1-4复变函数的极限和连续
合集下载
复变函数1-4章
(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat） 基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数； 解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求 （1） 理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算 方法。 （2） 理解柯西－古萨基本定理及其推论。 （3） 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。 （4） 了解摩勒拉(Morera）定理。 （5） 了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求 其虚（实）部。； 2.重点、难点 重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。 难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式 在复数域 下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
Complex Analysis
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
第2章 复变函数
( x, y ) Î E .
(1)
其中 u = u ( x, y ) 和 v = v( x, y ) 是一对二元实函数, 它们分别称为 f ( z ) 的实部和虚部, 分别记 为 Re f ( z ) 和 Im f ( z ). 这说明一个复函数等价于一对二元实变量的实函数. 复函数的形如(1)式的表示形式对应于复数的代数形式. 对应于复数的指数形式, 相应地可 以将复函数表示为指数形式:
f ( z) > M ,
则称当 z 0 时, f ( z ) 趋近于无穷大 记为 lim f ( z ) = ¥.
z z0
(2) 设 w = f ( z ) 是定义在 E 上的复函数, 无穷远点 ¥ 是 E 的聚点(即对任意 r > 0, ¥ 的
r 邻域 { z : z > r } 中包含 E 中的点), 是一复数. 若对任意 > 0, 存在 r > 0, 使得当 z Î E 并且 z > r 时, 有
复变函数的连续性
定是 E 的聚点. 若
z z0
lim f ( z ) = f ( z0 ),
则称 f ( z ) 在点 z0 处(相对于集 E )连续. 若 f ( z ) 在 E 上的每一点处都连续, 则称 f ( z ) 在 E 上连 续. 例6 例 5(2)的结论表明多项式函数在复平面上处处连续. 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是定义在 E 上的复函数, z0 = x0 + iy0 是 E 的聚 定理 2.1.2
于是 f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 )
1 f ( z0 ) . 2
1 f ( z0 ) . 即 2
复变函数的极限和连续性
三、举例
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
张 长 华
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
张 长 华
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数的极限和连续性
设复变函数 f ( z ) 当 z → z 0 时的极限存在 , 此极限值与 z
趋于 z 0 所采取的方式 ( 选取的路径 )有无关系 ?
思考题答案 极限值都是相同的. 没有关系. 没有关系 z 以任何方式趋于 z0 , 极限值都是相同的
复变函数与积分变换
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
时，
( u + iv ) − ( u0 + iv 0 ) < ε . ⇒ u − u0 < ε , v − v 0 < ε ,
x → x0 y → y0
或当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) < ε ,
故
说明： 说明：
f ( z ) − A < ε , 所以
lim f ( z ) = A.
z → z0
[证毕 证毕] 证毕
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim v ( x , y ) 不存在, 根据定理一
可知, 可知 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
x → x0 y → y0
复变函数与积分变换
目 录
上一页
下一页
返 回
结 束
第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
二、函数的连续性
连续的定义: 1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ), 那末我们就说 f ( z )在 z 0 处连续 .
趋于 z 0 所采取的方式 ( 选取的路径 )有无关系 ?
思考题答案 极限值都是相同的. 没有关系. 没有关系 z 以任何方式趋于 z0 , 极限值都是相同的
复变函数与积分变换
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
时，
( u + iv ) − ( u0 + iv 0 ) < ε . ⇒ u − u0 < ε , v − v 0 < ε ,
x → x0 y → y0
或当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) < ε ,
故
说明： 说明：
f ( z ) − A < ε , 所以
lim f ( z ) = A.
z → z0
[证毕 证毕] 证毕
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim v ( x , y ) 不存在, 根据定理一
可知, 可知 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
x → x0 y → y0
复变函数与积分变换
目 录
上一页
下一页
返 回
结 束
第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
二、函数的连续性
连续的定义: 1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ), 那末我们就说 f ( z )在 z 0 处连续 .
复变函数的极限与连续
函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2−y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2−y2 = c1 , 2xy = c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 .
