ……………11分
因为[)0,MNP ∠∈π， 所以4
sin 5
MNP ∠=
. ……………13分 （其它解法酌情给分） （16）（共13分）
解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元. ……………2分
都付2元的概率为1111
428P =
⨯=； 都付4元的概率为2111
248
P =⨯=；
都付6元的概率为3111
4416
P =
⨯=； 故所付费用相同的概率为123
1115
881616
P P P P =++=++=. ……………6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12. ……………8分
1(4)8P ξ==； 11115
(6)442216P ξ==⨯+⨯=；
1111115(8)44242416P ξ==⨯+⨯+⨯=； 11113
(10)442416P ξ==⨯+⨯=；
111
(12)4416
P ξ==⨯=.
故ξ的分布列为
……………11分
所求数学期望1553115
46810128161616162
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分 （17）（共13分）
（Ⅰ）证明：因为MB //NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，
所以MB //平面DNC ． ……………2分 因为AMND 为矩形，
所以MA //DN ．
又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ， 所以MA //平面DNC ． ……………4分 又MA MB M = ，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 所以平面AMB //平面DNC ． ……………5分 又AB ⊂平面AMB ，
所以//AB 平面DNC ． ……………6分
（Ⅱ）解：由已知平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND 平面MBCN MN =，DN MN ⊥，
所以DN ⊥平面MBCN ，又
M N N C ⊥，故以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -.
……………7分 由已知得30MC MCN =∠= ，易得MN =，3NC =． 则(0,0,3)D ，(0,3,0)C ，B ．
(0,3,3)DC =- ，,0)CB =
． ……………8分
设平面DBC 的法向量1(,,)x y z =n ，
则110,0.
DC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n
即330,0.
y z y -=⎧⎪+=令1x =-
，则y =
z =
所以1(1=-n ． ……………10分 又2n (0,0,1)=是平面NBC 的一个法向量，
所以122112cos ,7⋅=
==
n n n n n n ． 故所求二面角D BC N --
的余弦值为
7
． ……………13分
（18）（共14分）
（Ⅰ）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，
由24,1,
x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2
440x kx -+=. (1) 令2
(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.
代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. ……………3分 设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =.
故过,,M A B 三点的圆的方程为2
2
(1)4x y +-=． ……………5分
（Ⅱ）证明：设0(,1)M x -，由已知得2
4x y =，12y x '=，设切点分别为211(,
)4x A x ，222(,)4
x B x ， 所以12MA x k =
，22
MB x
k =， 切线MA 的方程为211
1()42
x x y x x -
=-即2111124y x x x =-， 切线MB 的方程为222
2()42
x x y x x -
=-即2221124y x x x =-． ……………7分 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111
124
x x x -=
-. ①
又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211
124
x x x -=-. ② 所以1x ，2x 是方程2011
124
x x x -=
-的两实根， 由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……………9分
因为2110(,1)4x MA x x =-+ ，2220(,1)4x MB x x =-+ ， 所以22
121020()()(1)(1)44
x x MA MB x x x x ⋅=--+++ 222
2
212120120121()()1164
x x x x x x x x x x =-++++++ 222
2
1212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣
⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=
. ……………13分
所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ……………14分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由已知0x >，2222111
()1()()
1()1a x a x x a x a a a f x x x x x
+
-++--'=
--=-=-. ………2分
由()0f x '=，得11
x a =
，2x a =. ………4分 因为1a >，所以101a <<,且1
a a >．
所以在区间1(0,)a 上，()0f x '<；在区间1
(,1)a 上，()0f x '>.
故()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1
(,1)a
上单调递增． ……………6分
（Ⅱ）证明：由题意可得，当[)3,a ∈+∞时，12()()f x f x ''=（12,0x x >，且12x x ≠）.
即 22
112211
1111a a a a x x x x +
+
--=-- ， 所以12
1212
111x x a a x x x x ++
=+=
，[)3,a ∈+∞. ……………8分 因为12,0x x >，且12x x ≠，所以2
1212(
)2
x x x x +<恒成立，
所以
2
121214
()
x x x x >+，又120x x +>， 所以12121x x a a x x ++
=12
4
x x >
+，整理得1241
x x a a
+>+. ……………11分
令()g a 4
1a a
=
+，因为[)3,a ∈+∞，所以()g a 在[)3,+∞上单调递减， 所以()g a =4
1a a +在[)3,+∞上的最大值为6(3)5g =，
所以126
5x x +>. ……………13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意，创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c 有两个，即数列3，4，1，5，2； 数列3，4，2，5，1. ……………4分
（Ⅱ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列. 数列{}n c 的创新数列为{}n e (1,2,3,,)n m = ， 因为m e 是12,,,m c c c 中的最大值， 所以m e m =.
由题意知，k e 为12,,,k c c c 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c + 中的最大值， 所以k e 1k e +≤，且{}1,2,,k e m ∈ .
若{}n e 为等差数列，设其公差为d ， 则1k k d e e +=-0≥且d ∈N ，
当0d =时，{}n e 为常数列，又m e m =， 所以数列{}n e 为m ，m ， ，m .
此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列； ……………8分 当1d =时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1，2，3， ，m .
此时数列{}n c 为1，2，3， ，m ； ……………10分 当2d ≥时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-≥+-⨯=-+ ，
又3m >，10e > ，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存在，即不存在{}n c 使得它的创新数列为公差2d ≥的等差数列. ……………13分 综上，当数列{}n c 为以m 为首项的任意一个符合条件的数列或{}n c 为数列1，2，3， ，m 时，它的创新数列为等差数列. ……………14分。