浙江省杭州市江干区八年级(上)期末数学试卷

2016-2017学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选1．一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．把点（2，﹣1）向右平移5个单位得到点（）A．（2，﹣6）B．（2，5） C．（7，﹣1）D．（﹣3，﹣1）3．下列四选项中，以三个实数为边长，能构成直角三角形的是（）A．√3，2，√5B．√1，√2，√3C．√6，√8，√10D．3，4，64．y关于x的一次函数y=2x+m2+1的图象不可能经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．不等式3x﹣1≤2（x+2）的正整数解有几个（）A．3 B．4 C．5 D．66．若x＜y，且（a+5）x＞（a+5）y，则a的取值范围（）A．a＞﹣5 B．a≥﹣5 C．a＜﹣5 D．a＜57．下列命题是真命题的有：①若a＞b，则a2＞b2；②三角形一边上的中点到另外两边的距离相等；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④同位角相等；⑤“作两条相交的直线”这句话是一个命题．（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（）A．72013B．﹣1 C．1 D．（﹣3）20139．若直线y=kx+b是由直线y=2x+4沿x轴向右平移4个单位所得，则k，b的值分别是（）A．k=﹣2，b=﹣4 B．k=2，b=﹣4 C．k=﹣4，b=2 D．k=4，b=210．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF=√22AB，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF =12S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、认真填一填11．写一个经过点（0，2），且y 随x 增大而增大的一次函数 ．12．三角形的两边长分别为4，7，请写一个适当偶数作为第三边： ．13．游泳池的水质要求三次检验的PH 的平均值不小于7.2，且不大于7.8，前两次检验，PH 的读数分别为7.4和7.9，要使水质合格，则第三次检验的PH 的取值范围是 ．14．已知点A （4，﹣3），B （x ，﹣3），若AB ∥x 轴，且线段AB 的长为5，x= ．15．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为 ．16．已知，一次函数y=kx +b 的图象与正比例函数y =13x 交于点A ，并与y 轴交于点B （0，﹣4），△AOB 的面积为6，则kb= ．三、全面答一答17．如图，若AB 是CD 的垂直平分线，E ，F 是AC ，AD 的中点，连结BE ，BF ．（1）请写出图中任意两对相等线段： ， ；（2）证明：BE=BF ．18．解不等式（组），并把第（2）的解集表示在数轴上．（1）7x ﹣2≥5x +2；（2）{4x −2＞3(x −2)2x+13−1−x 2≤1．19．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题．20．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点A （﹣4，5），B （﹣4，1），∠B=90°，AC=5，点P 是AC 的中点，线段DE 的两个端点坐标分别为D （4，5），E （4，1）．（1）求C 点的坐标，直接写出P 点的坐标；（2）用尺规作图作△DEF ，使得△DEF ≌△ABC （保留作图痕迹）；（3）请说明△DEF 是由△ABC 通过怎样的图形变换方式得到．21．已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE 是AB 边上的中线．（1）CD=12AB ； （2）若CG=EG ，求证：DG ⊥CE ．22．某学校计划租用7辆客车送八年级师生去秋游，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表，设租用甲种客车x 辆．甲种客车 乙种客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）500320（1）7辆客车载总人数为W，直接写出W（人）与x（辆）之间的函数关系式；（2）租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式；指出自变量的取值范围；（3）若该校八年级师生共有254名师生参加这次秋游，甲种客车不多于5辆，问：有几种可行的租车方案？哪种方案租车费最省？23．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=5，OB=3，点D坐标为（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿线段BC﹣CA的方向运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选1．一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了12份，最大角占总和的512，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．