第4章 最佳投资组合的选择

2 2 E 2 rB S
E rS E rB 2 E 2 rS B E rB E rS S , B S B
2
E rS E rB
2
二、两个风险资产的组合
情形一
S ,B 1
ij
cov( Ri , Rj )
i j
10
2、资产组合的方差和标准差
组合的风险程度，用单一证券的方差和证券之 间的协方差两部分来表示：
VAR( Rp) XiXj cov( Ri , Rj )
i 1 j 1
N
N
N
( Rp )
X X cov( R
i j i 1 j 1

完整资产投资组合的风险是风险资产的 比例乘以其风险:
p w

E rp rf
E r rf

率

p
夏普比
E r
r

f

6-28
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
E
r r
p
f

E r rf


p
在“期望收益-标准差”
平面中对应着一条直线，穿过无风险资产 rf 和 风险资产r，我们称这条直线为资本配置线

13
通过有效集定理选择出来的有效组合，所有 有效投资组合的集合就叫做有效集。
A
有效边界
B
C
0
14
投资者无差异曲线
（一）投资者的风险偏好 风险厌恶者希望收益率波动尽可能小，承担 风险的收益率补偿尽可能高。 风险偏好者希望风险越大越好，承担风险的 收益率补偿可以为负。 风险中性者只关心收益，不在乎风险大小。 前提假设：证券投资者都是风险厌恶的。 分类：高度、中度、轻度厌恶。
w E p EB EP ES


此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们容易得到：
2 P

w S
(1 w) B

2

E
p
w S (1 w) B , 如果0 w 1 E
r
p

rS E rB ( P S B
B ) E
第四章
最佳投资组合的选择
1952年创立了现代资产组合理论，这 个理论的核心是基于“不要将所有的 鸡蛋放在一个篮子里”的风险分散和 规避理念。 因在金融经济学方面做出了开创性工 作，与威廉· 夏普和默顿· 米勒同时荣 获1990年诺贝尔经济学奖。 这一理论使金融学开始摆脱了纯粹的 描述性研究和单凭经验操作的状态， 标志着数量化方法进入金融领域。
N
i,
Rj )
11
第二节
有效集及无差异曲线
一、有效集的选择 （一）可行集：表示所得资产所能组成的 一切可能的证券组合。 A
可行集
B
C 0
12
（二）有效集定理

1、如果两种证券组合具有相同的收 益率方差和不同的期望收益率，那么投 资者会选择期望收益率高的组合。 2、如果两种组合具有相同的期望收 益率和不同的收益率方差，那么他将会 选择方差较小的组合。
无风险资产是指在持有期限内，具有确定的收 益率，并且不存在违约风险的资产。 统计的角度看，无风险资产是指期望收益率的 方差或标准差为零的资产。 特点：固定收益，没有违约风险，没有市场风 险。 只有政府可以发行无违约风险的债券。
短期国库券被看做无风险资产。
实际操作中，货币市场基金也被看做无风险
资产。
一、单一风险资产与单一无风险资产的投资 组合
7-31
两个资产构成的资产组合: 风险
2 p i j ij i j n n
2 2 2 2 2 p wB B wS S 2w Bw SCov rB ,rS
Cov(rB,rS) = BSBS
w w 2wB wB B S BS
n 1 2 2 S Rt E ( R) n 1 i 1
9
（二）资产组合风险的度量


1.协方差与相关系数 协方差是另一种形式的方差，在资产组合中， 不仅存在单一证券的风险，还蕴含着多种证券 之间相关关联而产生的风险，而后一种风险便 可用常说的协方差加以度量。 ij cov( Ri , Rj ) E Ri E ( Ri ) Rj E ( Rj ) 相关系数为：
rB
w
E p EB E P ES

命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条 直线。 证明： BS 1 p p ( wS ) wS S (1 wS ) B
wS ( p－ B ) / ( S B ) rp rp ( p ) wS rS (1 wS )rB
0
19
3、风险中性者的无差异曲线
0
思考：证券投资者适用那一种？
20
（三）投资者效用的决定因素
1、年龄和阅历：老年人往往比年轻人更厌恶风险； 2经济环境：经济衰退时期大部分人会更厌恶风险； 3、个人心理：悲观者比乐观者更厌恶风险； 4、失败经历：多数人经历挫折后会更厌恶风险； 5、家庭情况：有子女和父母的人都比较厌恶风险； 6、政策环境：如国民福利比较好，对于风险失败 后的救助力度比较大，国民会不那么厌恶风险。

p－ B p－ B rS (1 ) rB S B S B

通过在无风险资产和风险资产之间合理分 配投资基金，有可能建立一个完整的资产 组合。

假设分配给风险资产P的比例为w 分配给无风险资产 F的比例是(1-w）
6-25
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

期望收益
投资比例 方差 标准差 0
无风险资 产 风险资产
1-w
rf
0
w
E(r)

2 r
r

wr
D
D
wE r E
Portfolio Return Bond Weight Bond Return
资产组合的收益率
债券的权重
债券的收益率
Equity Weight Equity Return
股票的权重 股票的收益率
E(rp ) wB E(rB ) wS E(r S)
（一）期望收益和风险是投资决策的主要考量 （二）投资者是风险厌恶的，风险用期望收益率 方差表示 （三）证券市场是有效的 （四）投资者是理性的 （五）以不同概率分布的收益率评估投资结果 （六）对资产的持有保持相应的一段时间 （七）市场具有充分的供给弹性。
4
二、组合收益率的度量

