第六节-平面及其方程

第六节 平面及其方程

平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.

分布图示

★ 平面的点法式方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 平面的一般方程 ★ 例3 ★ 例4

★ 平面的截距式方程 ★ 例5

★ 平面的夹角

★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 点到平面的距离

★ 例9 ★ 例10

★ 内容小结 ★ 课堂练习

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内容要点

一、平面的点法式方程：.0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 二、平面的一般方程：,0=+++D Cz By Ax 三、平面的截距式方程：

.1=++c

z

b y a x 四、两平面的夹角：设有两平面1∏和2∏：

,0:11111=+++∏D z C y B x A },,{1111C B A n =

则两平面的夹角 22

22

22

21

21

21

212121||cos C

B A

C B A C C B B A A ++⋅++++=

θ

从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出：

（1） 21∏⊥∏ 的充要条件是0212121=++C C B B A A ； （2）21//∏∏的充要条件是

.2

1

2121C C B B A A == （3）21∏∏与重合的充要条件是

.2

1

212121D D C C B B A A === 五、点到平面的距离：.|

|2

2

2

000C

B A D Cz By Ax d +++++=

例题选讲

平面的点法式方程

例1 (E01) 求过点)3,4,2(-M 且与平面5532=-+z y x 平行的平面方程.

解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法向量为}.5,3,2{1-=n

设所求平面的

法向量为,n 则,//1n n 故可取,1n n

=于是，所求平面方程为

,0)3(5)4(3)2(2=+--+-z y x 即.31532=-+z y x

例2 (E02) 求过点)2,3,1(),4,1,2(---B A 和)3,2,0(C 的平面方程.

解 },6,4,3{--=→AB },1,3,2{--=→AC 取→

→⨯=AC AB n 1

32643----=k

j i ,914k j i -+=

所求平面方程为,0)4()1(9)2(14=--++-z y x 化简得.015914=--+z y x

平面的一般方程

例3 (E03) 求通过x 轴和点)1,3,4(--的平面方程.

解 设所求平面的一般方程为,0=+++D Cz By Ax 因为所求平面通过x 轴，且法向量垂直于x 轴,于是法向量在x 轴上的投影为零，即,0=A

又平面通过原点，所以,0=D 从而方程成为,0=+Cz By (1)

又因平面过点),1,3,4(--因此有,03=--C B 即.3B C -= 以此代入当成(1)，再除以),0(≠B B 便得到所求方程为.03=-z y

例4 (E04) 设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程. 解 设平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过原点知,0=D 由平面过点)2,3,6(-知

.0236=+-C B A },2,1,4{},,{-⊥C B A

024=+-∴C B A ⇒,3

2

C B A -==

所求平面方程为.0322=-+z y x

平面的截距式方程

例5 (E05) 求平行于平面0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

解 设平面方程为

,1=++c

z

b y a x ,1=V .12

1

31=⋅∴abc

由所求平面与已知平面平行得,6

11161

c b a ==向量平行的充要条件 令

t c b a ===61161⇒.61,1,61t c t b t a === 由t t t 61161611⋅⋅⋅=⇒.61

=t ∴.1,6,1===c b a

所求平面方程为

,11

61=++z

y x 即.666=++z y x

两平面的夹角

例6 (E06) 研究以下各组里两平面的位置关系:

(1) ,012:1=+-+-∏z y x ;013:2=-+∏z y (2) ,012:1=-+-∏z y x .01224:2=--+-∏z y x 解 )1(},1,2,1{1--=n }3,1,0{2=n

且θcos 2

2

2

2

2

3

1)1(2)1(|311201|+⋅-++-⨯-⨯+⨯-=

,60

1=

故两平面相交，夹角为.60

1arccos

=θ

)2(},1,1,2{1-=n }2,2,4{2--=n 且,212142-=-=-又,)0,1,1(1∏∈M

,)0,1,1(2∏∉M 故两平面平行但不重合.

例7 求平面II, 使其满足: (1) 过z 轴;

(2) II 与平面052=-+z y x 夹角为

3

π. 解 因为平面∏过z 轴，可设其方程为.0=+By Ax 又因为∏与已知平面夹角为

.3

π故 3

cos

π

2

22222)5(120|0)5(2|-++++⋅-++=

B A B A 21=

⇒A B 3=或A B 3

1-= ⇒03:=+∏y x 或.03:=-∏y x

例8 (E07) 求经过两点)9,2,3(1-M 和)4,0,6(2--M 且与平面0842=-+-z y x 垂直的平面的方程.

解 设所求的平面方程为.0=+++D Cz By Ax 由于点1M 和2M 在平面上，故