【解答】解：因为3+4+5=12，5÷12=512，180°×512=75°，所以这个三角形里最大的角是锐角，所以另两个角也是锐角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以这个三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角形内角和定理，解题时注意：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．2．把点（2，﹣1）向右平移5个单位得到点（）A．（2，﹣6）B．（2，5） C．（7，﹣1）D．（﹣3，﹣1）【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：把点（2，﹣1）向右平移5个单位得到点坐标为（2+5，﹣1）即（7，﹣1），故选：C．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．3．下列四选项中，以三个实数为边长，能构成直角三角形的是（）A．√3，2，√5B．√1，√2，√3C．√6，√8，√10D．3，4，6【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、（√3）2+22≠（√5）2，不能构成直角三角形；B、（√1）2+（√2）2=（√3）2，能构成直角三角形；C、（√6）2+（√8）2≠（√10）2，不能构成直角三角形；D、32+42≠62，不能构成直角三角形．故选B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．4．y关于x的一次函数y=2x+m2+1的图象不可能经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先判断出m2+1的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵m2+1≥1，2＞0，∴此函数的图象经过第一、二、三象限，一定不经过第四象限．故选D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限是解答此题的关键．5．不等式3x﹣1≤2（x+2）的正整数解有几个（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】首先去括号、然后移项、合并同类项求得不等式的解集，然后确定正整数解．【解答】解：去括号，得3x﹣1≤2x+4，移项，得3x﹣2x≤4+1，合并同类项得x≤5．则正整数解是1，2，3，4，5共5个．故选C．【点评】本题考查了一元一次不等式的正整数解，正确解不等式是关键．6．若x＜y，且（a+5）x＞（a+5）y，则a的取值范围（）A．a＞﹣5 B．a≥﹣5 C．a＜﹣5 D．a＜5【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．【解答】解：∵x＜y，且（a+5）x＞（a+5）y，∴a+5＜0，即a＜﹣5．故选C．【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．7．下列命题是真命题的有：①若a＞b，则a2＞b2；②三角形一边上的中点到另外两边的距离相等；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④同位角相等；⑤“作两条相交的直线”这句话是一个命题．（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用反例对①进行判断；根据等腰三角形的性质对②进行判断；根据圆周角定理的推论对③进行判断；根据平行线的性质对④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．【解答】解：若a=1，b=﹣2，则a2＜b2，所以①为假命题；等腰三角形底边上的中点到另外两边的距离相等，所以②为假命题；若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，所以③为真命题；两直线平行，同位角相等，所以④为假命题；“作两条相交的直线”这句话不是命题，所以⑤为假命题．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．已知点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（）A．72013B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2013【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，∴a﹣1=2，b=﹣4，解得a=3，b=﹣4，∴（a+b）2013=（3﹣4）2013=﹣1．故选B．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9．若直线y=kx+b是由直线y=2x+4沿x轴向右平移4个单位所得，则k，b的值分别是（）A．k=﹣2，b=﹣4 B．k=2，b=﹣4 C．k=﹣4，b=2 D．k=4，b=2【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解即可．【解答】解：直线y=2x+4沿x轴向右平移4个单位，所得直线的函数解析式为y=2（x﹣4）+4，即y=2x﹣4，所以k=2，b=﹣4．故选B ．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换．掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．