均值不等式ppt课件

2 9x9001080910989, x
当且仅当 9 x 9即0 0x, =10时取等号.
x
该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的总费用 最少.
【规律方法】均值不等式实际应用题的特点： (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、 税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从 中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定 义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的 范围用对应函数的单调性求解．
10 b a 10
b a 10
当
且
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
仅
当
2a b 12 ab
2b a即 10
a
b
3 10
时
取
等
号.
答案：9
10
5.某农场计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室. 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿 前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为______、 _______时蔬菜的种植面积最大.
|x |
∴y≤-4或y≥4.
答案：(-∞,-4］∪［4,+∞)
4.已知a、b为正实数， 1 2 =10,则a+2b的最小值为_____.
ab
【解析】∵a＞0,b＞0,
1 a
=b2 10
∴a+2b= 1 (a+2b)×10
10
1 a 2b(1 2)
10
ab
1 (5 2a 2b ) 1 (5 2 2a 2b ) 9
【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m， 则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)4=2aabb -4b-2a+8=808-2(a+2b). 所以S≤808- =648(m2) . 当a=2b,a=40m,b=20m时，S最大. 答案：40 m 20 m
1 利用均值不等式求最值
2
“=”.
∴24-(a+b)=a2+b2≥1 a b 当2 , 且仅当a=b时取“=”，
2
即(a+b)2+2(a+b)-48≤0,
解关于a+b的二次不等式，得-8≤a+b≤6.
答案：［-8，6］
【规律方法】利用 a2 b2 (≥aabb()2a,b∈R)
2
2
求最值时，要注意和a+b为定值时，平方和a2+b2有最小值,
【例1】(1)求 4 +a的取值范围.
a2
(2)已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求 3 4 的最小值.
xy
【审题指导】利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、
二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为：
拆、凑、代换、平方.
【自主解答】(1)显然a≠2，当a＞2时，a-2＞0.
4 a 4 a 2 2 2 4 a 2 2 6,
天数x
先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用均值不 等式求其最值.
【自主解答】设该厂应每隔x天购买一次玉米，其购买量为6x
吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为3［6x+6(x-
1)+6(x-2)+…+6×1］
3x6x69xx1,
2
设平均每天所支付的费用为Y1元，则 Y19xxx1900180069x9x 0010809
平方和a2+b2为定值时，和a+b有最大值.
3 均值不等式的实际应用
【例3】某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米 6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为 平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付运费900元． 求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用 最少? 【审题指导】平均每天所支付的费用= x天支付的总费用,
用均值不等式证明简单的不等式 【例】证明不等式 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 【审题指导】先把原不等式进行等价转化为2(a4+b4+c4)≥ 2(a2b2+b2c2+c2a2)，再利用均值不等式、同向不等式的可 加性即可.
【规范解答】∵2(a4+b4+c4)=(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4), a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
(2)∵x＞0,y＞0，且x+y=1，
3 4 ( 3 4 )(x y) xy xy
7 3y 4x 7 2 3y 4x 7 4 3,
xy
xy
当 且 仅 当 3y 4x ,即 2x 3y时 等 号 成 立 ， xy
3 4 的 最 小 值 为7 4 3. xy
【规律方法】为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子 进行恒等变形，运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和” 与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件.
1.函数f(x)= x 的最大值为( )
x 1
(A) 2
(B) 1
5
2
(C) 2
2
(D)1
【解析】选B.∵x≥0，(1)当x=0时，f(0)=0；
(2)当x＞0时，f x
1 x
1
1 2
,
当且仅当 x 即1 x, =1时取x 等号.故选B.
x
2.已知m＞0,n>0且mn≥81,则m+n的最小值为( )
(A)18
(B)36
(C)81
(D)243
【解析】选A.∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴ m ≥n 9, ∴m+n≥2 m ≥n 18.
3.函数y=x+ 4 的值域为______.
x
【解析】|y|=|x+ 4 |=|x|+ ≥4
x
|x |
=2 4当4 且仅当
|x|= 4 即x=±2时取等号，∴|y|≥4
2 利用均值不等式求范围问题
【例2】已知a、b∈R，a+b+a2+b2=24，则a+b的取值范
围是_______.
【审题指导】利用 a2 b2 ≥(aabb()a2 ,b∈R)求解.
2
2
【自主解答】∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”,
∴2(a2+b2)≥(a+b)2,即a2+b2≥1 a b 当2 , 且仅当a=b时取
a2
a2
a2
当 且 仅 当 4 a 2， 即 a 4时 取 等 号 . a2
当 a＜ 2时 ， a 2＜0,
4 a 4 a 2 2 ［ 4 2 a ］ 2
a2
a2
2a
2 4 2 a 2 2.
2a 当 且 仅 当 a 0时 取 等 号 .
所 求 的 取 值 范 围 为 , 2］［ 6， .