第8章位移法

M
F 1j
)
（a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大 小的比例分配给各近端→分配弯矩。
1 j
S1 j S1 j
分配系数
同一结点
1 j 1
§9-2 力矩分配法的基本原理
各杆远端弯矩为
M 21

M
F 21

C12S12 S1 j
DE BA 0.375
2、计算固端弯矩
各固端弯矩及计算过程如图b
M
F DE

2kN m
M
F DC

5.62kN m
M
F CD

9.38kN m
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
1811l 2
2 3
2l 3

1155l 2
5 6
2l 3
511l 4 2l 770l 2 2l 896l 1 2l
Fl3



] 0.0476 ()
2 63 2 63 2 63
EI
§9-5 剪力分配法
适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。
图a所示排架的横梁为刚性二力杆，只有一个独立结点线位移Z1。为 求此位移，将各柱顶截开，得隔离体如图b所示。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一半刚架的弯矩图如图d。
原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）
§9-4 无剪力分配法
图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两 组，如图b、c。
荷载正对称时如图b， 结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。 荷载反对称时如图c， 结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。
各柱固定端的弯矩为 M 21 FS12h，M 43 FS43h，M65 FS65h
剪力分配法：利用剪力分配系数求柱顶剪力的方法。
§9-5 剪力分配法
图a所示结构，荷载作用在柱上。将结构分解为只有结点 线位移和只有荷载q的单独作用，如图b、c所示。
图b中各柱的内力可查表得到，从而求出附加链杆上的反力F1。 图c可用剪力分配法进行计算。 原结构内力=图b结构的内力+图c结构的内力
§9-1 概 述
位移法
计算超静定结构→
→组成和解算典型方程
力法
力矩分配法 无剪力分配法 →位移法的变体 →避免组成和解算典型方程
迭代法
易于掌握，适合手算，可不计算结点位移而直接求得杆端弯矩。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。
劲度系数 杆件AB（如图）的A断转动单 位角时，A端（近端）的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB表示。
M
F Aj

(40
75)kN m

35kN m
§9-2 力矩分配法的基本原理
（4）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图c。
近端弯矩=固端弯矩+分配弯矩 远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有 结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地 进行分配、传递，直到小到可以停止。
3、结点1有了新的 不平衡力矩 -64kN·m，反号分 配并传递，如图。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-2 试用力矩分配法计算图a 所示连续梁，并绘制弯矩图。
解：EF的内力是 静定可去掉。
1、计算分配系数 设i=2EI/8m。
DC BC
4i 0.625 4i 3 0.8i
Fx 0，F FS12 FS34 FS56
各柱顶剪力与柱顶水平位移Z1的关系可查表得
FS12

3i12 h2
Z1，FS34

3i34 h2
Z1，FS56
Βιβλιοθήκη Baidu
3i56 h2
Z1
§9-5 剪力分配法
令
D1

3i12 h2
，D2

3i34 h2
，D3

3i56 h2
侧移刚度：即杆件发生单位侧移时，所产生的杆端剪力。
放松结点C时，力矩的分配传递只在CB、CD、 CF三杆范围内进行。放松其他结点时同理。
§9-4 无剪力分配法
例9-4 试用无剪力分配法计算图a所示刚架。
解： 各柱端的劲度系数=柱的线刚度。
计算固端弯矩，柱AC：
M
F AC

5kN

m，M
F CA

15kN m
柱CE：除本层荷载外还有柱顶剪力10kN。
§9-4 无剪力分配法
取反对称的半刚架如图a所示。
查表可得
M
F AB


ql 2 3
，M
F BA


ql 2 6
F SBA 0，F SAB ql
全部水平荷载由柱 的下端剪力平衡。
横梁BC：两端无相对线位移—无侧移杆件 竖柱AB：由于支座C无水平反力，其剪力是静定的
—剪力静定杆件
（1）固定结点。加刚臂阻止结点B转动，不阻止其线位移，如图b。
柱AB上端不能转动，但可自由地水平滑行，相当于下端固定上端滑动的梁， 如图c。 横梁BC因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁。
§9-4 无剪力分配法
（2）放松结点。结点B即转动Z1角，同时也发生水平位移，如图d。
当上端转动时柱AB的剪力为0，处于纯弯曲受力状态，如图e。 与上端固定下端滑动同样角度时的受力和变形状态完全相同，如图f。 因而，可推知其劲度系数为i，传递系数为-1。

M
F 12

S12 ( S1 j
M1Fj ) M1F2 12 (

M
F 1j
)

M13 M1F3
S13 ( S1 j
M
F 1j
)

M
F 13

13 (
M
F 1j
)


(a)
M12

M
F 14

S14 ( S1 j
M1Fj ) M1F4 14 (
解： 将支座去掉以反力代替其作用， 利用对称性，将荷载和反力分解为 对x轴正、反对称两组。 正对称时：略去轴向变形影响，各杆弯矩皆为0； 反对称时：可用无剪力分配法求解，如图b。
§9-4 无剪力分配法
图b所示结构外力平衡，有确定的内力和变形，但可以有 任意的刚体位移。假设H点不动，B点无水平位移，如图c。 图c与图b受力相同。
r11 4i12 3i13 i14 S12 S13 S14 S1 j
→汇交于结点1的各杆端劲度系数总和
解典型方程得
Z1