10．在 Rt △ABC 中，AC=BC ，点D 为AB 中点．∠GDH=90°，∠GDH 绕点D 旋转，DG ，DH 分别与边AC ，BC 交于E ，F 两点．下列结论①AE +BF=√22AB ，②AE 2+BF 2=EF 2，③S 四边形CEDF =12S △ABC ，④△DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【分析】连接CD 根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE ≌△CDF ，就可以得出AE=CF ，进而得出CE=BF ，就有AE +BF=AC ，由勾股定理就可以求出结论．【解答】解：连接CD ，∵AC=BC ，点D 为AB 中点，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=12AB ．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°． ∴∠ADE +∠EDC=90°，∵∠EDC +∠FDC=∠GDH=90°，∴∠ADE=CDF ．在△ADE 和△CDF 中，{∠A =∠DCB AD =CD ∠ADE =∠CDF，∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，DE=DF ，S △ADE =S △CDF ．∵AC=BC ，∴AC ﹣AE=BC ﹣CF ，∴CE=BF ．∵AC=AE +CE ，∴AC=AE +BF ．∵AC 2+BC 2=AB 2，∴AC=√22AB，∴AE+BF=√22AB．∵DE=DF，∠GDH=90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形．∵CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2．∵S四边形CEDF =S△EDC+S△EDF，∴S四边形CEDF =S△EDC+S△ADE=12S△ABC．∴正确的有①②③④．故选D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF 是关键．二、认真填一填11．写一个经过点（0，2），且y随x增大而增大的一次函数y=x+2（答案不唯一）．【分析】首先可由y随x的增大而增大确定x的系数k＞0，再根据函数图象经过点（0，2），写出符合题意的函数表达式即可．【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b．∵y随x的增大而增大，∴k＞0．∵函数图象需要经过点（0，2），∴b=2，∴函数表达式可以是y=x+2．故答案为：y=x+2（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．三角形的两边长分别为4，7，请写一个适当偶数作为第三边：4（或6或8或10）．．【分析】根据三角形的三边关系定理可得7﹣4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再根据第三边为偶数，确定x的值即可．【解答】解：设第三边长为x，则7﹣4＜x＜7+4，∴3＜x＜11，∵第三边长是偶数，∴x=4或6或8或10．故答案为：4（或6或8或10）．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．13．游泳池的水质要求三次检验的PH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，前两次检验，PH的读数分别为7.4和7.9，要使水质合格，则第三次检验的PH的取值范围是 6.3≤x≤8.1．【分析】关系式为：7.2≤三次检验的PH的平均值≤7.8，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设第三次检验的PH值为x，则有：7.2≤7.4+7.9+x3≤7.8，解之得6.3≤x≤8.1，故答案为6.3≤x≤8.1．【点评】考查一元一次不等式组的应用，得到PH的平均值的关系式是解决本题的关键．14．已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=﹣1或9．【分析】由AB平行于x轴，A、B两点的纵坐标均为3，由线段AB的长为5，分点B在A的左、右两侧分别求之．【解答】解：∵AB平行于x轴，且A（4，﹣3），B（x，﹣3），线段AB的长为5，∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）或（9，﹣3）．故x=﹣1或9．故答案为：﹣1或9．【点评】本题主要考查坐标与图形性质，根据平行于x轴得出纵坐标相等是关键，要注意全面考虑到各种情况．15．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为16．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，∴BD=√AB2−AD2=√102−62=8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16．已知，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=13x交于点A，并与y轴交于点B（0，﹣4），△AOB的面积为6，则kb=4或﹣203．【分析】一次函数经过点（0，﹣4），代入即可求得b的值，即已知△AOB中，OB的值，根据△AOB的面积为6，即可求得k的值，从而求解．