−6−8 −10 y
u=0−2−4 2 64 8 10
1
−1
1
−1
v
10
v=10
8
6
4
2 −−42
则称α为当z趋于z0时f (z)的极限，
记作 lim f (z) = α ,简记为 lim f (z) = α.
z→z0 ,z∈E
z → z0
注意：
(1) lim f (z) = α的几何意义是：∀ε > 0, ∃δ > 0, z→z0 ,z∈E
使得当z ∈ E I U o(z0,δ )时，有f (z) ∈U (α,ε ).
注意：
（2）极限 lim z→z0 ,z∈E
f
(z)与z趋于z0的方式无关，
即当z从平面上任一方向、沿任何路径、以
任意方式趋近于z0时，f (z)均以α为极限。
(3) 复变函数w = f (z)的极限有类似于数学分析中 一元(或多元)实函数极限的性质，如：极限的唯一 性，局部有界性，极限的四则运算和复合运算。
解 令 z = x + iy, w = u + iv,
则 u + iv = ( x + iy)2 = x2 − y2 + 2xyi, 所以 u = x2 − y2 , v = 2xy.
于是w = z2将z平面上的双曲线x2 − y2 = 4与xy = 2 分别映为w平面上直线u = 4和v = 4.
xy→→xy00
复变函数的极限与连续
§1.3 复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数
盐城工学院基础部应用数学课程组
z Re( z ) 例1 计算函数 f ( z ) 在 z 0 的极限. z
解 设z x iy，则 f ( z )
x2 x y
2 2
i
xy x2 y2
u( x, y )
x2 x y
2 2
, v( x, y)
2 2
xy x2 y 2
根据复数的乘法公式可知,
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成 w 平面上与实轴交角为 2 的角形域 .
盐城工学院基础部应用数学课程组
定义虽然在形式上相同 , 但在实质上要求苛刻得多
.复变函数、极限、连续的等价条件 2.
① 一个复变函数对应于两个二元实变函数； ② 复变函数的极限存在等价于两个二元实变函数 极限同时存在； ③ 复变函数连续等价于两个二元实变函数同时连续.
盐城工学院基础部应用数学课程组
作业
习题一: 31,32
盐城工学院基础部应用数学课程组
z 2 . 例3 计算 lim z i z 1 z 2 z 2 i 2 1 3i 在z i处连续， 故 lim . 解 因为 z i z 1 z 1 i 1 2
盐城工学院基础部应用数学课程组
2.连续函数的性质 (1)连续函数的和差积商仍然连续；
f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z)
盐城工学院基础部应用数学课程组
1 例1 证明 w 是定义在除原点外的整个复平面上 z 的复变函数.
证 令z x iy,
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
复变函数
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0)
在集 E 上连续.
则称 f(z) 在 点z0 连续.若 f(z) 在集 E 的每一个聚点连续, 则称f(z) 注: 设 z = x+iy, z0 = x0+i y0, f(z) = u(x,y) + i v(x,y). 则
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0) = u(x0, y0) + i v(x0, y0) ⇔
这一映照可以看成由 ω = 对于复变函数 f(z), 由于 f(z) ∈ C, 故而一般地有表示:
1
f(z) = u(x,y) + i v(x,y),
2 2 2
(x,y) ∈ E.
2 2 2
例 4: w = f(z) = z = (x+iy) = x - y + 2xyi. 则 u(x,y) = x - y , v(x,y) = 2xy. 下面我们讨论复变函数的极限与连续性. 定义: 设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有 | f(z) - α | < ε 则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作
第二章
复变函数
（Complex Variable Functions）
本章介绍复变函数及其极限与连续等的概念与性质; 引入判断函数可微和解析的主要条 件---柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件; 把实的初等函数推广到复数域上并研究复变函数的 性质, 其中包括几类多值函数的性质；最后引入了调和函数的概念，给出调和函数和解析函 数之间的关系。
lim f(z) = f(z0)
在集 E 上连续.