（一）单个证券收益率的度量
1、风险厌恶者 （1）无差异曲线向右倾斜向上，因为风险厌恶者需要 更高的收益才能接受更高的风险。 （2）无差异曲线在更高的风险水平下更陡峭，反映了 投资者承担额外风险的意愿递减，除非他们能获得更 多的风险溢价。
17
不同程度的风险厌恶者的无差异曲线
高度风险厌恶
轻度风险厌恶
0
18
2、风险偏好者的无差异曲线
E rp

wE r (1 w) E r
S B
2 2 p 2 w2 S (1 w) 2 B 2 w(1 w)Cov( rS , rB ) 2 2 w2 S (1 w) 2 B 2 w(1 w) S , B S B
21
第三节 最佳资产组合的选择
风险资产组合的最佳选择 （有效集定理）
P 有效边界 A 无差异曲线
B
0
C
22
投资过程的两个重要任务
一、评估
评估所有可能的投资工具的风险和期望回报
率特性
二、构建组合 从可行的投资组合中确定最优的风险-回报 机会，然后决定最优的证券组合——最优证 券组合理论
无风险资产
15
（二）无差异曲线
一个特定投资者对于给定的众多证券组合， 根据他对风险的态度，可以得到一系列满 意程度相同的组合，这些组合恰好在坐标 系上形成一条曲线，称该曲线为该投资者 的无差异曲线，也称为效用等量曲线。 即在一条给定的投资者无差异曲线上的每一 点，该投资者的满意度都是无差异的。
16
三种风险投资者的无差异曲线特点
2 2 aE (rp ) bE(rp ) c 望和标准差之间的额关系式： p
2 2 S B 2 S , B S B
其中：
a b c
E rS E rB 2 2 2 E rS S 2 E rB B 2 E rS E rB S , B S B
（Capital Allocation Line）
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合 资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所 增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因
此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率
二、两个风险资产构成的资产组合
rp rP wB rB wS rS
w
EP EB ES E B
二、两个风险资产的组合
或者根据上式，可以求得方差最小时两种资产的比重
对上式求导，根据微积分中求极小值的方法，使导数为 零。即可求得W
2 s cov 2 b 2 cov

wb
2 s
二、两个风险资产的组合

同样，容易得到，两个风险资产构成的资产组合的期
6-26
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
完整的资产投资组合
的期望收益率=无风
E rp wE r (1 w)rf

险资产收益率+风险
资产的比例×风险资
产的风险溢价
E rp rf w E r rf
风险溢价

Hale Waihona Puke Baidu
无风险资产收益率
6-27
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

计算期望收益率的公式： 也可使用历史数据来估计期望收益率。假设单一 证券的日、月或年实际收益率为（t=1，2，···， n），那么计算期望收益率的公式为：

1 n E （R）= Rt n i 1 Rt E （ R） 表示所求证券的期望收益率， 其中，
表示所求证券的日、月或年实际收益率。
2
第一节 资产组合的含义与度量
一、资产组合的含义 最佳投资组合理论主要内容： （一）高收益，低风险 （二）组合总风险可低于单个资产风险之 和 （三）衡量一项资产的风险大小，不应以 它自身孤立存在时的风险大小为依据，而 应以它对一个风险充分分散的资产组合的 风险贡献大小为依据。
3
投资组合理论的前提假设：
2 p 2 B 2 B 2 S 2 S
7-32
相关系数: 可能的值
1,2值的范围
+ 1.0 > > -1.0 如果= 1.0, 资产间完全正相关 如果= - 1.0, 资产间完全负相关
7-33
两个风险资产的组合
假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和
一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w，则 投资组合的期望收益和标准差为：
期末市价总值 期初市价总值+红利 R 100% 期初市价总值

表4-2 股票A不同收益率对应的概率
收益率（Ri） 概率（Pi） -1% 6% 13% 32% 36% 32%
n


而数学中求期望收益率的公式如下:
E （R）= RiPi
i 1
5
股票A的期望收益率为：
E （R）=(1%) 32% 6% 36% 13% 32% 6%
i 1
VAR( R) 1% 6% 32% 6% 6% 36% 13% 6% 32%
2 2 2
0.3136%
而其标准差为：
(R) VAR(R) 0.3136% 5.6%
8
也可以使用历史数据来估计方差（即样本 方差） 设单一证券的日、月或年实际收益率为 （t=1，2，· · · ，n），则计算方差的公式为：
6
(二)资产组合收益率的度量

设组合中的资产权重之和为1：
X 1
i i 1

N
则计算资产组合的期望收益率的公式则为：
E ( Rp ) XiE ( Ri )
N

其中，表示资产组合（包含N种证券）的期望 收益率，表示证券i的期望收益率，表示证券i在资 产组合中的权重。
7
i 1
三、组合风险的度量 （一）单个证券风险的度量 方差计算的公式为： 参照表4-2，已求得股票A的期望收益率为 n 6%，那么其方差为： VAR( R) Ri E ( R)2 Pi