市北资优七年级分册 第17章 17.2 三角形的内角和+唐建军
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17.2三角形的内角和
我们在小学里已经知道，三角形的三个内角和等于180，那么你能运用学过的平行线的知识来说明这个结论的正确性吗？
三角形的内角和性质：三角形的内角和等于180.
由三角形内角和为180，可以发现直角三角形的两个锐角有什么数量关系吗？为什么？ 直角三角形的性质之一：直角三角形的两个锐角互余.
例1 ABC ∆ 中，220A B B C ∠-∠=∠-∠= ，求A B C ∠∠∠、、 . 解：因为220A B B C ∠-∠=∠-∠=（已知），
所以3A C B ∠+∠=∠ .（等式的性质）
又因为180A B C ∠+∠+∠= （三角形的内角和等于180） 所以4180B ∠= （等量代换） 所以45B ∠= （等式的性质）
可得2065,22070A B C B ∠=∠+=∠=∠-= （等式性质） 所以65,45,70A B C ∠=∠=∠=
例2 在ABC ∆中，::1:2:5,ABC C BAC BD AC ∠∠∠=⊥ 于D ，求ABD ∠ .
分析：要求ABD ∠，就要先求出ABC ∠ 与C ∠ ，可利用设元列方程求得. 解：设ABC x ∠= ，则2,5C x BAC x ∠=∠= .
在ABC ∆中，25180x x x ++= （三角形的内角和等于180） 解得22.5x = （等式性质）
所以22.5,222.545ABC C ∠=∠=⨯= （等量代换） 又因为BD AC ⊥ （已知）
所以90DBC C ∠+∠= （直角三角形的两个锐角互余） 图17.2.1
B
C
则9022.54522.5ABD ∠=--= （等式性质）
例3 如图17.2.2，直角三角形ABC 中，90,ACB CD AB ∠=⊥ 于D ，说明2A ∠=∠ 的理由.
解：在t R ABC ∆中，
因为90ACB ∠= （已知） 所以1290∠+∠= （直角的意义） 因为CD AB ⊥ （已知）
所以160A ∠+∠= （直角三角形两个锐角互余） 因此2A ∠=∠ （同角的余角相等）
例4 在ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且,47A B C C A ∠<∠<∠∠=∠ ，求B ∠ 解：设,A x B y ∠=∠= ，则7
4
C x ∠
=
由题得71804
74
x y x x y x ⎧
++=⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩①②
由①得11
1804
y x =-
.③ 把③代入②得11718044
x x x <-< 解得4048x <<
又三个内角的度数均为整数，则7
4
x 为整数，因此44,44,77,180447759x A C B =∠=∠=∠=--=
例5 若三角形三个内角A B C ∠∠∠、、 的关系满足3,2A B C B ∠>∠∠<∠ ，试按角的分类判断这个三角
形形状.
分析：由题意可知角A ∠ 为最大角，因此只需要判断A ∠ 的大小即可. 解：因为180A B C ∠+∠+∠= （已知）
又因为2C B ∠<∠ （已知）
所以2180A B B ∠+∠+∠> （不等式性质）
图17.2.2
D
A
即3180A B ∠+∠> 又因为3A B ∠>∠ （已知） 所以2180A ∠> （不等式性质） 即90A ∠>
所以这个三角形是钝角三角形.
练习17.2（1）
1. 一个三角形，若其中一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形一定是______三角形.
2. 任意一个三角形至少有_______个钝角.
3. ABC ∆ 中，A ∠ 是最小角，B ∠ 是最大角，且有25B A ∠=∠ ，若B ∠ 的最大值是m° ，最小值是n° ，则m n += ______.
4. 锐角三角形三个角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角的度数的1
4
，那么所有满足此条件的锐角三角形三个角的度数为______.
练习答案： 练习17.2（1）
1. 直角
2. 2
3. 175.提示：设(2),(5)A x B x ∠=∠= ，则180(7)C x ∠=- ，由A C B ∠≤∠≤∠ 得1520x ≤≤
4. 设锐角三角形最小角的度数为x ，最大度数为4x ，另一角为y ，
则41804490x x y x y x x ++=⎧⎪
≤≤⎨⎪<⎩
，解得2022.5x ≤< 故202122x =、、
所有满足此条件的锐角三角形三个角度数为：20°、80°、80° 或21°、75°、 84° 或22°、70°、88°
17.2三角形的内角和 练习17.2（1）
1. 已知ABC ∆ 的三个内角为A B C ∠∠∠、、 ，令,,B C C A A B αβγ=∠+∠=∠+∠=∠+∠ ，则αβγ、、
中锐角的个数至多（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2. 如图，50,60ABC ACB ∠=∠= ,BO 、CO 分别平分ABC ACB ∠∠、 ，EF 过O 点且平行于BC ，则BOC ∠ 的度数为______
3. 三角形的三个内角分别为αβγ、、，且,2αβγαγ≥≥=，则β的取值范围是___________
4. 如图，已知E 为AC 上一点，,1,2BE DE B D ⊥∠=∠∠=∠ 说明AB CD 的理由
练习17.2（1）答案
1. A
2. 125
3. 4572β≤≤
4. 由于BE DE ⊥ ，所以1290∠+∠= ，则12180B D ∠+∠+∠+∠= ，由三角形内角和为180 ，得到180A C ∠+∠= ，所以AB CD
第2题
B
C
第4题D