则称 f(z) 在 点z0 连续.若 f(z) 在集 E 的每一个聚点连续, 则称f(z) 注: 设 z = x+iy, z0 = x0+i y0, f(z) = u(x,y) + i v(x,y). 则
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0) = u(x0, y0) + i v(x0, y0) ⇔
这一映照可以看成由 ω = 对于复变函数 f(z), 由于 f(z) ∈ C, 故而一般地有表示:
1
f(z) = u(x,y) + i v(x,y),
2 2 2
(x,y) ∈ E.
2 2 2
例 4: w = f(z) = z = (x+iy) = x - y + 2xyi. 则 u(x,y) = x - y , v(x,y) = 2xy. 下面我们讨论复变函数的极限与连续性. 定义: 设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有 | f(z) - α | < ε 则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作
第二章
复变函数
（Complex Variable Functions）
本章介绍复变函数及其极限与连续等的概念与性质; 引入判断函数可微和解析的主要条 件---柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件; 把实的初等函数推广到复数域上并研究复变函数的 性质, 其中包括几类多值函数的性质；最后引入了调和函数的概念，给出调和函数和解析函 数之间的关系。
复变函数的极限和连续
lim w lim f (z z) f (z)
z z 0
z0
z
存在，且有相同的极限值，即 f (z)与 z 0 的方式无关， 使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形
设 z x yi
w f (z z) f (z)
u(x x, y y) v(x x, y y)i u(x, y) v(x, y)i
数学物理方法 第一章
10
1. z沿平行于X轴的方向趋于零， y 0, z x
f (z) u(x x, y) v(x x, y)i u(x, y) v(x, y)i x
u v i x x
2. z 沿平行于y轴的方向趋于零， x 0, z yi
f (z) u(x, y+y) v(x, y+y)i u(x, y) v(x, y)i yi
2.微分的定义
微分: dw f ' (z)dz （ 或者 df f '(z)dz ）
称之为函数的微分
dw f '(z),导数f '(z)等于函数的微分与自变量的微分之商 dz
3.导数和微分的法则和公式
实变函数与复变函数导数和微分的定义形式相同，因此实变函数所 有的导数和微分的公式法则可推广到复变函数
v u i
y y
数学物理方法 第一章
11
因为在 (x, y) 可导，因此 u v i v u i
x x y y
所以：
u v , v u x y x y
柯西-黎曼条件(C-R条件)
说明：A: C-R条件的有限性
B:可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互
紧密联系的。
数学物理方法 第一章
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
2.1 复变函数的极限与连续性解析
f ( z) A 则称复常数 A为函数 f ( z )当时 z z 0 的极限， 记作： lim f ( z ) A 或 f ( z) A ( z z 0 ) zz
0
几何意义:
y z
v f(z)
z0
O A lim f ( z )
z z0
A
x O 意味着：
0
1、讨论 函数 的连续性
sin z , e z , cos z , e z , shz, chz
• 函数 sin z , e z , cos z , 在整个复平面上连续 • 2、讨论 函数
e , shz, chz
z
sec z , cs c z , tan z , cot z 的连续性 函数 sec z , cs c z , tan z , cot z 在分母不为零处连续
z z0
的充分必要条件为:
x x0 y y0
lim u ( x, y ) u0 且 lim v( x, y ) v0 x x
y y 0 0
于是有：
z z0
lim f ( z ) lim u ( x, y ) i lim v( x, y )
x x0 y y0 x x0 y y0
z z0 z z0
任意 0, 存在 0，当0<|z-z0 |< 则， |f(z)-A|< 又因为 f ( z ) - A f ( z ) A
f ( z ) - A 得证
z Re z 例2 当 z0 时, 函数(1) f ( z ) (z 0);(2) f ( z ) z z
y 1 y 1
法2
z 1 i z zlim lim 1i i z 1 i z lim z 1 i
复变函数(全)
0 0 0
0
0
0
0
第二章
第一节 解析函数的概念
1.复变函数的导数与微分 (1) 导数的定义 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D , z 为D 中的一点,点 z z 不超出 D 的范围,如 f ( z z ) f ( z ) 果极限 lim 存在, 那么就说 f ( z ) z z 的导数,记作 在 z 可导.这个极限值就称 f ( z ) 在 dw f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . dz z
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数 , 其中x, y 分别称为 z 的实部 和虚部,记作 x Re( z ), y Im( z ) . 当 x 0, y 0 时 , z iy 称 为 纯 虚 数 ; 当 y 0 时, x x i 0 可看作实数x .