【解答】解：把（0，﹣4）代入y=kx+b，得到b=﹣4；则OB=4，设A的横坐标是m，则根据△AOB的面积为6，得到12×4×|m|=6，解得m=±3．把x=±3代入正比例函数y=13x，解得y=±1，则A的坐标是（3，1）或（﹣3，﹣1）．当A是（3，1）时，代入y=kx﹣4，得到k=53．则kb=﹣53×4=﹣203；当A是（﹣3，﹣1）时，代入y=kx﹣4，得到k=﹣1，则kb=（﹣1）×（﹣4）=4．故答案为4或﹣20 3．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，把三角形面积以及线段的长的问题转化为点的坐标的问题．三、全面答一答17．如图，若AB是CD的垂直平分线，E，F是AC，AD的中点，连结BE，BF．（1）请写出图中任意两对相等线段：AC=AD，BC=BD；（2）证明：BE=BF．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；（2）证明△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：（1）∵AB是CD的垂直平分线，∴AC=AD，BC=BD，故答案为：AC=AD；BC=BD；（2）∵AC=AD，E，F是AC，AD的中点，∴AE=AF，∵AC=AD ，AB ⊥CD ，∴∠CAB=∠DAB ，在△ACB 和△ADB 中，{AE =AF ∠EAB =∠DAB AB =AB，∴△ACB ≌△ADB ，∴BE=BF ．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．解不等式（组），并把第（2）的解集表示在数轴上．（1）7x ﹣2≥5x +2；（2）{4x −2＞3(x −2)2x+13−1−x 2≤1．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后表示出来即可．【解答】解：（1）7x ﹣2≥5x +2，7x ﹣5x ≥2+2，2x ≥4，x ≥2；（2）{4x −2＞3(x −2)①2x+13−1−x 2≤1② ∵解不等式①得：x ＞﹣4，解不等式②得：x ≤1，∴不等式组的解集为：﹣4＜x ≤1，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键．19．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题．【分析】作出图形，连接AD，由AB=AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE=DF，得证．【解答】已知：如图，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE=DF，证明：连接AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴AD为∠BAC的角平分线（三线合一的性质），又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边相等）．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（﹣4，5），B（﹣4，1），∠B=90°，AC=5，点P是AC的中点，线段DE的两个端点坐标分别为D（4，5），E（4，1）．（1）求C点的坐标，直接写出P点的坐标；（2）用尺规作图作△DEF，使得△DEF≌△ABC（保留作图痕迹）；（3）请说明△DEF是由△ABC通过怎样的图形变换方式得到．【分析】（1）根据AB=4，∠B=90°，AC=5，运用勾股定理得出BC=3，进而得到C 点的坐标，P点的坐标；（2）根据△DEF≌△ABC，运用SSS进行作图即可；（3）根据图中△DEF、△DEF'的位置可得，△DEF是由△ABC沿着y轴翻折得到，△DEF'是由△ABC向右平移8个单位长度得到．【解答】解：（1）∵A（﹣4，5），B（﹣4，1），∴AB=4，又∵∠B=90°，AC=5，∴BC=3，∴C（﹣7，1），又∵点P是AC的中点，点A（﹣4，5），∴P（﹣5.5，3）；（2）如图所示，△DEF、△DEF'即为所求；（3）由图可得，△DEF是由△ABC沿着y轴翻折得到，△DEF'是由△ABC向右平移8个单位长度得到．【点评】本题主要考查了复杂作图以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握三条边分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：翻折变换实质上就是轴对称变换．21．已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE 是AB 边上的中线．（1）CD=12AB ； （2）若CG=EG ，求证：DG ⊥CE ．【分析】（1）含30°角的直角三角形的性质得出AD=12AB ，证得△ACD 是等腰直角三角形，得出CD=AD ，即可得出结论；（2）连接DE ，证得DE 是Rt △ABD 斜边AB 上的中线，得出DE=12AB ，证得DE=CD ，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴AD ⊥BC ，∵∠B=30°，∴AD=12AB ，∵∠ACB=45°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴CD=AD ，∴CD=12AB ； （2）连接DE ，如图所示：∵CE 是AB 边上的中线，AD ⊥BC ，∴DE 是Rt △ABD 斜边AB 上的中线，∴DE=12AB ， ∵CD=12AB ， ∴DE=CD ，∵CG=EG ，∴DG ⊥CE ．