固体物理 计算题(改)

计算题2-7 Consider the free and independent electron gas in two dimensions1)Find the relation between the Fermi wave vector k F and theelectron number density n, where n is the number of electrons per unit area.找波矢K F与电子密度n的关系。

2)Compute the free electron density of states g(E) in twodimensions.计算二维的自由电子的态密度g(E)。

波矢k的分布密度为ρ(k)=N/S=N(s a/4π²)=S/4π2∴波矢k的取值总数为ρ(k)·πk2∴电子能态总数Z(E)=2ρ(k)·πk2∵能量E=(h k)2/2m∴Z(E)= 2ρ(k)·π·2mE/h2=2( S/4π2) ·π·2mE/h2=SmE/πh2∴自由电子的态密度g(E)=dZ(E)/dE=Sm/πh2∴系统的总电子数N=∫0∞g(E)·f(E)dE=∫0E F g(E)dE=∫0E F SmE/πh2dE=SmE F/πh2（其中f(E)为费密分布类似概率密度）∴E F=Nπh2/Sm=(πh2/m)n又∵E F=(h k F)2/2m∴(h k F)2/2m=(πh2/m)n∴k F2=2πn3-5 A crystal has a basis of one atom per lattice point and a set of primitive vectors (in 10-10m) 一个晶体有一组基矢a=3e x, b=3e y, c=3(e x+e y+e z)/2,where e x, e y, and e z are unit vectors in the x, y, and z directions of a Cartesian coordinate system. e x，e y和e z分别是直角坐标系坐标轴的单位矢量1)What is the Bravais lattice type of this crystal?是什么布拉菲晶格？2)Compute the volumes of the primitive and conventional unitcells.计算初基原胞和惯用原胞的体积。

∵a+b-c=3(e x+e y-e z)/2，c-b=3(e x-e y+e z)/2，c-a=3(-e x+e y+e z)/2∴这是体心立方∵初基原胞的体积Ω=a·(b×c)=27/2∵体心立方的惯用原胞体积是初基原胞的两倍∴Ω2=2Ω=2711-5 Consider a diatomic molecule due to the van der Waals bond.考虑一个由范德瓦尔键形成的二原子分子。

1)Show that the equilibrium separation is given by R0=21/6σ.证明平衡距离是R0=21/6σ。

2)Find the strength of the van der Waals bond in the molecule.找出这个分子的范德瓦尔键的势能。

证明：根据范德瓦尔键的势能表达式U(R)=(B/R12)-(A/R6)假设B=4εσ12，A=4εσ 6 用变量ε，σ代替A，B∴U(R)=4ε[(σ/R)12-(σ/R)6]∵相互作用力f(R)=-dU(R)/dR∴当平衡时f(R0)=-dU(R)/dR|R=R0=4ε(12σ12R0-13-6σ6R0-7)=24εσ6R-7(2σ6R0-6-1)=0∴R0=21/6σ由上面证明知R0=21/6σ∴代入U(R0)=4ε[(σ/R0)12-(σ/R0)6]=4ε(2-2-2-1)=- ε∴范德瓦尔键的势能是大小为ε的吸引能12-3 The total energy of a three-dimensional ionic crystal is given by三维离子晶体的总势能是U(R)=(NA/R12)-(NαZ2e2/4πε0R)Where N is the number of ion pairs and R the nearest-neighbor distance. N是离子对的数量，R是最近距离。

1)Derive an expression of the equilibrium value of thenearest-neighbor distance.求平衡时最近距离表达式。

2)Compute the binding energy per ion pair in equilibrium.计算在平衡时每对离子对的键能。

根据相互作用力f(R)=-dU(R)/dR∴平衡时f(R0)=- dU(R)/dR|R=R0=12NAR-13-(NαZ2e2/4πε0R2)=0∴R0=(48πε0A/2Z2e2)1/11∴把R0代入U(R)中U(R0)= (NA/R12)-(NαZ2e2/4πε0R)又∵12NAR-13-(NαZ2e2/4πε0R2)=0∴NαZ2e2/4πε0=12NAR-11或NA= NαZ2e2R11/48πε0∴U(R0)= (NA/R12)-( 12NA/R12)=-11NA(48πε0A/2Z2e2)-12/11 或= (NαZ2e2/48πε0R)-(NαZ2e2/4πε0R)=(NαZ2e2/4πε0)(1/12-1) (48πε0A/2Z2e2)1/1113-1 Consider a linear chain in which alternate ions have masses m1 and m2 and only nearest neighbors interact through a spring of force constant K. Find the dispersion relations for the normal modes. Discuss the limiting cases for m1>>m2 and m1=m2.考虑一线型的离子质量交替等于m1和m2的链，且只有相邻的离子间存在弹性常数为K的相互作用。