如果存在z0 的一个邻域,该邻域内的所有点
G 的内点.如果 G 内的 z0 为 都属于G ,那么称 G 为开集. 每个点都是G 的内点,那么称
第四节 区
域
(3) 区域 D 满足下列 平面点集D 称为一个区域, 如果 两个条件: 1)D 是一个开集;
2)D 是连通的, 即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第一节 解析函数的概念
(3)求导法则:
f ( z) g ( z ) f ( z ) f ( z ) g ( z ) ] 5) [ g ( z) g 2 ( z)
6) { f [ g ( z )]} f ( w) g ( z ) , 其中 w g ( z ) 7)
0
0
0
0
第二章
第一节 解析函数的概念
1.复变函数的导数与微分 (1) 导数的定义 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D , z 为D 中的一点,点 z z 不超出 D 的范围,如 f ( z z ) f ( z ) 果极限 lim 存在, 那么就说 f ( z ) z z 的导数,记作 在 z 可导.这个极限值就称 f ( z ) 在 dw f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . dz z
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数 , 其中x, y 分别称为 z 的实部 和虚部,记作 x Re( z ), y Im( z ) . 当 x 0, y 0 时 , z iy 称 为 纯 虚 数 ; 当 y 0 时, x x i 0 可看作实数x .
如果存在z0 的一个邻域,该邻域内的所有点
G 的内点.如果 G 内的 z0 为 都属于G ,那么称 G 为开集. 每个点都是G 的内点,那么称
第四节 区
域
(3) 区域 D 满足下列 平面点集D 称为一个区域, 如果 两个条件: 1)D 是一个开集;
2)D 是连通的, 即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第一节 解析函数的概念
(3)求导法则:
f ( z) g ( z ) f ( z ) f ( z ) g ( z ) ] 5) [ g ( z) g 2 ( z)
6) { f [ g ( z )]} f ( w) g ( z ) , 其中 w g ( z ) 7)
复变函数与积分变换课件第2章
例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z
2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
1-4复变函数及其极限与连续
2
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
26
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的 (2) 有理分式函数 w P (z) , 其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
Co
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
22
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
26
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的 (2) 有理分式函数 w P (z) , 其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
Co
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
22
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
复变函数第一章第一节复数
（一） 复变函数第一章１－４节）（１０学时）１、 复数（第一章 第一节） 学习内容：复数定义及运算复数的定义、相等即运算，复数的代数式，复数的模与幅度角、共轭复数。
复数及其基本运算：幅角的概念与计算；正确理解幅角的多值性；复数的三角表示与指数表示； 复数的城访与开方复数的表示及其运算： ｚ＝ｘ＋ｉｙ ｘ，ｙ∈Rz 1=y x11i +y xz 222i +=)(i )(y y x x zz 212121±+±=± )()(1221212121y x y x y y x x zz i ++-=∙)0()()(2222221122222212121≠+-+++=zyx y x y x y x y y x xzz iiy x z -= |z |=yx 22+复数的三角表示与指数表示 Z =r (c o s θ+s i n θ) Z =r θi r =|z |Argz =θθθθ2i11111r r z )isin cos (=+=θθθ2i22222r r z )isin cos (=+=)(i 212121212121r r r r z z )](isin )(cos [θθθθθθ+=+++= [rr z z 2121=)0()](isin )(cos z rr 2)(i 21212121≠=-+--θθθθθθθθθin nnnrr z)]n (isin )]n (cos [=+=)1-0,1,2,k (r )n2k isinn2k cos(r z n2k nnn1nz ｎ⋯⋯==+++==+πθπθπθ难点：幅角的概念与计算； 幅角的多值性； 复数的乘方开方。
要求：了解复数定义及其几何表示， 熟练掌握复数的运算。
例 设Ｚ＝２－２ｉ，求3z解：ｒ＝8)2(222=+-A r g z =a r c t g22-+2π=π47 3z =)32k 47isin 32k 47cos (86ππππ+++x yarctg 0,0≥>y xx y arctg +2π0,0<>y xA r g z =2π0,0>=y x 23π0,0<=y x xyarctg +π 0<x2. 曲线与区域 （第一章 第二节）学习内容：平面点集：邻域，内点，外点，边界点，边界，开集，闭集，有界集，曲线（连续曲线，简单曲线，简单闭曲线，光滑曲线，分段光滑曲线），区域，闭区域，单连通区域，多连通区域。
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
成绩：
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
复变函数及其极限与连续性
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变 函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复 杂得多，要求也苛刻的多。
例3
证明当
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b ).