R1P r11


M
F 1j
S1 j
§9-2 力矩分配法的基本原理
由叠加法 M M P M1Z1 各杆近端弯矩为
M12
例9-1 试作图a所示刚架的弯矩图。
解：（1）计算各杆端分配系数。
（2）计算固端弯矩，查表计算。
令iAB=iAC =EI/4=1，则iAD=2。
AB

41 41 31
2

4 9

0.445
AC

3 9

0.333
AD

2 9

0.222
M
F BA
30kN / m (4m)2 12
§9-4 无剪力分配法
图a 所示刚架，各横梁均为无侧移杆，各竖柱均为剪力静定杆。只 加刚臂阻止各结点的转动，不阻止其线位移，如图b。
此时，各层柱子两端均无转角，只有侧移。分析任一层柱子例如BC 两端的相对侧移时，可将其看作是下端固定上端滑动。如图c
F SCB 2ql
§9-4 无剪力分配法
推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁， 除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和。
劲度系数标志该杆端抵抗 转动能力的大小，又称为转动 刚度。与杆件的线刚度有关， 与杆件另一端（远端）的支承 情况有关。
§9-2 力矩分配法的基本原理
传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用
CAB表示。
CAB

M BA M AB
等截面直杆的劲度系数和传递系数
远端支承情况 固定 铰支 滑动
取一半结构计算，如图d。
由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪 力静定杆→可用无剪力分配法求解。
§9-4 无剪力分配法
计算过程如图a。
§9-4 无剪力分配法
弯矩图如图b。
求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。
ΔFy

1 EI
Fl [ 1523l 10000 2
1 3
2l 3
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法的步骤
（1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有 固端弯矩。
（2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递 弯矩。
（3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩； 远端=固端弯矩+传递弯矩
§9-2 力矩分配法的基本原理
自由或轴向支杆
劲度系数S 4i 3i i 0
传递系数C 0.5 0 -1
§9-2 力矩分配法的基本原理
图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1， 其典型方程为
r11Z1 R1P 0
MP、M1 图如图b、c
R1P M1F2 M1F3 M1F4 M1Fj
→刚臂反力矩或结点上的不平衡力矩
解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图b。 设：EI/8m=1， 各杆线刚度如图上 圆圈中所注。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
计算过程如图c。
校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件： M Bj 54.4 4.7 59.1 0 MCj 27.5 12.2 15.3 0
将剪力代入平衡条件，可求出线位移 从而可得各柱顶剪力为
Z1

F D1 D2
D3

F Di
FS12
D1 Di
F
1F，FS34

D2 Di
F
2F，FS56

D3 Di
F
3F
式中 1
D1 Di
， 2

D2 Di
， 3

D3 Di
剪力分配系数
m
M
F 23

450kN

m，M
F 32

0
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
计算过程如下图
1、放松结点1，其 不平衡力矩为 -300kN·m，反号分 配并传递，如图。
2、放松结点2，其 不平衡力矩为 150+75=225kN·m， 反号分配并传递， 如图。
如此反复将各结点的不平衡力矩进行分 配和传递，直到传递弯矩的数值小到可以略 去，停止计算。
(
M 31

M
F 31

C13[ 13 (
M
F 1j
)

M
F 21

C12[12
(
M
F 1j
)]
M
F 1j
)]

(b)
M
41

M
F 41

C14[14 (
M1Fj )]


（b）式的第一项为固端弯矩； 第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例 传到各远端→传递弯矩。
BA

i
i 3 2i

1 7
，
BC

i
3 2i 3 2i

6 7
§9-4 无剪力分配法
固定结点时：柱AB的剪力是静定的 。 放松结点时：柱B端的分配弯矩乘以-1传到A端， AB
杆的弯矩为常数而剪力为0。
在力矩的分配传递过程中，柱中原 有的剪力保持不变而不增加新的剪力 —无剪力分配法。
分配系数为
10

4i 4i 4i

1 2
，12

4i 4i 4i

1 2
21

4i 4i 3i

4 7
，
23

3i 4i 3i

3 7
如图所示连续梁 各杆件线刚度为i
固端弯矩为
M
F 01

300kN

m，M
F 10

300kN

m
M
F 12

600kN

m，M
F 21

600kN
M
F CE

25kN

m，M
F EC

35kN m
柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。
M
F EG

45kN

m，M
F GE

55kN m
§9-4 无剪力分配法
计算分配系数，如图b。 整个计算过程如图b。 弯矩图如图c。
§9-4 无剪力分配法
例9-5 试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点F的竖向位移。
图d为放松结点c时的情形。
结点c转动角度θC，BC、CD两柱将产生相对侧移。 由平衡条件，两柱剪力均为0处于纯弯矩受力状态。 各柱的劲度系数取各自的线刚度i，传递系数为-1。
注意：汇交于结点c的各杆才产生变形而受；。 B以下各层无任何位移固不受力； D以上各层随D点一起运动，各杆两端无相对 侧移，故不受力。
40kN m
M
F AB

30kN / m (4m)2 12

40kN m
M
F AD


3 50kN 4m 8

75kN m
M
F DA


50kN 8
4m

25kN

m
§9-2 力矩分配法的基本原理
（3）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为 计算过程如图b。