【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理等知识；熟练掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解决问题的关键．22．某学校计划租用7辆客车送八年级师生去秋游，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表，设租用甲种客车x 辆．甲种客车 乙种客车载客量（人/辆）45 30 租金（元/辆） 500 320（1）7辆客车载总人数为W ，直接写出W （人）与x （辆）之间的函数关系式 W=15x +210 ；（2）租车总费用为y 元．求出y （元）与x （辆）之间的函数关系式；指出自变量的取值范围；（3）若该校八年级师生共有254名师生参加这次秋游，甲种客车不多于5辆，问：有几种可行的租车方案？哪种方案租车费最省？【分析】（1）租用乙种客车（7﹣x ）辆，分别表示出两种车的载客量，然后求和即可；（2）设租用甲种客车x 辆，则租用乙种客车（7﹣x ）辆，租用甲种客车的费用为500x 元，租用乙种客车的费用为320（7﹣x ）元，租车总费用就等于两种租车费用之和；（3）根据题意列出不等式组，求出不等式组的解救可以确定租车方案，再根据（1）的解析式就可以求出最节省的方案．【解答】解：（1）租用乙种客车（7﹣x ）辆，则W=45x +30（7﹣x ），即W=15x +210． 故答案是：W=15x +210；（2）设租用甲种客车x 辆，则租用乙种客车（7﹣x ）辆，根据题意得租车总费用为y 元．则y=500x +320（7﹣x ）=180x +2240 （0≤x ≤7且x 为整数）；（3）根据题意列不等式组得：{45x +30(7−x)≥254500x +320(7−x)≤3000， 解得：{x ≥4415x ≤389， ∵x 为整数，∴x 可取的值为3、4，∴可行的租车方案有两种：3辆45座，4辆30座的，或4辆45座3辆30座的． ∵3×500+4×320=2780，4×500+320×3=2960＞2780∴第一种方案租用3辆45座，4辆30座的能使租车费用剩余最多．【点评】本题考查了运用一次函数解实际问题的运用，一元一次不等式组解实际问题的运用，方案设计的运用，在解答时运用一次函数的性质求解是关键．23．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 坐标为（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿线段BC﹣CA的方向运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由长方形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得直线DP的解析式；（2）可分点P在线段BC上和在线段AC上两种情况，利用三角形的面积可求得S关于t的函数解析式；（3）当点P在线段BC上时，可用t表示出P点坐标，则可分别表示出DP、AP 和AD的长，分DP=AP、DP=AD和AP=AD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标；当点P在线段AC上时，则只能有PD=AD，则点D在线段AP的垂直平分线上，可求得线段AP中点的坐标，从而可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵OA=5，OB=3，且四边形OACB为长方形，∴C（5，3），∴当点P与点C重合时，P点坐标为（5，3），∵D（0，1），∴可设直线DP解析式为y=kx+1，∴3=5k +1，解得k=25， ∴直线DP 解析式为y=25x +1； （2）当点P 在线段BC 上时，即0≤t ≤5时，如图1，则BP=t ，且OD=1，∴S=12•OD•BP=12×1×t=12t ， 当点P 在线段AC 上时，即5＜t ≤8时，则S=12OD•BC=12×1×5=52， ∴S={12t(0≤t ≤5)52(5＜t ≤8)； （3）当点P 在线段BC 上时，如图2，则可设P 点坐标为（t ，3）（0≤t ≤5），∵A （5，0），D （0，1），∴DP=√t2+(3−1)2=√t2+4，AP=√(t−5)2+32=√t2−10t+34，AD=√52+12=√26，当△APD为等腰三角形时，则有DP=AP、DP=AD和AP=AD三种情况，①当DP=AP时，则有√t2+4=√t2−10t+34，解得t=3，此时P点坐标为（3，3）；②当DP=AD时，则有√t2+4=√26，解得t=﹣√22（舍去）或t=√22，此时P点坐标为（√22，3）；③当AP=AD时，则有√t2−10t+34=√26，解得t=5+√17（舍去）或t=5﹣√17，此时P点坐标为（5﹣√17，3）；当点P在线段AC上时，则AP＜AD，只有AD=DP，∴D在线段AC的垂直平分线上，∴线段AP的中点坐标为（5，1），∴P点坐标为（5，2）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（3，3）或（√22，3）或（5﹣√17，3）或（5，1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中确定出P 点的坐标是解题的关键，在（2）中分点P在线段BC和AC上两种情况是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出AP、DP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。