初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案) (2)

初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习（含答案）

一、选择题

1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值,下列叙述正确的是( )

A．当x＝2时,函数有最大值

B．当x＝2时,函数有最小值

C．当x＝－2时,函数有最大值

D．当x＝－2时,函数有最小值

2．如图K－6－1,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是( )

图K－6－1

A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2

3．如图K－6－2所示,C是线段AB上的一个动点,AB＝1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )

图K－6－2

A．当C是AB的中点时,S最小

B．当C是AB的中点时,S最大

C．当C为AB的三等分点时,S最小

D．当C为AB的三等分点时,S最大

4．如图K－6－3,在矩形ABCD中,AB＝2,点E在边AD上,∠ABE＝45°,BE＝DE,连结BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连结QD.设PD＝x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( )

图K－6－3

图K－6－4

二、填空题

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示,当－5≤x≤0时,函数y 的最大值是________,最小值是________．

图K－6－5

6．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30,则这个直角三角形的面积最大为________．

7．如图K－6－6,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝6 cm,BC＝12 cm,动点P从点A开始沿边AB 向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P,Q分别从A,B同时出发,那么经过________s,四边形APQC 的面积最小.

图K－6－6

8．如图K－6－7①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图②是点P 运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是________．

图K－6－7

三、解答题

9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2)．

(1)如图K－6－8①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大？

(2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.

图K－6－8

10．如图K－6－9所示,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P,Q 分别从点A,B同时出发,设运动时间为t s(0

图K－6－9

11．为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图K－6－10所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.

(1)求y与x之间的函数表达式,并注明自变量x的取值范围；

(2)当x为何值时,y有最大值？最大值是多少？

图K－6－10

12、如图K－6－11①,抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3),B(－1,0),D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的函数表达式．

(2)当t为何值时,△PFE的面积最大？并求最大值的立方根．

(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由．

图K－6－11

1．[解析] D ∵y＝x2＋4x－7＝(x＋2)2－11,

∴此抛物线的开口向上,顶点为最低点,

∴x＝－2时,函数有最小值．

2．[解析] C 设BC＝x m,则AB＝(16－x)m,矩形ABCD的面积为y m2,

根据题意,得y＝(16－x)x＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,当x＝8时,y

max

＝64, 则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.

故选C.

3．[解析] A 设AC＝x,则BC＝1－x,

所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1,

所以当x＝－

－2

2×2

＝

1

2

时,S有最小值．

4．[解析] C 易得BE＝DE＝2 2,则EP＝EQ＝2 2－x,过点Q作QF⊥AD于点F,则QF

＝

2

2

(2 2－x)＝2－

2

2

x,∴y＝

1

2

PD·QF＝

1

2

x(2－

2

2

x)＝－

2

4

x2＋x＝－

2

4

(x－2)2＋

2

2

. 5．[答案] 6 －3

6．[答案] 112.5

[解析] 设一条直角边长为x,则另一条直角边长为30－x,

故S＝

1

2

x(30－x)＝－

1

2

(x－15)2＋112.5.

∵－

1

2

<0,∴当x＝15时,S

最大

＝112.5.

故答案为112.5.