光滑曲线
如果 x t , y t 均连续，且 t,[x t ]2 [ y t ]2 0
则称曲线是光滑的. 分段光滑曲线
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
z(a )
z(b ) z(a )
(1)圆环域: r1 z z0 r2; (2)上半平面: Im z 0; (3)角形域: 1 arg z 2;
(4)带形域: a Im z b.
r2
r1z0
y
o
x
连续曲线
如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时, 则称
C
:
x y
x y
t t
a
t
b
为连续曲线.
z0 时,函数
Re z
f (z)
极限不存在.
z
方法1. 沿 y kx
方法2. 沿不同射线 arg z
复变函数的连续性
设
f (z)在z0的邻域内有定义,
且 lim f (z) z z0
f (z0 )
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
使得当 0 z z0 时，总有 f (z) A
成立,则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则称当z
| f (z) |
在E 中趋于无穷大
时
作
趋于
f (z)
，记
lim f (z)
zE , z
14
函数在某点处连续性的判别
基本解法：
(1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是
否连续
若都连续，则f(z)在z0连续 若不连续，则
9
例 2 证明 : 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 点 z0 处也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
举例说明如下： f (z) ln( x2 y2 ) i( x2 y2 ), u( x, y) ln( x2 y2 ) 在复平面内除原点外处处连 续, v( x, y) x2 y2 在复平面内处处连续, 因此
f (z) 在复平面内除原点外处处连续.
7
该定理将复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)的 连续性问题与两个二元实函数 u( x, y)和 v( x, y) 的连续性问题密切联系在一起.
(2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式, Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
定理 4 设 f (z)在有界闭区域 D (或有限长连续曲 线 C ) 上连续，则 f (z) 在 D (或 C ) 上有界. 即存在 M 0, 当 z D (或C )时， f (z) M .
且 z1, z2 D
| f (z1) f (z2 ) |
12
定义：如果对于任给定常数 A ，0 存 在 ( A，) 使0当 ， z E 0 | 时z ，z0 有|
则称当z在E 中| 趋f (z于) |时A
作
z0
趋于无穷大 ，记
f (z)
lim f (z)
zE , zz0
13
定义：如果对于任给定常数ε>0 ，存 在 ( )，使0 当 且z E 时| ，z |有
定理 2 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、 差、积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
定理 3 设 函数 h g(z) 在 z0 连续, 函数 w f (h) 在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处连续.
8
(1) 多项式 w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 在复平面内的所有点z 都是连续的;
§1-4 复变函数的极限和连续
一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性
1
一、 复变函数的极限
定义 1 设复变函数w f (z) 在 z0 的某个去心邻
域 0 z z0 内定义, A是一个复常数. 若对 任意给定的 0, 总存在 ( ) 0 (0 ), 使得当 0 z z0 时, 有 f (z) A , 那末
2 (z)] A1 A2 (z)] A1 A2
lim f1(z) A1 zz0 f2 ( z) A2
4
例1 证明: 当 z 0时, 函数 f (z) z (z 0)的 z
极限不存在.