找出这个模型的色散关系。

讨论极限条件m1>>m2和m1=m2。

由题，得第2n个原子受力为f B=K(x2n-1+x2n+1-2x2n)=m2a2n第2n+1个原子受力为f A=K(x2n+x2n+2-2x2n+1)=m1a2n+1将试探解x2n=Be i(ωt-2q na)x2n+1=Ae i[ωt-q(2n+1)a]代入运动方程中得-m1ω²A=K(e i q a+e-i q a)B-2KA-m2ω²B=K(e i q a+e-i q a)A-2KB∴整理，得ω-2=(K/m1m2){(m1+m2)-[m12+m22+2m1m2cos(2q a)]1/2}ω+2=(K/m1m2){(m1+m2)+[m12+m22+2m1m2cos(2q a)]1/2}∴当m1=m2=m时ω-2=(K/m2){2m-[2m2+2m2cos(2q a)]1/2}ω+2=(K/m2){2m+[2m2+2m2cos(2q a)]1/2}当m1>>m2时ω-2=(K/m1m2){(m1+m2)-[m12+m22+2m1m2cos(2q a)]1/2}=(K/m2)(m2/m1+1)-(K/m1m2)m1[1+(m2/m1)2+2(m2/m1)cos(2q a)]1/2=K/m2-K/m2=0ω+2=(K/m1m2){(m1+m2)+[m12+m22+2m1m2cos(2q a)]1/2}=(K/m2)(m2/m1+1)+(K/m1m2)m1[1+(m2/m1)2+2(m2/m1)cos(2q a)]1/2=K/m2+K/m2=2K/m26 Compute the reciprocal lattice of the bcc and fcc lattice.计算体心立方和面心立方的倒格子。

根据倒格子公式：b1=2π(a2×a3)/[a1·(a2×a3)]b2=2π(a3×a1)/[a2·(a3×a1)]b3=2π(a1×a2)/[a3·(a1×a2)]∵体心立方的基矢为a1=a(e y+e z-e x)/2a2=a(e z+e x-e y)/2a3=a(e x+e y-e z)/2∴体心立方的倒格子为b1=(2π/a)(e y+e z)b2=(2π/a)(e z+e x)b3=(2π/a)(e x+e y)∵面心立方的基矢为a1=(a/2)(e y+e z)a2=(a/2)(e z+e x)a3=(a/2)(e x+e y)∴面心立方的倒格子为b1=(2π/a)(e y+e z-e x)b2=(2π/a)(e z+e x-e y)b3=(2π/a)(e x+e y-e z)16-3 The energy bands for an infinite chain of atoms subject to a periodic distortion (Peierls distortion) are given by一个无限原子链的能带服从周期性形变E±(k)=±[(β1-β2)2+4β1β2cos2(k a)]1/2Where β1and β2are two different hopping parameters due to the presence of two different atom spacings. β1和β2是因为两个不同的原子间距形成的两个不同的跳跃参数1)Identify the first Brillouin zone.确定第一布里渊区。

2)Plot the band structure.绘制能带结构图。

3)Show that the group velocity of an electron at the zone edge iszero.证明一个电子在区域边缘的群速是零。

∵群速v=(1/h)(dE/d k)=±(1/2h)[(β1-β2)2+4β1β2cos2(k a)]-1/2[-8β1β2acos(ka)sin(k a)] =±(1/h)[(β1-β2)2+4β1β2cos2(k a)]-1/2[-2β1β2asin(2k a)]又∵第一布里渊区中-π<2k a<π∴区域边缘为k=-π/2a与π/2a∴代入群速v得v1=±(1/h)[(β1-β2)2+4β1β2cos2(-π/2)]-1/2[-2β1β2asin(-π)] =0v2=±(1/h)[(β1-β2)2+4β1β2cos2(π/2)]-1/2[-2β1β2asin(π)] =0。