导数在经济学中的简单应用

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(2) 供给弹性.
设供给函数为 Q (P),为单调增函数，故P与Q同号， P与Q为正数，所以把
EQ lim Q / Q (P) P
EP P0 P / P
Q
称为供给弹性函数。
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(3) 收益弹性及其与需求弹性的关系.
设总收益 R是商品价格 P与销售量 Q的乘积，即
PQ
Q30
Q30
10
Q 5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4
Q30
Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
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(3) 边际利润.
设产品的总利润函数 L(Q), Q为产量，称它的导数L(Q)为边 际利润，L(Q0 )称为当产量为Q0时的边际利润。 经济意义：当产量达到Q0时,如果增减1个单位产品,则利润
Ex
x x0
lim y / y0 x0 x / x0
x0 lim y y0 x0 x
x0 y0
f ( x0 )
x0 f (x0 )
f (x0 )
对于任意点 x,若 f (x)可导, 则
Ex
x f (x)
f (x)
称为 f (x)的弹性函数.
它反映了随自变量 x 的改变,函数 f (x)变化幅度的 大小, 即当 x 每改变 1%时, f (x)改变了 Ex %.
设y f (u),而u ( x)则复合函数y f [( x)]的导数为 dy dy du 或 y( x) f (u) ( x). dx du dx
(4) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数.
适用范围:
多个函数相乘(除)和幂指函数 u( x)v( x) 的情形.
第三章 导数与微分
3.1 导数的概念 3.2 求导法则 3.3 基本导数公式与高阶导数 3.4 函数的微分 3.5 导数在经济学中的简单应用
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3.5 导数在经济学中的简单应用
在经济与管理中常常要考虑产量、成本、利
润、收益、需一求、、供边给际等分问析题, 通常成本、收益、
利润都是产量的函数. 本节主要介绍经济学中的边
其经济意义为：当产量达到 Q0时，如果增减1个单位产品, 则成本将相应增减 C(Q0 )个单位。
一般情况下，总成本 C(Q)由固定成本 C0和可变成本 C1(Q)
组成，即
C(Q) C0 C1(Q),
而边际成本 C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q), 可见，边际成本与固定成本无关。
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)(t) .
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4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3 dx
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f (x),则有
f
( x)
1 ( y)
|y
f
(x)
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(3) 复合函数的求导法则
3.
若
Ep
1,则 ER 0,提价或降价对总收益的影响不大 EP
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例6 某商品需求函数为Q 10 P ,求 2
(1)需求弹性函数； (2)当P 3时的需求弹性;
(3)在P 3时，若价格上涨1%，总收益是 增加，还是减少？它将变化百分之几？
解
(1)EP
f (P ) P Q
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例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
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(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
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例2 设总成本函数
C(Q) 5000 60Q 1 Q2 , 20
求边际成本函数和 Q 1000单位时的边际成本，
并解释后者的经济意义。
C(Q) 1 Q 60, 10
C (Q )
1 Q 60
40
Q1000 10
Q1000
其经济意义为：当产量达到1000时，如果增减1个单位产品,
则成本将相应增减 40个单位。
x0
f (x0 x) x
f ( x0 ) ;
2. 右导数:
f(
x0
)
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f (x0 x) x
f (x0) ;
函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 ) 和右导数 f( x0 )都存在且相等.
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2. 当0< Ep <1时,称为低弹性， 经济意义：当价格p上升1%，需求量Q将下降 Ep %. 说明：商品的需求量变动的百分比低于价格变动的百分比。
3. 当 Ep >1时,称为高弹性，
经济意义：当价格p上升1%，需求量Q将下降 Ep %.
说明：商品的需求量变动的百分比大于价格变动的百分比。
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R PQ Pf (P),
R(P ) f (P ) Pf (P ) f (P ) f (P ) P f (P ) f (P)
f (P)
1
f (P )
f
P (P
)
f (P)(1
Ep
).
因此，收益弹性为
ER
R(P ) P R( P )
f (P )(1
Ep
)
P Pf (P)
1
Ep
.
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定义 设函数y f ( x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量x(点x0 x仍在该邻域 内)时, 相应地函数y取得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与x之比当x 0时的极限存在,则称函数
y f ( x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y f ( x)
将相应增减L(Q0 )个单位。
一般来说，总利润函数可以看成总收益函数与总成本函数之
差，即
L(Q) R(Q) C(Q).
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
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二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
(2) 边际收益.
设总收益函数 R R(Q)，Q为销售量，称它的导数 R(Q)为边
际收益函数，简称边际收益。R(Q0 )称为商品销售量为 Q0时的 边际收益。
其经济意义为：当销售量达到 Q0时，如果多(或少)销售一个
单位产品，则收益将相应增加(或减少)R(Q0 )个单位。
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
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收益弹性
ER 1 Ep .
1. 若 Ep 1时, ER 1 Ep 0,
价格上涨(提价)1%, 总收益增加(1 Ep )%.
价格下跌(降价)1%, 总收益减少(1 Ep )%.
2.
若
Ep
1时,
ER 1 EP
Ep
0,
价格上涨(提价)1%, 总收益减少( Ep 1)%.
价格下跌(降价)1%, 总收益增加( Ep 1)%.
际分析与弹性二分、析弹问题性.
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一、边际分析
设 y f ( x)是一个经济函数,其导数 f ( x)称为 f ( x)的
边际函数。f ( x0 )称为 f ( x)在点 x0的边际函数值。
对于经济函数 f ( x)，设经济变量 x 在点 x0有一个改变 量 x，则经济变量 y 在 y0 f ( x0 ) 处有相应的改变量
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例1 求函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值。
解 y 6x
y 6x 12
x2
x2
函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值为12
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(1) 边际成本.
设总成本函数 C C(Q), Q为产量, 称它的导数 C(Q)为边际成
本函数,简称边际成本。C(Q0 )称为当产量为 Q0时的边际成本。
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例5
设某商品需求函数为Q
e
P 5
,求
(1) 需求弹性函数； (2)P 3, P 5, P 6时的需求弹性。
解
(1)EP
f (P ) P= Q
1
e
P 5
5
P
P
= P 5
e5
(2)P 3,
EP
p3
3 5
0.6
P 5,
EP
p5
5 1 5
P 6,
EP
p5
6 5
1.2
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2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）