证明 当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim f (z) lim x ikx 1 ik
然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和 v(x,y)的极限，即
lim f (z) lim f (z) lim u(x, y) i lim v(x, y)
zz0
xx0 y y0
xx0 y y0
xx0 y y0
例
lim
zz0
|
z
||
z0
|
因为|z|在整个复平面上连续
P27,6
18
)
或
lim
xx0
v(
x,
y)
v(
x0 ,
y0
)
y y0
y y0
15
证明argz在原点和负实轴不连续
由于
arg
z
arccos
x2
arccos
x y2
x
( y 0)
是分段定义的二元函数
( y 0)
x2 y2
当y>0或y<0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数
argz是否连续即可。
(1)由于当x0>0时有
f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在
lim
zz0
f (z)
不存在或存在但
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
只需验证 z
z0
在某方向上
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
或存在某方向 (x, y) (x0, y0) 时，有
lim
xx0
u(
x,
y)
u(
x0 ,
y0
f ( x, y) u2( x, y) v2( x, y) 在 ( x0 , y0 )处连续, 因 f (z0 ) 0, 所以 f (z0 ) 0, 由二元函数连续性, 必存在 ( x0 , y0 ) 的某个邻域，使得 f (z) 0, 因而 f (z) 0.
11
与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证
得以下定理
定理5 函数 f (在z)简单曲线 （C包括两端点）或
者有界闭区域 D上连续，则
⑴ | f (在z) | 或C者 为连D续；
⑵ | f (z在) | 它上能取到最大值与最小值；
⑶ f (在z) 它上一致连续，即对任意的 ,存 0
在 (，) 使0 当 | z1 z2 |时 ，有
z或1, z者2 C
lim f (z) A lim u(x, y) a
zz0
xx0 y y0
lim v(x, y) b
xx0 y y0
复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在 一点的极限来讨论
3
定123）））理当3zlizlmimz设A0z[02[ff11z时l(i(0mzzz))0，fkf
(
f
2
z) Ak，(k 则1,有2)
本章主要内容 复数表示法
复 数 曲线与区域
复数的运算
定义表示法 平面表示法 向量表示法 三角表示法 指数表示法 球面表示法
共轭运算 代数运算 乘幂与方根
19
本章注意两点
复数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
20
第一章 完
21
lim
x x0
arc
c
0 y0
x arccos x2 y2
x 0 x2 y2
x0 0 x02 02
即当x x0且 y 0 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处 的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在 正实轴连续。
16
(2) argz在z=0点无意义，因此不连续
称 f (z) 在区域D内连续.
关于f (z)在连续曲线C和闭区域 D上连续的概 念, 只要把上述定义中的z 限制在C或 D上即可.
6
定理 1 设 f (z) u( x, y) iv( x, y)，则函数 f (z) 在 z0 x0 iy0 连续的充分必要条件是 u( x, y), 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处连续.
10
例 3 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 且 f (z0 ) 0 , 则必存在 z0 的某个邻域，使得 f (z) 0 . 证 由 f (z) u( x, y) iv( x, y)在 z0 点连续， 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 因此
(3) 在y＝0，x<0的半直线上
可是
lim
xx0 y0
arc
c
os
x x2
y2
arg
z0
arccos
x0 x0
arccos(1)
所以分段定义的二元函数argz在y=0且x<0这些点处不连续
综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处 连续。
f(z)=|z|的连续性？
f (z) x2 y2 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数， 因此在整个复平面上连续。
z0
x0 x ikx 1 ik
ykx
该极限值随 k 值的变化而变化,
所以lim f (z) 不存在. z0
5
二、函数的连续性
定义 2 （1）设f (z)在 z0 的某邻域内有定义，且
lim
z z0
f (z)
f
( z0 )
则称 f (z)在 z0 处连续.
（2）如果 f (z) 在区域 D内的每一点连续, 则
P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实 轴上不连续性。
17
函数极限的求法和极限不存在的判别法
方法1：当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一 点处连续的定义来求极限。即
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
方法2：当不能判断f(z)在z0点是否连续时，
首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。
则称当 z 趋向于 z0 时，f (z)以A为极限.